数学上的公理有哪些?
传统形式逻辑三段论由一类事物的不证自明的全称判断作为前提,可以推断这类事物中部分判断为真,那么这个全称判断就是公理。如“有生必有死”,就属于这种判断。
在欧几里得几何系统中,下面所述的是几何系统中的部分公理:
① 等于同量的量彼此相等。
②等量加等量,其和相等。
③ 等量减等量,其差相等。
④ 彼此能重合的物体是全等的。
以下是常用的等量公理的代数表达:
①如果a=b,那么a+c=b+c。
②如果a=b,那么a-c=b-c。
③如果a=b,且c≠0,那么ac=bc。
④如果a=b,且c≠0,那么a/c=b/c。
⑤如果a=b,b=c,那么a=c。
在数学中,公理这一词被用于两种相关但相异的意思之下——逻辑公理和非逻辑公理。在这两种意义之下,公理都是用来推导其他命题的起点。和定理不同,一个公理(除非有冗余的)不能被其他公理推导出来,否则它就不是起点本身,而是能够从起点得出的某种结果—可以干脆被归为定理了。
扩展资料
古希腊人认为几何学也是数种科学的其中之一,且视几何学的定理和科学事实有同等地位。他们发展并使用逻辑演绎方法来作为避免错误的方法,并以此来建构及传递知识。亚里斯多德的后分析篇是对此传统观点的一决定性的阐述。
“公理”,以传统的术语来说,是指在许多科学分支中所共有的一个不证自明的假设。
在各种科学领域的基础中,或许会有某些未经证明而被接受的附加假定,此类假定称为“公设”。公理是许多科学分支所共有的,而各个科学分支中的公设则是不同的。公设的有效性必须建立在现实世界的经验上。确实,亚里斯多德曾言,若读者怀疑公设的真实性,这门科学之内容便无法成功传递。
参考资料来源:网页链接百度百科-公理
传统形式逻辑三段论由一类事物的不证自明的全称判断作为前提,可以推断这类事物中部分判断为真,那么这个全称判断就是公理。如“有生必有死”,就属于这种判断。
在欧几里得几何系统中,下面所述的是几何系统中的部分公理:
① 等于同量的量彼此相等。
②等量加等量,其和相等。
③ 等量减等量,其差相等。
④ 彼此能重合的物体是全等的。
以下是常用的等量公理的代数表达:
①如果a=b,那么a+c=b+c。
②如果a=b,那么a-c=b-c。
③如果a=b,且c≠0,那么ac=bc。
④如果a=b,且c≠0,那么a/c=b/c。
⑤如果a=b,b=c,那么a=c。
在数学中,公理这一词被用于两种相关但相异的意思之下——逻辑公理和非逻辑公理。在这两种意义之下,公理都是用来推导其他命题的起点。和定理不同,一个公理(除非有冗余的)不能被其他公理推导出来,否则它就不是起点本身,而是能够从起点得出的某种结果—可以干脆被归为定理了。
扩展资料
古希腊人认为几何学也是数种科学的其中之一,且视几何学的定理和科学事实有同等地位。他们发展并使用逻辑演绎方法来作为避免错误的方法,并以此来建构及传递知识。亚里斯多德的后分析篇是对此传统观点的一决定性的阐述。
“公理”,以传统的术语来说,是指在许多科学分支中所共有的一个不证自明的假设。
在各种科学领域的基础中,或许会有某些未经证明而被接受的附加假定,此类假定称为“公设”。公理是许多科学分支所共有的,而各个科学分支中的公设则是不同的。公设的有效性必须建立在现实世界的经验上。确实,亚里斯多德曾言,若读者怀疑公设的真实性,这门科学之内容便无法成功传递。
参考资料来源:网页链接百度百科-公理
现代数学的大部分,其基础是数理逻辑和公理集合论。它们各自是由一组确定的公理描述的。
数理逻辑中描述了关于逻辑演算的基本规则。其中描述了如(用通俗的话说)“如果A、B两句话都对,那么A就对”等等的一组公理。
公理集合论通常指由著名的ZFC(Zemelo-Fraenkel公理加上选择公理[Axiom of Choice])公理系统定义的集合论。其中描述了如(用通俗的话说)“两个集合的元素相同则集合相等”等等的一组公理。
用上面的公理系统,加上适当的定义和推理,就可以推演出现代数学的大部分内容。
从某种角度上看,所有数学定义都是公理,因为定义就是规定了研究对象的一些性质——而定义甚至不能指出研究对象是存在的。
一个习见的例子是欧几里得几何,也就是中学课本中的几何。可以说它是一组公理推演出来的,但也可以说是一组几何公理定义了什么是几何,定义了什么是点、线、面等几何对象。当然,中学课本用的公理系统并不完善,出于教学的需求,它增加了一些多余的公理(如关于三角形全等的公理,本来只是定理),但省略了一些中学阶段不易理解的公理(如连续性公理,要求了解实数构造)。
再举一个常有人问的例子:自然数是什么?
