为什么说阿基里斯追不上乌龟

阿基里斯为什么永远追不上乌龟？这是谬论吗？~

这个不叫谬论，而是数学史上著名的悖论。
意思是，乌龟在阿基里斯前面10步，阿基里斯奔跑速度大于乌龟的爬行速度，二者同时出发，阿基里斯要追上乌龟，必须用一段时间先到达二者连线中点，紧接着到达新的中点，紧接着再达到新的中点，……；因为中点个数无限多，所以所用的时间段尽管不断减小但是总不能走完这些中点，因此阿基里斯就永远追不上乌龟。
但是根据我们的经验，只要阿基里斯的速度大于乌龟的，总会追上的。
然而当时的人们（包括现在的许多未经数学训练的人）无法理解这个看似矛盾（悖论的“悖”由此而来）的结论，所以就将其叫做悖论。
这个悖论的提出，揭示了数学发展的一个重要概念，即无穷小概念。

　　这是芝诺精心设计的又一个悖论：阿基里斯是传说中的古希腊的神行太保，可他就是追不上一只爬得非常慢地乌龟。
　　芝诺的“神行太保追乌龟”的游戏开始了：几里以外，乌龟正在缓慢地向前爬行，看它的速度，每分钟至多不过10米。
　　阿基里斯心想：凭我这双神腿，要不了几分钟，就能抓住乌龟。我一定要让芝诺的谎言破产。于是，他展开了飞毛腿向前飞奔，两脚几乎不粘地。
　　“慢着，阿基里斯。”芝诺在旁赶紧喊住阿基里斯，“你不能脚不沾地行走，要知道，你只是传说中的神行太保，实际上你是不能离开大地行走的。”
　　“即使这样，我也能抓住乌龟。”阿基里斯不服气地对芝诺说。
　　“但你是永远不可能抓住千古的，你看，现在乌龟离你有多远呢？”芝诺问道。
　　“大约二里地吧。”
　　“好了，等你到达现在乌龟所在地地方时，乌龟已离开那儿向前爬行了，当你赶到乌龟新的出发点时，乌龟又离开新的出发点向前爬行，依此类推，只要你一到乌龟原来所在地地方，乌龟就已经跑到前面一截了。阿基里斯，你怎么能追上乌龟呢？”芝诺洋洋得意地对他说。
　　“我明白了，我是追不上乌龟的，既然如此，今天的比赛我也不参加了。”
　　你说阿基里斯能追上乌龟吗？你又打算怎样来回答芝诺的这一悖论呢？

　　芝诺是古希腊一个极善于诡辩的哲学家。他的一个众人皆知的“阿基里斯永远追不上乌龟”的诡辩是这样的：阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。假设乌龟先爬一段路然后阿基里斯去追它。芝诺认为阿基里斯永远追不上乌龟。因为前者在追上后者之前必须首先达到后者的出发点，可是，这时后者又向前爬了一段路了。于是前者又必须赶上这段路，可是这时后者又向前爬了。由于阿基里斯和乌龟之间的距离可依次分成无数小段，因此阿基里斯虽然越追越近，但永远追不上乌龟。显然，这个结论在实践上是错误的，但奇怪的是这一论证在逻辑上似乎没有任何毛病。但用微积分的思想,却可以发现:

　　由于这段路程被分成了无数小段，而根据芝诺的推论,在每一个小段里，阿基里斯是永远追不上乌龟的。这显然是正确的。可是，我们可以看到，这无数个小段加起来,阿基里斯就刚好可以追到。这涉及到等比无穷数列问题。如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线，曲线与曲线的渐近线是没有交点的,所以，用微积分的思想是不能证明的，除非曲线与曲线的渐近线是有交点的。

