什么是赋范线性空间？比如一个空间x,是范数||x||构成的空间，还是x本身是赋范线性空间？还是其他？
由哈恩-巴拿赫定理的一个推论可得，推论为X是赋范线性空间，且X≠{0}，对任意a∈X，a≠0，存在E上的有界线性泛函f使得||f||=1，f(a)=||a||。
此题中对一切范数为1的有界线性泛函f均有|f(a)|≤c，
所以存在一个范数为1的有界线性泛函f使得||a||=|f(a)|≤c。
证毕。
这个符号叫做范数，它事实上是由线性赋范空间到非负实数的映射
在线性赋范空间中，它可以表示空间中的点与原点间的距离，两点间的距离也是用两点之差的范数来表示的
范数所满足的条件有
（1）||x||>=0，且||x||=0当且仅当x=0
（2）||ax||=|a|*||x|| 其中a为线性空间对应的数域中的数
（3）||x+y||<=||x||+||y||
反过来，线性赋范空间中满足以上条件的映射均可称为范数。
扩展资料空间范数
基本性质
有限维空间上的范数具有良好的性质，主要体现在以下几个定理：
性质1：
对于有限维赋范线性空间的任何一组基，范数是元素（在这组基下）的坐标的连续函数。
性质2（Minkowski定理）：
有限维线性空间的所有范数都等价。
性质3（Cauchy收敛原理）：
实数域（或复数域）上的有限维线性空间（按任何范数）必定完备。
性质4：
有限维赋范线性空间中的序列按坐标收敛的充要条件是它按任何范数都收敛。
参考资料：范数_百度百科
赋范向量空间是具有“长度”概念的向量空间。是通常的欧几里德空间 Rn 的推广。Rn中的长度被更抽象的范数替代。“长度”概念的特征是：
零向量的长度是零，并且任意向量的长度是非负实数。
一个向量 v 乘以一个标量 a 时，长度应变为原向量 v 的 |a|（ a 的绝对值）倍。
三角不等式成立。也就是说，对于两个向量 v 和 u ，它们的长度和（“三角形”的两边）大于 v+u （第三边）的长度。
一个把向量映射到非负实数的函数如果满足以上性质，就叫做一个半范数；如果只有零向量的函数值是零，那么叫做范数。拥有一个范数的向量空间叫做赋范向量空间
这是百科上的
楼主问的应是x本身是赋范线性空间，即它是向量X的集合，满足线性空间的性质，并且定义了一种范数
什么叫做赋范线性空间?
赋范线性空间，就是在线性空间（对加法和数乘运算封闭）中引入范数结构。（拓扑结构，就是在空间中定义了距离结构，有了距离我们就可以引出“接近”、极限、开集等概念）定义1 ： 是数域 上的线性空间， 函数（映射） 满足：4. （三角不等式），则称 是 上的一个 范数 。定义了范数的...
线性赋范空间是什么意思?
线性赋范空间，赋范线性空间(normed linear space)是在线性空间中引进一种与代数运算相联系的度量，即由向量范数诱导出的度量。赋范线性空间称为Banach空间，是指由范数导出的度量是完备的。PN－空间中的线性泛函理论是PM－空间理论的重要研究方向。1987年米夏勒克(J．Michalek)给出了PN－空间中的线性泛...
如何证明有界数列空间是赋范线性空间?
【答案】：有界数列空间l∞是赋范线性空间，其范数为‖x‖∞=，x=(x1，…，xn…)∈l∞只需证明l∞是完备的设{x(n)}是l∞中的基本列，则{x(n)}有界，即，使‖x(n)‖∞＜M，又设{x(n)}收敛于a，则对ε=1，，使‖x(n)-a‖＜1。从而当n＞N时，‖a‖∞≤1+‖x(n)‖≤1+...
什么是赋范线性空间?比如一个空间x,是范数||x||构成的空间,还是x本身...
线性空间，就是这堆沙子，而赋范空间，内积空间，度量空间则是建楼用的沙子，建桥用的沙子，化学试剂。从而，范数就是我到底想要用沙子来做什么，目的不同，称呼不同。
线性空间是如何演变而来的?
如果想要知道向量的长度，就给加上范数的定义，由线性空间变成了赋范线性空间。如果想要知道向量的角度，就给加上内积的定义，由线性空间变成了内积空间。如果想要研究收敛性，就给加上极限的定义，由线性空间变成了完备空间。由赋范线性空间加上完备的概念，就得到了Banach空间。
泛函分析(1):赋范线性空间
考虑赋范线性空间 $\\mathbb{X}$ 和 $\\mathbb{Y}$，在笛卡尔积 $\\mathbb{X} \\times \\mathbb{Y}$ 上定义线性运算，使得 $\\mathbb{X} \\times \\mathbb{Y}$ 成为一个线性空间。定义的范数诱导的度量拓扑即为积拓扑。有限维赋范线性空间结构简单。若 $\\mathbb{X}$ 是 $\\mathbb{R}^n$ 或 ...
