数学上的公理有哪些？

数学公理都有什么~

传统形式逻辑三段论由一类事物的不证自明的全称判断作为前提，可以推断这类事物中部分判断为真，那么这个全称判断就是公理。如“有生必有死”，就属于这种判断。
在欧几里得几何系统中，下面所述的是几何系统中的部分公理：
① 等于同量的量彼此相等。
②等量加等量，其和相等。
③ 等量减等量，其差相等。
④ 彼此能重合的物体是全等的。
以下是常用的等量公理的代数表达：
①如果a=b，那么a+c=b+c。
②如果a=b，那么a－c=b－c。
③如果a=b，且c≠0，那么ac=bc。
④如果a=b，且c≠0，那么a/c=b/c。
⑤如果a=b，b=c，那么a=c。
在数学中，公理这一词被用于两种相关但相异的意思之下——逻辑公理和非逻辑公理。在这两种意义之下，公理都是用来推导其他命题的起点。和定理不同，一个公理（除非有冗余的）不能被其他公理推导出来，否则它就不是起点本身，而是能够从起点得出的某种结果—可以干脆被归为定理了。
扩展资料
古希腊人认为几何学也是数种科学的其中之一，且视几何学的定理和科学事实有同等地位。他们发展并使用逻辑演绎方法来作为避免错误的方法，并以此来建构及传递知识。亚里斯多德的后分析篇是对此传统观点的一决定性的阐述。
“公理”，以传统的术语来说，是指在许多科学分支中所共有的一个不证自明的假设。
在各种科学领域的基础中，或许会有某些未经证明而被接受的附加假定，此类假定称为“公设”。公理是许多科学分支所共有的，而各个科学分支中的公设则是不同的。公设的有效性必须建立在现实世界的经验上。确实，亚里斯多德曾言，若读者怀疑公设的真实性，这门科学之内容便无法成功传递。
参考资料来源：网页链接百度百科-公理

传统形式逻辑三段论由一类事物的不证自明的全称判断作为前提，可以推断这类事物中部分判断为真，那么这个全称判断就是公理。如“有生必有死”，就属于这种判断。
在欧几里得几何系统中，下面所述的是几何系统中的部分公理：
① 等于同量的量彼此相等。
②等量加等量，其和相等。
③ 等量减等量，其差相等。
④ 彼此能重合的物体是全等的。
以下是常用的等量公理的代数表达：
①如果a=b，那么a+c=b+c。
②如果a=b，那么a－c=b－c。
③如果a=b，且c≠0，那么ac=bc。
④如果a=b，且c≠0，那么a/c=b/c。
⑤如果a=b，b=c，那么a=c。
在数学中，公理这一词被用于两种相关但相异的意思之下——逻辑公理和非逻辑公理。在这两种意义之下，公理都是用来推导其他命题的起点。和定理不同，一个公理（除非有冗余的）不能被其他公理推导出来，否则它就不是起点本身，而是能够从起点得出的某种结果—可以干脆被归为定理了。
扩展资料
古希腊人认为几何学也是数种科学的其中之一，且视几何学的定理和科学事实有同等地位。他们发展并使用逻辑演绎方法来作为避免错误的方法，并以此来建构及传递知识。亚里斯多德的后分析篇是对此传统观点的一决定性的阐述。
“公理”，以传统的术语来说，是指在许多科学分支中所共有的一个不证自明的假设。
在各种科学领域的基础中，或许会有某些未经证明而被接受的附加假定，此类假定称为“公设”。公理是许多科学分支所共有的，而各个科学分支中的公设则是不同的。公设的有效性必须建立在现实世界的经验上。确实，亚里斯多德曾言，若读者怀疑公设的真实性，这门科学之内容便无法成功传递。
参考资料来源：网页链接百度百科-公理

数学上的公理有很多，你所要问的可能指作为数学基础的东西。我不保证如果只有中学数学知识就可以看懂我写的东西，但我将大致讲讲思想，后面会给出一些知识的来源。

现代数学的大部分，其基础是数理逻辑和公理集合论。它们各自是由一组确定的公理描述的。
数理逻辑中描述了关于逻辑演算的基本规则。其中描述了如（用通俗的话说）“如果A、B两句话都对，那么A就对”等等的一组公理。
公理集合论通常指由著名的ZFC（Zemelo-Fraenkel公理加上选择公理[Axiom of Choice]）公理系统定义的集合论。其中描述了如（用通俗的话说）“两个集合的元素相同则集合相等”等等的一组公理。
用上面的公理系统，加上适当的定义和推理，就可以推演出现代数学的大部分内容。
从某种角度上看，所有数学定义都是公理，因为定义就是规定了研究对象的一些性质——而定义甚至不能指出研究对象是存在的。

一个习见的例子是欧几里得几何，也就是中学课本中的几何。可以说它是一组公理推演出来的，但也可以说是一组几何公理定义了什么是几何，定义了什么是点、线、面等几何对象。当然，中学课本用的公理系统并不完善，出于教学的需求，它增加了一些多余的公理（如关于三角形全等的公理，本来只是定理），但省略了一些中学阶段不易理解的公理（如连续性公理，要求了解实数构造）。