其实数学上严格定义自然数就是用一组公理来定义的,也就是Peano公理。它的严格表述较繁,你可以参看百度百科(那个解释其实也不是很好,将就吧)。
Peano公理,用通俗的话说,是说自然数必须有个1;然后有了1,后面就一定得有个2,而且只有一个2,以此类推;然后还要有归纳法,或者说从1开始的一个无穷序列必须构成一个集合。
这组公理并没有说明自然数存在,但我们可以把只含一个空集一个元素的集合当成1,然后把1与空集作为两元素的集合当成2,以此类推,构造出确实有这么一个自然数的集合。
在公理的基础上,我们还可以定义加法的运算,并证明它们的运算性质。(顺便说一句,你会发现很多人曾无聊地问过的“1 + 1 = 2”恰是由加法的定义直接保证的
欧几里德的《几何原本》,一开始欧几里德就劈头盖脸地给出了23个定义,5个公设,5个公理。其实他说的公社就是我们后来所说的公理,他的公理是一些计算和证明用到的方法(如公理1:等于同一个量的量相等,公理5:整体大于局部等)他给出的5个公设倒是和几何学非常紧密的,也就是后来我们教科书中的公理。分别是:
公设1:任意一点到另外任意一点可以画直线
公设2:一条有限线段可以继续延长
公设3:以任意点为心及任意的距离可以画圆
公设4:凡直角都彼此相等
公设5:同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在某一侧的两个内角和小于二直角的和,则这二直线经无限延长后在这一侧相交。
1、两点确定一条直线。
2、两点之间线段最短。
3、同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
4、同位角相等,两直线平行。
5、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
6、两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
7、两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
8、三边分别相等的两个三角形全等。
数学公理有哪些?
两点之间线段最短,同角或等角的补角相等,同角或等角的余角相等,过一点有且只有一条直线和已知直线垂直,直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短。初中数学九条公理的由来平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行,如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行,...
初中数学九大什么三大什么
一、九大公里:1 、过两点有且只有一条直线 2 、两点之间线段最短 3、 同角或等角的补角相等 4 、同角或等角的余角相等 5 、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6、 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 、平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 ...
数学世界前五大公理是什么数学的所有定理
事实上欧几里德用这种构造法证明很多命题。第五个公设非常罗嗦,没有前四个简洁好懂。声明的也不是存在的东西,而是欧几里德自己想的东西。这就足以说明他的天才。从欧几里德提出这个公理到1800年这大约2100年的时间里虽然人们没有怀疑整个体系的正确性,但是对这个第五公设却一直耿耿于怀。很多数学家想...
初中数学公理都有什么??看清楚了,只要公理,不要定理。
你应该问的是平面几何公理吧,初中学的是欧几里得几何。有五个公设,即公理。公设1:任意一点到另外任意一点可以画直线。 公设2:一条有限线段可以继续延长。 公设3:以任意点为心及任意的距离可以画圆。 公设4:凡直角都彼此相等。 公设5:同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在某一侧的两个内角...
初中数学几何的公理有那些?
24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角...
数学上的公理有哪些?
数学上的公理有很多,你所要问的可能指作为数学基础的东西。我不保证如果只有中学数学知识就可以看懂我写的东西,但我将大致讲讲思想,后面会给出一些知识的来源。现代数学的大部分,其基础是数理逻辑和公理集合论。它们各自是由一组确定的公理描述的。数理逻辑中描述了关于逻辑演算的基本规则。其中描述了...
初中数学八大公理是什么
15、当今世界上最重要的三大化石燃料是 煤,石油,天然气 。 16、形成化合物种类最多的元素:碳 十、有关不同 1、金刚石和石墨的物理性质不同:是因为 碳原子排列不同。 2、生铁和钢的性能不同:是因为 含碳量不同。 3、一氧化碳和二氧化碳的化学性质不同:是因为 分子构成不同。 (氧气和臭氧的化学性质不同...
