已知x=1是函数f(x)=(x^2+ax)e^x,x>0和bx ,x<=0的极值点(1)求a的值(2)函数y=f(x)-m有2个零点,求m的取值范围
(I)当x>0时,f(x)=(x2+ax)ex,所以f′(x)=[x2+(a+2)x+a]ex.又因为x=1是函数f(x)的极值点,所以f′(1)=0,解得a= ?32.(II)当x≤0时,f(x)=x,所以根据一次函数的性质可得:f(x)在(-∞,0]上单调递减;当x>0时,f(x)=(x2?32x)ex,所以f′(x)=[x2+12x?32] ex=(x?1)(x+32)e2.所以当x∈(0,1)时,f′(x)<0,所以函数在(0,1)上单调递减.当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,所以函数在(1,+∞)上单调递增.即b=1时,f(x)的增区间为(-∞,0),(1,+∞);减区间为(0,1).(III)由(II)可得下表: x (0,1) 1 (1,+∞) f′(x) < 0 >0 f(x) 减 极小值 增则fmin(x)=f(1)=?12e.要使函数f(x)-m有两个零点,则函数y=f(x)的图象与y=m的图象有两个交点,结合f(x)的大致图象可得:当b>0时,m=0或者m=-12e;当b=0时,m∈(-12e,0);当b<0时,m∈(-12,+∞).
解:原函数f(x)=x(e^x-1)-ax^2, 已知x>=0 f(x)>=0
因为:f(0)=0, 在x>0情况下,要使f(x)>0,只要函数为单调递增函数就行了。
函数单调递增的条件为f'(x)>0 即f'(x)=(e^x-1)+xe^x-2ax=(e^x-1)+x(e^x-2a)>0
因为(e^x-1)>=0, e^x>=1 则有不等式:1-2a>0 解得:a<1/2
故:a的取值范围为:a<1/2
f'(x)=(2x+a)e^x+(x²+ax)e^x
=[x²+(a+2)x+a]e^x
∵x=1是f(x)的极值点
∴f'(1)=0
即1+(a+2)+a=0
a=-3/2
f'(x)=(x²+1/2x-3/2)e^x
=(x-1)(x+3/2)e^x
x=1是极小值点
∴a=-3/2,符合题意
(2)
函数y=f(x)-m有2个零点
即f(x)的图像与直线y=m有2个交点
b<0时,
f(x)=bx在(-∞,0]上为减函数
在(0,1)上为减函数
在(1,+∞)上为增函数
∴f(x)min=f(1)=-e/2
∴则m的取值范围m>-e/2
b=0时,
则m的取值范围-e/2<m<0
b>0时,f(x)=bx在(-∞,0]上为增函数
f(x)的图像与直线y=m有2个交点
需m=-e/2或m=0
已知x=1是函数f(x)=(x^2+ax)e^x,x>0和bx ,x<=0的极值点(1)求a的值(2...
∵x=1是f(x)的极值点 ∴f'(1)=0 即1+(a+2)+a=0 a=-3\/2 f'(x)=(x²+1\/2x-3\/2)e^x =(x-1)(x+3\/2)e^x x=1是极小值点 ∴a=-3\/2,符合题意 (2)函数y=f(x)-m有2个零点 即f(x)的图像与直线y=m有2个交点 b<0时,f(x)=bx在(-∞,0]上为减函数...
已知x=1是函数f(x)=mx^3-3(m+1)x^2+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R,m<...
对f(x)求导,得f'(x)=3mx²-6(m+1)x+n 既然x=1为此函数的一个极值点,那么f'(1)=0 代入得n=3m+6 然后根据题意在-1到1 切线斜率恒大于3m 那么可知导数f'(x)在-1到1上恒大于3m f‘(x)=3mx²-6(m+1)x+3m+6 转化为求f'(x)-3m>0问题 化简得3mx²...
已知x=1是f(x)=2x+b\/x+lnx的一个极值点,求b的值 求函数f(x)的单调减...
2、因为x=1是f(x)的极值点,所以有f'(1)=0,得到2-b+1=0,由此推出b=3 3、将b=3代入f'(x)=2-b\/(x^2)+1\/x,再令f'(x)
已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线x=1对称。
(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(-x)=-f(x),即f(0)=-f(0)所以f(0)=0;(2)因为 f(x)关于直线x=1对称,所以f(0)=f(2)=0;又f(-2)=-f(2)=0;同理f(4)=f(-2)=0,f(-4)=f(4)=0;可得f(x+2n)=f(x)(n∈N);即函数f(x)为周期函数;(3)f(x...
f(x)是关于x=1对称的奇函数,怎么推理出f(-x)=f(2+x)
因为点(-x,f(-x))关于直线x=1对称的点为(2+x,f(-x),该对称点在原函数的图象上,所以f(-x)=f(2+x)
已知f(x)是奇函数,关于x=1对称,当x属于(0,2)时,f(x)=2x2求f(7)=
因为f(x)关于x=1对称所以f(2+x)=f(-x)又因为f(x)是奇函数所以f(2+x)=f(-x)=-f(x)所以f(4+x)=f(-(2+x))=-f(2+x)=f(x)所以f(7)=f(4+3)=f(3)=f(4+(-1))=f(-1)=-f(1)又因为当x属于(0,2)时,f(x)=2x^2所以f(7)=-f(1)=-...
