平面几何竞赛题
1至9解答
如图,连P′B,P′C,P′Q,P′R,P′P,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵PQ∥AC,
∴∠QPB=∠ACB,
∴∠QPB=∠QBC,
∴QP=QB,
又∵P′是P关于直线RQ的对称点,
∴QP=QP′,即QP=QP′=QB,
∴Q点为△P′PB的外心,
同理可得R为△P′PC的外心,
∴∠P′QB=2∠P′PB
=2(180°-∠P′PC)
=360°-2∠P′PC,
由∠P′PR=∠PP′R,∠RPC=∠PCR,
∴∠P′QB=360°-∠P′PC-∠PP′R-∠PCR
=∠P′RC,
∵QP′=QB,RP′=RC,
∴△P′QB∽△P′RC.
2.
作平行四边形ADEP
连接CE,所以四边形BCEP是平行四边形
∠CDE=∠BAP
∠CPE=∠BCP
∠CDE=∠CPE,所以C、P、D、E四点共圆
∠CDP=∠CEP=∠CBP
即是∠PDC=∠PBC
3.
延长AB至Q ,使BQ=AM ,则△ABM≌△BCQ
所以∠Q=∠AMB ,因为∠AMB=∠PAN ,所以∠Q=∠PAN
因为AP:AM=AB:BM ,所以AP:AN=QN:CQ
所以△APN∽△QNC ,所以:∠APN=∠BNC
4.
证明:延长BP交AC于H,延长BQ交AC于G
∵AP平分∠ABC
∴∠BAP=∠CAP
∵BP⊥AP
∴∠APB=∠APH=90
∵AP=AP
∴△ABP≌△AHP (ASA)
∴BP=HP
同理可证:BQ=GQ
∴PQ是△BGH的中位线
∴PQ∥AC
5.
在三角形ABC中,X是AB上的一点,Y是BC上的一点,线段AY和CX相交于Z。假若AY=YC及AB=ZC,求证:B ,X ,Z 和Y
四点共圆。
证明
截线AZY对ΔBCX来说,恰好满足梅涅劳斯[Menelaus]定理,所以得:
(CY/YB)*(BA/AX)*(XZ/ZC)=1
(1)
因为AB=ZC,故得:
CY*XZ=AX*BY (2)
又AY=CY,所以有
AY*XZ=AX*BY
AY/BY=AX/XZ (3)
故知ΔAXZ∽ΔAYB,即∠AXZ=∠AYB,因此B ,X,Z 和Y四点共圆。
6.
用正弦定理:
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;
B=2C,A=4C,A+B+C=7C=π;
证1/a+ 1/b=1/c
两边乘以abc:
bc+ca=ab
代入,两边同时约去4R^2
sinBsinC+sinCsinA=sinAsinB
sin2CsinC+sinCsin4C=sin4Csin2C;sin3C=sin(7C-4C)=sin(π-4C)=sin4C,sin2C=2sinCcosC代入:
sin2CsinC+sinCsin3C=sin3Csin2C=2sinCcosCsin3C,约去sinC,
sin2C+sin3C=2cosCsin3C
由sin4C+sin2C=sin(3C+C)+sin(3C-C)=2sin3CconC,代入得
sin2C+sin3C=sin4C+sin2C
sin3C=sin4C
成立。(sin3C=sin(7C-4C)=sin(π-4C)=sin4C)
7.
根据等边对等角得出∠ABC=∠ACB, ∠A=∠AQP, ∠QPC=∠QCP,∠BQC=∠B,设∠A=x,则∠AQP=x,根据三角形的外角性质求出∠QPC=2x, ∠BQC=3x, ∠C=∠B=3x,在三角形ABC中根据三角形的内角和定理得出方程,x+3x+3x=180,解方程求出即可得x=180/7.
8.
解:AC=BC,∠C=20°.
则∠CAB=∠CBA=80°,∠BAD=60度,∠ABE=50°;∠AEB=∠C+∠CBE=50°=∠ABE,得AB=AE.