如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑"数学派"所代表的毕达哥拉斯的" 1-0.999...>0"思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的"1-0.999...=0，但1-0.999...>0"思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的"1-0.999...=0，或1-0.999...>0"思想。
　　有人解释道：若慢跑者在快跑者前一段，则快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当他到达被追者的出发点，慢跑者又向前了一段，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。
　　芝诺当然知道阿基里斯能够捉住海龟，跑步者肯定也能跑到终点。
　　类似阿基里斯追上海龟之类的追赶问题，我们可以用无穷数列的求和，或者简单建立起一个方程组就能算出所需要的时间，那么既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说阿基里斯永远也追不上乌龟呢？然而问题出在这里：我们在这里有一个假定，那就是假定阿基里斯最终是追上了乌龟，才求出的那个时间。但是芝诺的悖论的实质在于要求我们证明为何能追上。上面说到无穷个步骤是难以完成。
　　以上初等数学的解决办法，是从结果推往过程的。悖论本身的逻辑并没有错，它之所以与实际相差甚远，在于这个芝诺与我们采取了不同的时间系统。人们习惯于将运动看做时间的连续函数，而芝诺的解释则采取了离散的时间系统。即无论将时间间隔取的再小，整个时间轴仍是由有限的时间点组成的。换句话说，连续时间是离散时间将时间间隔取为无穷小的极限。
　　其实这归根到底是一个时间的问题。譬如说，阿基里斯速度是10m/s，乌龟速度是1m/s，乌龟在前面100m。实际情况是阿基里斯必然会在100/9秒之后追上乌龟。按照悖论的逻辑，这100/9秒可以无限细分，给我们一种好像永远也过不完的印象。但其实根本不是如此。这就类似于有1秒时间，我们先要过一半即1/2秒，再过一半即1/4秒，再过一半即1/8秒，这样下去我们永远都过不完这1秒，因为无论时间再短也可无限细分。但其实我们真的就永远也过不完这1秒了吗？显然不是。尽管看上去我们要过1/2、1/4、1/8秒等等，好像永远无穷无尽。但其实时间的流动是匀速的，1/2、1/4、1/8秒，时间越来越短，看上去无穷无尽，其实加起来只是个常数而已，也就是1秒。所以说，芝诺的悖论是不存在的。

芝诺是古希腊一个极善于诡辩的哲学家。他的一个众人皆知的“阿基里斯永远追不上乌龟”的诡辩是这样的：阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。假设乌龟先爬一段路然后阿基里斯去追它。芝诺认为阿基里斯永远追不上乌龟。因为前者在追上后者之前必须首先达到后者的出发点，可是，这时后者又向前爬了一段路了。于是前者又必须赶上这段路，可是这时后者又向前爬了。由于阿基里斯和乌龟之间的距离可依次分成无数小段，因此阿基里斯虽然越追越近，但永远追不上乌龟。显然，这个结论在实践上是错误的，但奇怪的是这一论证在逻辑上似乎没有任何毛病。但用微积分的思想,却可以发现:
由于这段路程被分成了无数小段，而根据芝诺的推论,在每一个小段里，阿基里斯是永远追不上乌龟的。这显然是正确的。可是，我们可以看到，这无数个小段加起来,阿基里斯就刚好可以追到。这涉及到等比无穷数列问题。如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线，曲线与曲线的渐近线是没有交点的,所以，用微积分的思想是不能证明的，除非曲线与曲线的渐近线是有交点的。

首先阿基里斯必须跑到乌龟的出发点，这样，乌龟总是领先阿基里斯一段路。

假设乌龟超前1000米，阿基里斯以百倍与乌龟的速度向前赶，当阿基里斯跑的乌龟的原来位置时，乌龟前进了10米；当阿基里斯跑完这10米距离时，乌龟又前进了1分米；……如此下去，阿基里斯固然可以不断缩短同乌龟的距离，但始终处与乌龟的后面。

这是一个谬论，学了极限之后你就可以证明了。

空间和时间不是可以无限分割的，所以有一段时间是最微小的，阿基里斯和乌龟共同前进一个空间单位，然后超过乌龟。

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召陵区17271204119： 阿基里斯那么厉害,为什么还追不上乌龟? - ？
胡肯依信： 阿基里斯是荷马史诗中最善跑的英雄.芝诺是一名古希腊哲学家.芝诺认为,阿基里斯永远追不上乌龟.他的论证简要说来是这样的.阿基里斯要追上乌龟,首先必须到达乌龟原来的起跑点.可他跑到乌龟的起跑点需要一定时间,因而当他跑到乌龟的起跑点时,乌龟已经前进了一段路了,于是他又必须花一定的时间赶到乌龟的新的所在的点.而当他赶到乌龟新的所在的点时,乌龟又已经前进了一段路了.因而如此下去,阿基里斯永远也追不上乌龟. 阿基里斯追不上龟么?错!他当然可以,只要你给他足够的时间和距离.只是芝诺走入了一个思维的死门,他想阐述无限接近这个概念,也就是无穷小.如果非要按照芝诺的想法来思考的话,会进入一个循环里面,一切都是思考方式问题.

召陵区17271204119： 为什么说阿基里斯追不上乌龟 - ？
胡肯依信： 芝诺是古希腊一个极善于诡辩的哲学家.他的一个众人皆知的“阿基里斯永远追不上乌龟”的诡辩是这样的:阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄.假设乌龟先爬一段路然后阿基里斯去追它.芝诺认为阿基里斯永远追不上乌龟.因为前者在追上...