小学当中有哪些公理化的例子?
5、乘法分配律:两个数的和同一个数相乘,可以把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积相加,结果不变.6、除法的性质:在除法里,被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数,商不变.O除以任何不是O的数都得O.简便乘法:被乘数、乘数末尾有O的乘法,可以先把O前面的相乘,零不参加运算,有几个零都落...
数学八大公理是什么?
传统形式逻辑三段论由一类事物的不证自明的全称判断作为前提,可以推断这类事物中部分判断为真,那么这个全称判断就是公理。如“有生必有死”,就属于这种判断。在欧几里得几何系统中,下面所述的是几何系统中的部分公理:① 等于同量的量彼此相等。②等量加等量,其和相等。③ 等量减等量,其差相等。④...
静力学公理有那几个
1、公理1 力的平行四边形法则。作用在物体同一点上的两个力可合成一个合力,合力的作用点也在该点,大小和方向由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。用矢量表示为:FR=F1+F 2、公理2 二力平衡公理。作用在刚体上的两力平衡的充要条件是:两力的大小相等、方向相反且作用在同一直线上。3...
银复乳安:[答案] 欧几里德的《几何原本》,一开始欧几里德就劈头盖脸地给出了23个定义,5个公设,5个公理.其实他说的公社就是我们后来所说的公理,他的公理是一些计算和证明用到的方法(如公理1:等于同一个量的量相等,公理5:整体大于局部等)他给出...
歙县19792238755: 数学上的八大公理是哪八大?.. - ?
银复乳安:[答案] 你问的是数学的哪一方面的,欧几,非欧,代数等等多了去了,光欧几就有5公设,5公理. 常见的欧几1.平行公理:如果一条线段与两条直线相交,在某一侧的内角和小于两直角和,那么这两条直线在不断延伸后,会在内角和小于两直角和的一侧相...
歙县19792238755: 数学世界前五大公理是什么数学的所有定理 - ?
银复乳安: 欧几里德的《几何原本》,一开始欧几里德就劈头盖脸地给出了23个定义,5个公设,5个公理.其实他说的公社就是我们后来所说的公理,他的公理是一些计算和证明用到的方法(如公理1:等于同一个量的量相等,公理5:整体大于局部等)...
歙县19792238755: 数学中一共有几条公理?分别是什么? - ?
银复乳安:[答案] 公理多的数都数不清.更不用提分别是什么了.
歙县19792238755: 7、8年级的数学公理 至少10条 - ?
银复乳安: 初中数学知识内容概况公理和定理一、线与角 1.两点之间,线段最短. 2.经过两点有一条直线,并且只有一条直线. 3. 等角的补角相等,等角的余角相等. 4.对顶角相等 5. 经过直线外或直线上一点,有且只有一条直线与已知直线垂直. 6. (1)...
歙县19792238755: 初中数学公理有哪些 - ?
银复乳安:[答案] 1.两点确定一条直线 2.两点之间线段最短 3.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4.同位角相等,两直线平行. 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 7.两角及其夹边分别相等的...
歙县19792238755: 数学几何的五大公理、五大公设是什么? - ?
银复乳安:[答案] 欧几里德的《几何原本》,一开始欧几里德就劈头盖脸地给出了23个定义,5个公设,5个公理.其实他说的公社就是我们后来所说的公理,他的公理是一些计算和证明用到的方法(如公理1:等于同一个量的量相等,公理5:整体大于局...
歙县19792238755: 初二数学《命题与证明》中有提到八条公理,请问八条公理是哪些! - ?
银复乳安:[答案] 1、两点之间线段最短 2、过两点有且只有一条直线 3、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 4、在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 5、同位角相等,两直线平行 6、SSS公理 7、SAS公理 8、ASA公理
歙县19792238755: 初中数学必背公式初中数学公式有哪些是必背的? - ?
银复乳安:[答案] 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直...
歙县19792238755: 数学 世界前五大公理是什么数学的所有定理由 前五大公理证明而成... 但是千五大公理是什么?... 我只记得一些..还需要补充.. 1.两点之间线段最短. 2.两条不平... - ?
银复乳安:[答案] a,任二点之间可作一直线.b,直线可以任意延长.c,可以以任意点为圆心,任意长为半径,画出一圆.d,直角皆相等.e,平行公设.