过点D作AB的平行线,交CA于F,则∠CDF=∠CFD=80°.连接BF,交AD于G,连接EG.
由对称性即可知,AG=BG,DG=FG,又∠BAG=60°,则⊿ABG与⊿DFG均为等边三角形.
故:AG=AB=AE,∠AGE=(180°-∠CAD)/2=80°,∠EGF=180°-∠AGE-∠AGB=40°.
又∠EFG=∠C+∠CBF=40° .
即∠EFG=∠EGF,得EF=EG;又DE=DE,DF=DG.故⊿FDE≌⊿GDE(SSS),得∠ADE=∠FDE=30°.
9.
过F作FG垂直AC于G.
因为△ABC是等腰直角△,所以∠B=∠C=45°
因为FG⊥AC,所以∠FGC=90°,可知△FGC是等腰直角△.
所以FG=GC,设它们=x.
因为∠FEG+∠BEA=90°,∠ABE+∠BEA=90°.
所以∠FEG=∠ABE,又因为BE⊥EF
所以∠BEF=∠A=90°
所以△ABE∽△GEF.因为E为腰AC的中点,可知BA:AE=2:1
所以BA:AE=EG:GF=2:1
所以EG=2FG=2CG=2x
所以EC=3x.因为EC=0.5
所以FG=1/6.
所以
三角形CEF的面积=1/2×1/6×1/2=1/24
连接PR、QR,延长BR交AC于D,过E作BC的垂线,垂足为N,过E作AB的垂线,垂足为M(1) △BPQ为等腰三角形,很容易,不写了gkos(2)?2校拢眩宜牡愎苍玻枰词紫刃枰蟮茫危眩Γ#矗罚唬粒保押停停校Γ#矗罚唬茫保械闹到幼徘螅牛遥Γ#矗罚唬龋业闹担嬖诤愕缺壤叵担浩渲校嚎傻茫鹤酆弦陨嫌杏钟捎冢牛巍危粒保龋牛汀危茫保纫虼擞上嗨票壤叵抵海牛巍危遥选eimq牛汀危遥校校遥选停拢茫aeim遥小停粒拢。校拢眩宜牡愎苍
这道题用到了楼上所说的【费尔马点】
证明:
过△ABC的顶点A、B、C分别作PA⊥AM,PC⊥CN,PB⊥BQ,三垂线分别交于M、N、Q三点
在四边形QAPB中,∠QAP=∠QBP=90°,∠APB=120°
∴∠AQB=60°
同理,∠AMC=∠CNB=60°
∴△QMN为等边三角形
设其边长为a,高为h,并设O到△MNQ三边的距离分别为ha,hb,hc
∵S△QMN=S△OQN+S△OQM+S△OMN
∴1/2ah=1/2a•ha+1/2a•hb+1/2a•hc=1/2a(ha+hb+hc)
∴h=ha+hb+hc
即△QMN内任意一点O到△QMN三边的距离之和等于等边三角形的高,是一个定值
∴PA+PB+PC=h
连接直线外一点与直线上一点的线段中,垂线段最短
∴OA+OB+OC大于O到△QMN三边的距离和
即OA+OB+OC>h
∴OA+OB+OC>PA+PB+PC
【说明】平面上到△ABC三个顶点距离和最小的点是P点,点P叫费尔马点
这个是费马点问题
这个可以参考
http://zhidao.baidu.com/question/333339214.html?an=0&si=1
这道数学题怎么解(平面几何)?
有什么问题可以提问,我会回答在追答或评论区
高中数学竞赛简单平面几何问题
(1)延长BP,交AC于S 由梅涅劳斯定理,CPQ截△ARS,有AQ\/QR*RP\/PS*SC\/CA=1 从而AQ\/QR=(PS*AC)\/(PR*CS)=(PS*AC)\/(PC*CS)又△PSC∽△CSB 所以PS\/CS=PC\/CB 即PS*BC=PC*CS 因此AQ\/QR=(PS*AC)\/(PS*BC)=AC\/BC为定值 (2)作角C的平分线交AB于T,连TQ 由角平分线定理AT\/TB=...