召陵区17271204119： 为什么阿基里斯永远追不上乌龟? - ？
胡肯依信： 这是芝诺精心设计的又一个悖论:阿基里斯是传说中的古希腊的神行太保,可他就是追不上一只爬得非常慢地乌龟. 芝诺的“神行太保追乌龟”的游戏开始了:几里以外,乌龟正在缓慢地向前爬行,看它的速度,每分钟至多不过10米. 阿基里...

召陵区17271204119： ＂芝诺悖论＂错在哪里?芝诺悖论:阿基里斯是古希腊神话里跑的最快的人,但如果他前面有一只乌龟(正从A点向前爬),他永远也追不上这只乌龟.理由如... - ？
胡肯依信：[答案] 时空是否可以无限分割芝诺悖论的关键是使用了两种不同的时间测度.原来,我们用来测量时间的任何一种“钟”都是依靠一... 1/9分钟就可以追上乌龟了. 因此,芝诺悖论的产生原因,是在于“芝诺时”不可能度量阿基里斯追上乌龟后的现象.在芝诺时...

召陵区17271204119： 芝诺悖论是不是对的,为什么?芝诺悖论:阿基里斯是古希腊神话里跑的最快的人,但如果他前面有一只乌龟(正从A点向前爬),他永远也追不上这只乌龟.... - ？
胡肯依信：[答案] 这是错的,想想数学上的极限概念, 举个例子 假如阿基里斯能在3分50秒内追上乌龟,那在3分50秒内,他只能无限接近乌龟, 而不能超越它,这就是芝诺悖论所能说明白的,而这里所谓的a点b点c点,无非 是指在时间无限接近3分50秒,时间的无...

召陵区17271204119： 阿基里斯为什么总追不上龟？
胡肯依信： 阿基里斯和乌龟都可以看作一个点.乌龟在前,阿基里斯在后.那么,当乌龟每经过一个地方时,阿基里斯也会经过.但由于他们都被看作一个点.那么,乌龟总是先经过那个点,而阿基里斯后经过,则出现了阿基里斯追不上乌龟的情况了.实际上,这是一种谬论.

召陵区17271204119： 为什么阿基里斯永远追不上龟？
胡肯依信： 阿基里斯(荷马史诗中的善跑猛将)追龟说.“一个跑得最快的人永远追不上一 个跑得最慢的人.因为追赶者首先必须跑到被追者的起跑点,因此走得慢的人永远领先.”伯内特解释说,当阿基里斯到达乌龟的起跑点时,乌龟已经走在前面一小段路了,阿基里斯又必须赶过这一小段路,而乌龟又向前走了.这样,阿基里斯可以无限的接近它,但不能追到它.亚里士多德指出:认为在运动中领先的东西不能被追上这个想法是错误的.因为在它领先的时间内是不能被赶上的,但是,如果芝诺允许它能越过所规定的有限的距离的话,那么它也是可以被赶上的.

召陵区17271204119： 阿基里斯与乌龟跑的最快的阿基里斯是追不上乌龟的!首先阿基里斯必须跑到乌龟的出发点,这样,乌龟总是领先阿基里斯一段路.假设乌龟超前1000米,阿... - ？
胡肯依信：[答案] 反证法 (这和龟兔赛跑是一样的)已知:龟和兔的起始位置间的距离是有限的假设:兔永远追不上龟只是无限接近证明;设龟与兔的起始点分别为O与O',当龟爬到无限远 处A点,此时兔跑到A'点(A'无限接近A);龟的路程是O...

召陵区17271204119： 啊里基斯为什么追不上龟?？
胡肯依信： 古希腊哲学家芝诺曾提出过一个论断:阿基里斯永远追不上龟.这个论断向来以它的荒谬著称. 论断里,阿基里斯虽然是河马史诗中的善跑英雄,但如果他在龟的后面,并与龟同时起跑,那他将永远追不上龟.因为当阿基里斯到达龟的起点时,龟向前爬了一段距离,只要龟不停下来,那么龟的下一个起点永远在阿基里斯的前方,所以阿基里斯永远追不上龟

召陵区17271204119： 古希腊经典哲理故事 - ？
胡肯依信：[答案] 芝诺是古希腊一个极善于诡辩的哲学家.他的一个众人皆知的“阿基里斯永远追不上乌龟”的诡辩是这样的:阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄.假设乌龟先爬一段路然后阿基里斯去追它.芝诺认为阿基里斯永远追不上乌龟.因为前者在追上后者之前必...