再举一个常有人问的例子：自然数是什么？
其实数学上严格定义自然数就是用一组公理来定义的，也就是Peano公理。它的严格表述较繁，你可以参看百度百科（那个解释其实也不是很好，将就吧）。
Peano公理，用通俗的话说，是说自然数必须有个1；然后有了1，后面就一定得有个2，而且只有一个2，以此类推；然后还要有归纳法，或者说从1开始的一个无穷序列必须构成一个集合。
这组公理并没有说明自然数存在，但我们可以把只含一个空集一个元素的集合当成1，然后把1与空集作为两元素的集合当成2，以此类推，构造出确实有这么一个自然数的集合。
在公理的基础上，我们还可以定义加法的运算，并证明它们的运算性质。（顺便说一句，你会发现很多人曾无聊地问过的“1 + 1 = 2”恰是由加法的定义直接保证的

欧几里德的《几何原本》，一开始欧几里德就劈头盖脸地给出了23个定义，5个公设，5个公理。其实他说的公社就是我们后来所说的公理，他的公理是一些计算和证明用到的方法（如公理1：等于同一个量的量相等，公理5：整体大于局部等）他给出的5个公设倒是和几何学非常紧密的，也就是后来我们教科书中的公理。分别是：
公设1：任意一点到另外任意一点可以画直线
公设2：一条有限线段可以继续延长
公设3：以任意点为心及任意的距离可以画圆
公设4：凡直角都彼此相等
公设5：同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。

1、两点确定一条直线。

2、两点之间线段最短。

3、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

4、同位角相等，两直线平行。

5、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。

6、两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。

7、两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。

8、三边分别相等的两个三角形全等。

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歙县19792238755： 数学八大公理是什么?我们老师说的.有个8大公理. - ？
银复乳安：[答案] 欧几里德的《几何原本》,一开始欧几里德就劈头盖脸地给出了23个定义,5个公设,5个公理.其实他说的公社就是我们后来所说的公理,他的公理是一些计算和证明用到的方法(如公理1:等于同一个量的量相等,公理5:整体大于局部等)他给出...

歙县19792238755： 数学上的八大公理是哪八大?.. - ？
银复乳安：[答案] 你问的是数学的哪一方面的,欧几,非欧,代数等等多了去了,光欧几就有5公设,5公理. 常见的欧几1.平行公理:如果一条线段与两条直线相交,在某一侧的内角和小于两直角和,那么这两条直线在不断延伸后,会在内角和小于两直角和的一侧相...

歙县19792238755： 数学世界前五大公理是什么数学的所有定理 - ？
银复乳安： 欧几里德的《几何原本》,一开始欧几里德就劈头盖脸地给出了23个定义,5个公设,5个公理.其实他说的公社就是我们后来所说的公理,他的公理是一些计算和证明用到的方法(如公理1:等于同一个量的量相等,公理5:整体大于局部等)...

歙县19792238755： 数学中一共有几条公理?分别是什么? - ？
银复乳安：[答案] 公理多的数都数不清.更不用提分别是什么了.

歙县19792238755： 7、8年级的数学公理 至少10条 - ？
银复乳安： 初中数学知识内容概况公理和定理一、线与角 1.两点之间,线段最短. 2.经过两点有一条直线,并且只有一条直线. 3. 等角的补角相等,等角的余角相等. 4.对顶角相等 5. 经过直线外或直线上一点,有且只有一条直线与已知直线垂直. 6. (1)...

歙县19792238755： 初中数学公理有哪些 - ？
银复乳安：[答案] 1.两点确定一条直线 2.两点之间线段最短 3.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4.同位角相等,两直线平行. 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 7.两角及其夹边分别相等的...

歙县19792238755： 数学几何的五大公理、五大公设是什么? - ？
银复乳安：[答案] 欧几里德的《几何原本》,一开始欧几里德就劈头盖脸地给出了23个定义,5个公设,5个公理.其实他说的公社就是我们后来所说的公理,他的公理是一些计算和证明用到的方法(如公理1:等于同一个量的量相等,公理5:整体大于局...

歙县19792238755： 初二数学《命题与证明》中有提到八条公理,请问八条公理是哪些! - ？
银复乳安：[答案] 1、两点之间线段最短 2、过两点有且只有一条直线 3、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 4、在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 5、同位角相等,两直线平行 6、SSS公理 7、SAS公理 8、ASA公理

歙县19792238755： 初中数学必背公式初中数学公式有哪些是必背的? - ？
银复乳安：[答案] 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直...

歙县19792238755： 数学 世界前五大公理是什么数学的所有定理由 前五大公理证明而成... 但是千五大公理是什么?... 我只记得一些..还需要补充.. 1.两点之间线段最短. 2.两条不平... - ？
银复乳安：[答案] a,任二点之间可作一直线.b,直线可以任意延长.c,可以以任意点为圆心,任意长为半径,画出一圆.d,直角皆相等.e,平行公设.