求几道初中数学竞赛平面几何典型题的答案及详细步骤
1至9解答 如图,连P′B,P′C,P′Q,P′R,P′P,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵PQ∥AC,∴∠QPB=∠ACB,∴∠QPB=∠QBC,∴QP=QB,又∵P′是P关于直线RQ的对称点,∴QP=QP′,即QP=QP′=QB,∴Q点为△P′PB的外心,同理可得R为△P′PC的外心,∴∠P′QB=2∠P′PB =2(180°...
求解一道高一竞赛平面几何题(巨难,求高手)。
(1)因为CQ平分角DCO,由角平分线分线断成比例可得,OQ=OC*OD\/(OC+CD),所以OQ*OB=(OA*(OC+CD)\/OD)*(OC*OD\/(OC+CD))=OA*OC 所以△COQ∽△BOA.所以∠OCQ=∠OBA.所以ABCQ四点共圆。(你题抄错啦)(2)取AO,BO中点E,F。连接NE,MF,由中位线性质可得,2PE=BO,2PF=AO,因为N...
这道数学题怎么解(平面几何)?
其表面积不变,根据正方体的表面积公式“S=6a2”即可求得它的表面积。正六面体具有如下特征:一、正六面体有8个顶点,每个顶点连接三条棱。二、正六面体有12条棱,每条棱长度相等。三、正六面体有6个面,每个面面积相等,形状完全相同。四、正六面体的体对角线:√3a ,其中,a为棱长。
一道六年级几何奥数题:求阴影部分面积
首先移动一下小阴影,结果阴影面积可以看做是【四分之一圆环】加上【aa‘弓形】弓形面积比较好算,需要还原下面的图形,便于理解:大圆面积-正方形面积【也就是两个三角形面积】除以4=[π*1*1-2*(2*1\/2)]\/4 计算四分之一圆环【难算】:大圆面积-小圆面积除以4 上面的步骤计算出正方形面积为2...
高中平面几何竞赛题,求解
∠A=60°,证明见下图:
高中平面几何竞赛题,求解
见下图:
3题平面几何
1.∵△ABC和△CDE都是等边三角形(已知)∴CB=CA ,∠ECD=60° CE=CD ,∠ACB=60°(等边三角形的性质)∴∠ECD=∠ACB(等量代换)∵∠ECD+∠BCD=∠ACB+∠BCD(等式性质)∴∠ACD=∠BCE 在△ECB和△DCA中,CE=CD(已证)∠ACD=∠BCE(已证)CB=CA(已证)∴△ECB≌△DCA(S.A.S)∴...
高中数学平面几何题?
答:那就给个第1小问的思路吧:AD中点O,连接PO、CO,过点O做ON⊥PC 很显然,PO是AD的中垂线,PO⊥平面ABCD;ABCO是正方形,故AD⊥平面PCO 故可以把O作为坐标原点,OP为z轴、AD为x轴,OC为y轴 ON显然可以证明出:ON⊥平面PBC 故求向量ON即为所求法向量 ...
韶风森克: 答案4S/27 过程(其中辅助线只是作出相应的高,不赘述): 1.由以上比例易求出,有以下面积关系: ADC/ABC=2/3 FXC/ADC=2/3 即面积关系:FXC=2ADC/3=4ABC/9 2.同理,面积上: CEY=2CBD/3 由D、Y两点向边BC做高,由面积比得高之比,再得:CY=DY/2,即CY=CD/3 3.同理,DX=CD/3 4.综上,X、Y三分CD.则XY/XC=1/2 则面积上XYZ=XFC/3=2ADC/9=4ABC/27=4S/27 完毕.
泊头市18357477974: 一道高中平面几何竞赛题 - ?