距离空间、线性空间、内积空间、赋范线性空间的联系
线性赋范空间就是在线性空间中,给向量赋予范数,即规定了向量的长度,而没有给出向量的夹角.在内积空间中,向量不仅有长度,两个向量之间还有夹角.特别是定义了正交的概念,有无正交性概念是赋范线性空间与内积空间的本质区别.任何内积空间都是线性赋范空间,但线性赋范空间未必是内积空间.线性赋范空间X成为...
请问在泛函分析中度量空间、赋范线性空间和内积空间的关系
内积空间赋⊂赋范线性空间⊂度量空间 度量空间最抽象，只给出了空间中距离的度量。赋范线性空间是一种特殊的度量空间，把度量定义的更加具体，有更多的性质。内积空间是一种特殊的赋范线性空间，内积的本质相当于定义了坐标。
赋范空间的定义
设是域（实数域或复数域）上的线性空间，函数满足条件：1)对；且当且仅当；2)对，有（齐次性）；3)对，有（三角不等式）。称是上的一个范数，上定义了范数称为（线性）赋范空间，记为，有时简记为。
线性空间、内积空间、线性赋范空间
线性赋范空间在实线性空间或复线性空间基础上，引入了范数的概念，它为向量赋予了长度标准，通过[公式]表示。范数满足特定的性质，如非负性和三角不等式。内积空间则在此基础上，定义了满足特定条件的内积，用[公式]表示，实数域内积空间是欧几里得空间，如[公式]，复数域内积空间是酉空间，如[公式]。...
勾爱清开： 赋范向量空间是具有“长度”概念的向量空间.是通常的欧几里德空间 Rn 的推广.Rn中的长度被更抽象的范数替代.“长度”概念的特征是: 零向量的长度是零,并且任意向量的长度是非负实数. 一个向量 v 乘以一个标量 a 时,长度应变为...
全南县18736614933： 距离空间、线性空间、内积空间、赋范线性空间的联系 - ？
勾爱清开：[答案] 4.1 联系 如果在实数域或复数域上距离空间是完备的,该空间被称为完备距离空间.实数域或复数域上的完备线性赋范空间被称为巴拿赫空间.内积空间是特殊的线性赋范空间,而完备的内积空间被称为希尔伯特空间,其上的范数由一个内积导出. 在线...
全南县18736614933： 怎么证明一个线性空间是赋范空间 急 - ？
勾爱清开：[答案] 只要满足范数的三个条件即可: 1、||x+y||
全南县18736614933： 范数都是正数吗 - ？
勾爱清开： 是的. 若X是数域K上的线性空间,泛函 ║·║: X->R 满足: 1. 正定性:║x║≥0,且║x║=0 <=> x=0; 2. 正齐次性:║cx║=│c│║x║; 3. 次可加性(三角不等式):║x+y║≤║x║+║y║ . 那么║·║称为X上的一个范数. (注意到║x+y║≤║x║+║y║中如令y...
全南县18736614933： 赋范线性空间与Banach空间、度量空间、内积空间的,希尔伯特空间之间的关系??? - ？
勾爱清开： Banach空间是完备的赋范线性空间.内积空间中的内积可以定义范数,反之,范数不一定非要内积来定义,所以说赋范线性空间是比内积空间更广泛的概念.距离可以用范数定义,反之,只有距离满足平移不变和齐次性才能定义一个范数,因此度量空间比赋范线性空间广泛.Hilbert空间是完备的内积空间.
全南县18736614933： 两个竖杠是什么数学符号 就是这个 ‖‖ 有什么运算规则? - ？
勾爱清开：[答案] 这个符号叫做范数,它事实上是由线性赋范空间到非负实数的映射 在线性赋范空间中,它可以表示空间中的点与原点间的距离,两点间的距离也是用两点之差的范数来表示的 范数所满足的条件有(1)||x||>=0,且||x||=0当且仅当x=0 (2)||ax||=|a|*||x|| 其...
全南县18736614933： || ||, 这个数学符号什么意思? - ？
勾爱清开： ||, 这个数学符号是范数. 一、范数,是具有“长度”概念的函数.在线性代数、泛函分析及相关的数学领域,范数是一个函数,是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小.半范数可以为非零的矢量赋予零长度. 定义范数的矢量空间是...
全南县18736614933： 线性空间可以分几类 - ？
勾爱清开： 公理化定义 编辑 设F是一个域.一个F上的向量空间是一个集合V和两个运算:向量加法: V + V → V, 记作 v + w, ∃ v, w∈V 标量乘法: F * V → V, 记作 a·v, ∃a∈F, v∈V 符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V):向量加法结合律:u +...
全南县18736614933： “线性空间”,究竟是什么意思 - ？
勾爱清开： 通俗地讲,线性空间,可以理解为一个集合(向量组成的线性组合)线性算子,可以理解为一个未知的线性函数(或线性运算),作用于一些数学对象上,得到的结果,就是线性空间
全南县18736614933： 请问在泛函分析中度量空间、赋范线性空间和内积空间的关系简要的叙述就好,最好写出相互关系 - ？
勾爱清开：[答案] 内积空间赋⊂赋范线性空间⊂度量空间 度量空间最抽象,只给出了空间中距离的度量. 赋范线性空间是一种特殊的度量空间,把度量定义的更加具体,有更多的性质. 内积空间是一种特殊的赋范线性空间,内积的本质相当于定义了坐标.