已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且它的图像关于直线x=1对称
,所以f(x)是以4为周期的函数 当0≤X≤1时,f(x)=x ,所以f(x)=x,x∈[-1,1],再由f(x)的图像关于直线x=1对称,知f(x)=-x+2 x∈[1,3],且知其周期为4,故得f(x)解析式为:.f(x)=x-4n,x∈[4n-1,4n+1],n∈Z f(x)=-(x-4n)+2 x∈(4n+1,4n+3),n∈Z ...
已知x=1是 的一个极值点,(Ⅰ)求b的值;(Ⅱ)求函数f(x)的单调减区间;(Ⅲ...
解:(Ⅰ)因x=1是 的一个极值点,∴ ,即 ,∴b=3,经检验,适合题意,所以b=3。(Ⅱ) ,∴ ,∴ ,∴ ,又∵x>0(定义域),∴函数的单调减区间为 。(Ⅲ) ,设过点(2,5)的曲线y=g(x)的切线的切点坐标为 ,∴ ,即∴ ,∴ ,令 ,∴ ,∴ ,∴h...
已知函数f(x)是R上的奇函数,且fx的图像关于x=1对称,当x属于[0,1]时...
f(1+x)=f(1-x),∴f(2+x)=f[1-(1+x)]=f(-x)=-f(x),∴f(4+x)=-f(2+x)=f(x),∴f(x)是以4为周期的函数 f(0)=0 f(1)=1 f(2)=0 f(3)=f(-1)=-f(1)=-1 f(4)=f(0)=0 f(2013)=f(1+4*503)=f(1)=1 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)=f(0)...
已知函数f(x)是定义在R上的是奇函数,且它的图像关于直线x=1对称, (1...
此类问题为高中数学中函数部分常见问题,回答如下图所示:判断周期函数无非用定义来证明。注意!周期函数一定是无穷延伸的,所以定义域两端如果有一端是有界的那么一定不是周期函数。另外需要指出的一点是周期函数不一定有最小正周期,反例可以考虑狄利克雷函数(任意非零有理数都是其周期)。
西览葆宫:[答案] 先求f(x)的导函数,f′(x)=(2x-a)e^x+(x²-ax+1)e^x ∵x=1为函数f(x)=(x²-ax+1)e^x的一个极值点 ∴f′(1)=(2-a)e+(2-a)e=2e(2-a)=0 ∴a=2 f(x)=(x-1)²e^x f′(x)=(x²-1)e^x 令 f′(x)=0即(x²-1)e^x=0 解得x=±1 当x=﹣1时,f(x)=4/e ∵当x∈(-2,-1)时,f(x)>0当x∈(-...
肃州区18940779827: 已知x=1为函数f(x)=(x^2 - ax+1)e^x的一个极值点,求a及函数f(x)的单调区间?急... - ?
西览葆宫: f(x)=(x^2-ax+1)e^x f'(x)=(x^2-ax+1+2x-a)e^x=[x^2+(2-a)x+(1-a)]e^x=[x+(1-a)](x+1)e^x 令f'(x)=0即[x+(1-a)](x+1)e^x=0,则x=a-1或x=-1 因原函数导数为二次函数[x+(1-a)](x+1)与指数函数e^x的乘积,指数函数e^x恒大于零,所以f'(x)的正负符号与二次函...
肃州区18940779827: 已知x=1是函数f(x)=1/3ax^3 - 3/2x^2+(a+1)x+5的一个极值点 - ?
西览葆宫: (1)f'(x)=ax^2-3x+a+1,f'(1)=0 ∴a-3+a+1=0 a=1.∴f(x)=(1/3)x^3-(3/2)x^2+2x+5.(2)曲线y=f(x)与y=2x+m有三交点,即(1/3)x^3-(3/2)x^2+2x+5-2x-m=0有三个根,即g(x)=(1/3)x^3-(3/2)x^2+5-m有三个零点,由g'(x)=x^2-3x=0→x=0或3,g'(x)>0 ∴x<0或x>3,g'(x)∴0...
肃州区18940779827: 已知函数f(x)=x^2 - 1,g(x)=a|x - 1| - ?
