数学几何证明：直角三角形的重心在直角边上的投影点到直角顶点的长度为直角边长度的三分之一

求数学几何题解题技巧~

一、证明两线段相等
　　1.两全等三角形中对应边相等。
　　2.同一三角形中等角对等边。
　　3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
　　5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
　　6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
　　7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
　　8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
　　9.同圆(或等圆)中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
　　10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
　　11.两前项(或两后项)相等的比例式中的两后项(或两前项)相等。
　　12.两圆的内(外)公切线的长相等。
　　13.等于同一线段的两条线段相等。
　　二、证明两个角相等
　　1.两全等三角形的对应角相等。
　　2.同一三角形中等边对等角。
　　3.等腰三角形中，底边上的中线(或高)平分顶角。
　　4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
　　5.同角(或等角)的余角(或补角)相等。
　　6.同圆(或圆)中，等弦(或弧)所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
　　7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
　　8.相似三角形的对应角相等。
　　9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等
　　证明两直线平行
　　1.垂直于同一直线的各直线平行。
　　2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
　　3.平行四边形的对边平行。
　　4.三角形的中位线平行于第三边。
　　5.梯形的中位线平行于两底。
　　6.平行于同一直线的两直线平行。
　　7.一条直线截三角形的两边(或延长线)所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
　　三、证明两条直线互相垂直
　　1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
　　2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
　　3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
　　4.邻补角的平分线互相垂直。
　　5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
　　6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
　　7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
　　8.利用勾股定理的逆定理。
　　9.利用菱形的对角线互相垂直。
　　10.在圆中平分弦(或弧)的直径垂直于弦。
　　11.利用半圆上的圆周角是直角。
　　四、证明线段的和差倍分
　　1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。
　　2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。
　　3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。
　　4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。
　　5.利用一些定理(三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等)。
　　五、证明角的和差倍分
　　1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。
　　2.利用角平分线的定义。
　　3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
　　六、证明线段不等
　　1.同一三角形中，大角对大边。
　　2.垂线段最短。
　　3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
　　4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。
　　5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。
　　6.全量大于它的任何一部分。
　　七、证明两角的不等
　　1.同一三角形中，大边对大角。
　　2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。
　　3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。
　　4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。
　　5.全量大于它的任何一部分。
　　八、证明比例式或等积式
　　1.利用相似三角形对应线段成比例。
　　2.利用内外角平分线定理。
　　3.平行线截线段成比例。
　　4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。
　　5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。
　　6.利用比利式或等积式化得。
　　九、证明四点共圆
　　1.对角互补的四边形的顶点共圆。
　　2.外角等于内对角的四边形内接于圆。
　　3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆(顶角在底边的同侧)。
　　4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。
　　5.到顶点距离相等的各点共圆。

几何证明题的常用方法
证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等.2.同一三角形中等角对等边.3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边.4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等.5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等.6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等.7.角平分线上任一点到角的两边距离相等.8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等.*9.同圆(或等圆)中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等.*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等.11.两前项(或两后项)相等的比例式中的两后项(或两前项)相等.*12.两圆的内(外)公切线的长相等.13.等于同一线段的两条线段相等.证明两个角相等1.两全等三角形的对应角相等.2.同一三角形中等边对等角.3.等腰三角形中,底边上的中线(或高)平分顶角.4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等.5.同角(或等角)的余角(或补角)相等.*6.同圆(或圆)中,等弦(或弧)所对的圆心角相等,圆周角相等,弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.*7.圆外一点引圆的两条切线,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.8.相似三角形的对应角相等.*9.圆的内接四边形的外角等于内对角.10.等于同一角的两个角相等.证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行.2.同位角相等,内错角相等或同旁内角互补的两直线平行.3.平行四边形的对边平行.4.三角形的中位线平行于第三边.5.梯形的中位线平行于两底.6.平行于同一直线的两直线平行.7.一条直线截三角形的两边(或延长线)所得的线段对应成比例,则这条直线平行于第三边.证明两条直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边.2.三角形中一边的中线若等于这边一半,则这一边所对的角是直角.3.在一个三角形中,若有两个角互余,则第三个角是直角.4.邻补角的平分线互相垂直.5.一条直线垂直于平行线中的一条,则必垂直于另一条.6.两条直线相交成直角则两直线垂直.7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上.8.利用勾股定理的逆定理.9.利用菱形的对角线互相垂直.*10.在圆中平分弦(或弧)的直径垂直于弦.*11.利用半圆上的圆周角是直角.证明线段的和差倍分1.作两条线段的和,证明与第三条线段相等.2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段,证明余下部分等于第二条线段.3.延长短线段为其二倍,再证明它与较长的线段相等.4.取长线段的中点,再证其一半等于短线段.5.利用一些定理(三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等).证明角的和差倍分1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同.2.利用角平分线的定义.3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.证明线段不等1.同一三角形中,大角对大边.2.垂线段最短.3.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等,则夹角大的第三边大.*5.同圆或等圆中,弧大弦大,弦心距小.6.全量大于它的任何一部分.证明比例式或等积式1.利用相似三角形对应线段成比例.2.利用内外角平分线定理.3.平行线截线段成比例.4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理.*5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论.6.利用比利式或等积式化得.

