有极限必有界吗？
有极限就一定有界
极限定义，任取ε>0，存在N>0，当n>N时，有|xn-a|<ε
证：设数列{xn}的极限a，则由极限定义，对于ε=1，存在N>0，当n>N时，（N是个有限数）
有|xn-a|<1，则 |xn|=|xn-a+a|≤|xn-a|+|a|<1+|a|
取M=max{ |x1|，|x2|，...，|xN|，1+|a| }
则我们会发现，所有的 |xn|<M，（因为M=max{ |x1|，|x2|，...，|xN|，1+|a| }，因此M比数列中前N个数的绝对值都要大，当n>N后，所有的 |xn| 均小于1+|a|≤M）
因此{xn}有界。
扩展资料
极限的产生
与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的大脑抽象思维的产物。极限的思想可以追溯到古代，例如，祖国刘徽的割圆术就是建立在直观图形研究的基础上的一种原始的可靠的“不断靠近”的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对’无限‘的恐惧”，他们避免明显地人为“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中，改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。
数学问题:极限存在,那么函数必然有界吗?还是有界函数必然极限存在?谢谢...
极限存在并不意味着函数必然有界。举个例子，考虑函数f(x) = sin(1\/x)，当x趋近于0时，这个函数的极限是未定义的，因为1\/x趋近于无穷大，sin(1\/x)的值会在-1和1之间振荡，没有上界或下限。尽管这个函数在0处没有极限，但它确实是有界的，因为sin(1\/x)的绝对值总是小于或等于1。
有极限一定有界吗
有极限就一定有界。回忆极限定义，任取ε>0，存在N>0，当n>N时，有|xn-a|<ε 证：设数列{xn}的极限a，则由极限定义，对于ε=1，存在N>0，当n>N时，（N是个有限数）有|xn-a|<1，则 |xn|=|xn-a+a|≤|xn-a|+|a|<1+|a| 取M=max{ |x1|，|x2|，...，|xN|，1+|a| ...
有界函数有极限吗?
1. 有界函数并不一定总有极限。例如，考虑函数f(x)，它在有理数处取值为0，在无理数处取值为1。该函数是有界的，但在实数轴上的任何点都没有极限。当有理数序列趋近于某点时，函数趋近于0，而当无理数序列趋近于同一点时，函数趋近于1。2. 需要注意的是，有极限的函数并不要求其定义域内...
有界函数有极限吗?
有界函数不一定有极限。例如函数：当x为有理数时取0，当x为无理数时取1，为有界函数。但它在实数轴上的任意一点都没有极限（有理数序列趋近于该点时取极限0，无理数序列趋近于该点时取极限1）。不是说有极限的函数，只有局部有界性，不能有定义域内全部有界。而是说，有极限的函数，能确保极限...
极限和有界有什么区别
2、有界：若存在两个常数m和M，使函数y=f(x),x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D 。 则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。二、特点不同 1、极限：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。2、有界：如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列 ：“1，-...
函数有极限一定有界吗?
有极限就一定有界。回忆极限定义，任取ε>0，存在N>0，当n>N时，有|xn-a|<ε 证：设数列{xn}的极限a，则由极限定义，对于ε=1，存在N>0，当n>N时，（N是个有限数）有|xn-a|<1，则 |xn|=|xn-a+a|≤|xn-a|+|a|<1+|a| 取M=max{ |x1|，|x2|，...，|xN|，1+|a| ...
为什么有界函数必有极限?
1. 有界函数不一定存在极限。考虑函数f(x)，它在有理数x上取值为0，在无理数x上取值为1。这个函数是有界的，因为它在所有有理数和无理数上取值都不会超过1。然而，无论有理数还是无理数序列趋近于该函数的某一点，极限都不存在，因为它们趋近于不同的值。2. 错误概念纠正：有极限的函数并不...
为何函数有极限一定有界,如下图,不就是有极限但没界吗
你画的这个函数在x趋向于正无穷是有界的，要想证明无界，需要找到一个函数值比任何数都大，显然你画的这个函数在X趋向于正无穷时找不到这样一个点的函数值大于任何数。比如tanx在X趋向于无穷大时就可以找到x=pi时，函数值比任意一个数都大，所以是无界的。你可能没有理解无界的概念，希望能帮到你...