西览葆宫: (1)|f(x)|=g(x) x^2-1=a|x-1| |x-1|(|x+1|-a)=0 由上式x=1是一个跟,所以|x+1|-a=0只有一个跟或者两个根其中一个是x=1 |x+1|-a=0只有一个跟时,a=0 |x+1|-a=0的两个跟时,a=2 综上a=0或a=2(2)x^2-1>=a|x-1|恒成立 令f(x)=x^2-a|x-1|-1 当x>=1时,x^2-ax+a-1>=0恒成立 对称轴x=a/2<=1 f(1)>=0 所以a<=2 当x<1时,f(x)=x^2+ax-a-1>=0 对称轴x=-a/2>=1 f(1)>=0 所以a<=-2 综上a<=-2
肃州区18940779827: 已知x=1是函数f(x)=(x^2+ax)e^x,x>0和bx ,x<=0的极值点(1)求a的值(2)函数y=f(x) - m有2个零点,求m的取值范围?
西览葆宫: x>0时, f'(x)=(2x+a)e^x+(x²+ax)e^x =[x²+(a+2)x+a]e^x ∵x=1是f(x)的极值点 ∴f'(1)=0 即1+(a+2)+a=0 a=-3/2 f'(x)=(x²+1/2x-3/2)e^x =(x-1)(x+3/2)e^x x=1是极小值点 ∴a=-3/2,符合题意 (2) 函数y=f(x)-m有2个零点 即f(x)的图像与直线y=m有2个...
肃州区18940779827: 已知函数f(x)=x^2,求f(x)详解! - ?
西览葆宫: 首先f(x)可以化简成f(x)=(x+a/2)^2+3-a^2/4 可知对称轴是x=-a/2,然后f(x)取极值的情况无非三种 1.对称轴在区间[-1,1]左,即-a/21,此时x=1处取最小值 按第一种带回可得算式1-a+3=-3,a=7,满足-a/21,可以 综上,a=±7
肃州区18940779827: 已知x=1是函数f(x)=mx^3 - 3(m+1)x^2 +nx+1的一个极值点,其中m,n属于R,m<0.…… - ?
西览葆宫: f'(x)=3mx^2-6(m+1)x+n x=1是函数f(x)的一个极值点 所以:f'(1)=3m-6(m+1)+n=0 n=3m+6 f(x)=3mx^2-6(m+1)x+3(m+2) f'(x)/(x-1)=3mx-(m+2) 所以:f'(x)=3(x-1)(mx-m-2) 所以,除了x1=1的极值点之外,还存在第二个极值点x2=(m+2)/m=1+2/m f''(x)=6...
肃州区18940779827: 已知x=1是函数f(x)=mx^3 - 3(m+1)x^2+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R,m<0, 当x∈[ - 1,1]时,函数y=f(x)的... - ?
西览葆宫: 对f(x)求导,得f'(x)=3mx²-6(m+1)x+n 既然x=1为此函数的一个极值点,那么f'(1)=0 代入得n=3m+6 然后根据题意在-1到1 切线斜率恒大于3m 那么可知导数f'(x)在-1到1上恒大于3m f'(x)=3mx²-6(m+1)x+3m+6 转化为求f'(x)-3m>0问题 化简得3mx²-6(m+1)x+6,设为h(x).研究新函数的图像,由于m小于0,易知函数开口向下.y轴截距为h(0)=6 那么根据函数性质 ,只要在-1,1两点函数大于0 即可满足要求 解得-4/3解答完毕
肃州区18940779827: 已知x = 1 是函数f ( x) = ( ax - 2)e x 的一个极值点 - ?
西览葆宫: 解:(1) 由f ( x) = ( ax - 2)e^ x 得f '( x) =ae^x+ ( ax - 2)e x 已知x = 1 是函数f ( x) = ( ax - 2)e x 的一个极值点.f' ( 1)=0 即 ae+(a-2)e=0 a=1 (2) 因为f ( x) = ( x - 2)e^ x f '( x) =e^x+ ( x - 2)e x =(x-1)e^x 当 x∈(- ∞,1)时 f '( x)0 函数 f ( x) = ( x - 2)e^ x 在x∈(1,+∞)...
肃州区18940779827: 1.若函数f(x)=x^2,则f(x+1)=?2.已知f(x+1)=2x - 1则f(x)=?3.已知f(√x)=x - 1则f(2)=? 要过程 - ?
西览葆宫: 1 f(x)=x^2 f(x+1)=(x+1)^22 f(x+1)=2x-1 令x+1=t 则x=t-1 f(t)=2(t-1)-1=2t-3 f(x)=2x-33 f(√x)=x-1 f(2)=f(√4)=4-1=3