如图命名个点，并连接DE；

由于p是△ABC的重心，所以D和E分别是AC、BC的中点，所以DE平行且相等于(1/2)AB ；

△DPE∽△BPA,相似比为1:2（因为DE=1/2AB）==>EP/PA=1/2   ①

△EPG~△EAB，又因为①，所以EG/GB =1/2  ==>BG=2/3BE=1/3BC(E是BC中点，BE=1/2BC)；

其他边上同理可证；

所以“直角三角形的重心在直角边上的投影点到直角顶点的长度为直角边长度的三分之一”得证。

 

（两个三角形的相似的出没有具体去写，但是很简单，相信你能很容易得出，简单的做了下这道题，希望能帮到你）

字母标注如图所示

已知：点P是直角△ABC的重心 ， M，N是点P在AB,BC上的投影，

求证：BM/BA=1/3   BN/BC=1/3

证明：连接CP并延长交AB与点D,连接DF,EF

∵点P是直角△ABC的重心

∴点D,E,F是中点  AB⊥BC

∴AD/AB=1/2    AF/AC=1/2     CE/CB=1/2 

∴DF∥BC   EFAB

∴DF/BC=1/2  EF/AB=1/2     ∠PDF=∠PCB   ∠PFD=∠PBC 

∵∠DPF=∠BPC

∴△DPF ∽ △CPB

∴DP/CP=DF/BC=1/2

∴DP/DC=1/3

∵ M，N是点P在AB,BC上的投影

∴PM ⊥AB    PN⊥ BC 

∵ AB⊥BC

∴PM∥BC      四边形PMBN是矩形

∴PM/BC=DP/DC    PM=BN 

∴BN/BC=DP/DC=1/3

即 BN/BC=1/3

同理可得  BM/BA=1/3 

 

（注意：如果已经熟练掌握比例线段的各种性质，那么相似三角形的证明可以省略）

证明：从最小锐角A做左侧边中线，交左侧边于D，形成新直角三角形ADC，角C为直角，P到底边投影点交底边于E，形成直角三角形APE
因为BC平行于PE
所以三角形ADC相似于三角形APE （三个角对应相等）
所以对应边成比例，即AP：PD=AE：EC
根据重心性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，即AP：PD=2：1
所以AE：EC=2：1 即 AC=AE+EC=3EC

已知：△ABC中，∠ACB=90°，AD是中线，P是重心。PE⊥BC于E。
求证：PE=1/3AC
证明：∵P是重心 AD是中线
∴PD=1/3AD
∵∠ACB=∠PED=90° ∠ADC=∠PDE
∴△ACD∽△PED
∴AC/PE=AD/PD
故PE=1/3AC

因为三角形的重心有这样的性质：重心到各边中点的距离等于这边上中线的三分之一。
然后通过三角形相似很容易证明命题成立。

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金沙县18491162985： 数学几何证明:直角三角形的重心在直角边上的投影点到直角顶点的长度为直角边长度的三分之一 - ？
爱新觉罗泉鸢都：[答案] 如图命名个点,并连接DE;由于p是△ABC的重心,所以D和E分别是AC、BC的中点,所以DE平行且相等于(1/2)AB ;△DPE∽△BPA,相似比为1:2(因为DE=1/2AB)==>EP/PA=1/2 ①△EPG~△EAB,又因为①,所以EG...

金沙县18491162985： 数学证明:三角形的外心,垂心,重心在同一直线上 - ？
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金沙县18491162985： 数学几何的三角形重心定理是怎么证滴啊 - ？
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金沙县18491162985： 求直角三角形的重心,等腰三角形的重心,等边三角形的重心,等腰直角三角形的重心. 详细说明或证明!急 - ？
爱新觉罗泉鸢都： 三角形的重心是三角形三条中线的交点. 三角形的重心的性质: 1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1. 2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等. 3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小. 4.在平面直角坐标系...

金沙县18491162985： 如图所示,是一块教学用的等腰直角三角板,它的重心位置在？
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金沙县18491162985： 三角形重心坐标公式的几何理解? - ？
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