函数有极限一定有界吗?
有极限就一定有界。回忆极限定义，任取ε>0，存在N>0，当n>N时，有|xn-a|<ε 证：设数列{xn}的极限a，则由极限定义，对于ε=1，存在N>0，当n>N时，（N是个有限数）有|xn-a|<1，则 |xn|=|xn-a+a|≤|xn-a|+|a|<1+|a| 取M=max{ |x1|，|x2|，...，|xN|，1+|a| ...
什么是“极限有界”?
换句话说，如果函数在无穷远处的极限存在且有限，则函数在全体实数范围内有界。这两个结论表明，极限有限的函数在某个点附近或在整个实数范围内都是有界的。然而，需要注意的是，有界的函数不一定在每个点处的极限都存在或有限。因此，有界性是极限存在的一个充分条件，但不是必要条件 ...
上明麝香：[答案] 有极限的函数只是表明它在所论极限的点的附近是有界的,例如lim{x->x0}f(x)=A表明在x=x0的某个邻域内f(x)是有界的,但是f(x)在其定义域内未必有界,例如lim{x->0}e^x=1,函数e^x在x=0的某个邻域例如(-1,1)内有界:e^x
来宾市18450898147： 有极限的函数必有界,有界的函数不一定有极限 求解释 - ？
上明麝香：[答案] 有极限说明它会趋于一个定值,那肯定不会趋向无穷大,所以必有界;而有界表示不会趋向无穷大,但不一定会趋于一个定值,可以在一些位置上来回波动,比如(-1)^n,一直在-1和1之间波动,没有极限.
来宾市18450898147： 数列要有极限,则一定有界 为什么? - ？
上明麝香：[答案] 数列有极限必有界. 证明: 若an→a, 那么有对所有的e>0,存在自然数N, 当n>N,时 |an-a|就是说 n>N时 a-e对于n取M=max{a+e,ai} m=min{a-e,aj} 那么M,m分别是an的上界和下界 所以an有界. 这就说明了数列有极限必有界.
来宾市18450898147： 有极限的函数就是有界函数吗?有界函数是必须同时有上下两个界的吗? - ？
上明麝香：[答案] 1)(要指明)在某点有极限的函数未必是有界函数,只能是在某点“局部”有界的. 2)有界函数是必须同时有上下两个界的! 注:对函数来说,“有界” 是一个整体概念,而在某点有极限的函数只能保证 “局部” 的有界性,而不是整体的有界...
来宾市18450898147： 极限函数,有极限就一定有界吗 - ？
上明麝香： 不一定有界.反比例函数无界.
来宾市18450898147： 有极限的函数一定有界吗?? - ？
上明麝香： 举个例子啊 lim(x→X)f(x)存在,存在δ>0时f(x)在X的去心邻域中有界,那怎么又有当x→∞函数极限有界,这不是与书中定义中的x→X矛盾吗? x→X,是一般的写法,代表某个极限过程. x→∞函数极限有界指的是:如果lim(x→∞)f(x)存在存在,则存在某个正数 M,当x>M时,f(x)有界. 希望采纳
来宾市18450898147： 变量有极限一定有界,对吗?为什么? - ？
上明麝香： 对数列来说,正确.有极限就有界. 对函数来说,只是局部有界.比如(0,1)中的函数f(x)=1/x,在其中任何点的一个邻域有界,但整体无界.
来宾市18450898147： 函数有界一定有极限吗 - ？
上明麝香： 有极限就一定有界 极限定义,任取ε>0,存在N>0,当n>N时,有|xn-a|<ε 证:设数列{xn}的极限a,则由极限定义,对于ε=1,存在N>0,当n>N时,(N是个有限数) 有|xn-a|<1,则 |xn|=|xn-a+a|≤|xn-a|+|a|<1+|a| 取M=max{ |x1|,|x2|,...,|xN|,1+|a| } ...
来宾市18450898147： 数列有极限有一定有界吗? - ？
上明麝香： 充分不必要,有极限一定有界,有界不一定有极限
来宾市18450898147： 极限无穷小函数是否有界? - ？
上明麝香： 你得看在什么范围内.f(x)=1/x就是一个无界函数,但是当x趋于正无穷的时候它是一个无穷小量.