韶风森克: 过T作TC垂直于AO交于C 下面证明SCTB四点共圆 连结TO和CS 在RT三角形TOA中,TC垂直于OA 所以OC*OA=OT^2=OS^2 所以三角形COS相似于SOA 所以角OCS=角OSA 作两圆的公切线SW,W在S靠近A的一侧 这样角ASW=角ABS(弦切角) 所以角OSA=90-角ASW=90-角ABS 所以角OCS=90-角ABS 又角OCS=角TCS-90 由上面两式得到:角TCS+角ABS=180所以SCTB共圆 然后就简单了 P在OA上,BP垂直于BA 等价于 PBTC共圆 等价于 PBTCS共圆 等价于 PTCS共圆 等价于 PS垂直于TS 证毕 有什么问题可以提问~如果有帮助望采纳
泊头市18357477974: 一道高中数学竞赛平面几何题?
韶风森克: 作△ABC的外接圆O,则易证明:PB、PC都是圆O的切线! 连接OP,则OP⊥BC于K.则正如你所说,可以得到:∠CPQ = ∠BAK +∠CAP现在需要的就是证明:∠BAK = ∠CAP 连接OB、OA ,则易得:OB² = OK*OP 于是 OA² = OK*OP...
泊头市18357477974: 初中平面几何奥赛题··?
韶风森克: 作角B的平分线交AC于发,连接EF则EF垂直BC 所以EF和AD平行得AF/FC=DE/EC 由角平分线定理得AB/BC=AB/2EC=AF/FC 所以DE=0.5AB
泊头市18357477974: 几题高一数学竞赛的平面几何题 - ?
韶风森克: 等腰直角三角形 做圆O1切△ABD于N、P、Q 做圆O2切△ACD于H、I、M 则BN=BP AN=AQ DP=DQ ,AM=AH CI=CH DI=DM 假设结论S △ABC=AD^2.成立 则AD=BD=CD,即△ABC为等腰直角三角形 即AB=AC, BD=CD 即BN+AN=AH+HC,BP+PD=DI+IC(带入第三行) 则即证:AN+DP=DI+AH因为:AQ+QD=AM+MD=AD 所以:AN+DP=DI+AH 成立 所以:假设成立
泊头市18357477974: 急!求高中联赛平面几何题 - ?
韶风森克: 最好借本竞赛书,有本数委员会出的白蓝皮的大书知识点很全.大纲如下,勉强可以查缺补漏不过看了意思不大,可以找找2,3年前的中等数学的封底,当时他们杂志集中收集了很长时间的高中数学竞...
泊头市18357477974: 一道塞尔维亚 数学竞赛平面几何 - ?
韶风森克: 过P做pd垂直AC于D,PE垂直BC于E 设x=CD,y=CE,a=BC,b=AC 有x^+y^=1 x^+(a-y)^=4 x^+(a+y)^=AB^-AQ^=a^+b^-16 以上三式可推出吧b^=a^+14 在三角形ACP和ABP,BPC应用余弦定理1+16-8cos(pi-B)=a^+144+16-16cos角APB=a^+b^=2a^+141+4-4cosBPC=a^1式乘2减2式得 cosAPC=cosAPB=cos(pi-B) 角BPC=2角B1式减3式得4cosB+2cos2B=1 解得B=pi/3 所以A=pi/6
泊头市18357477974: 初一 数学竞赛 平面几何题 - ?
韶风森克: 60度 叫BDC为160 角A为80 所以三角形ABC是以D为圆心的内接圆 剩下的你应该会了 不会再问我吧
泊头市18357477974: 高中几何竞赛题?
韶风森克: 证 作KE⊥CA,交CA于E,NF⊥KC,交KC于F.连ME,MF.设CN=t,则AN=2t.CF=CN*cos30°=√3*t/2=CD/2.故F是CK的中点.又∵M是BC的中点,E为CA的中点,∴MF∥BK,ME∥AB,故得:∠EMF=∠ABK=∠EKF=60°.从而E,K,M,F四点共圆.又E,K,F,N四点共圆,故E,K,M,F,N五点共圆,因此∠KMN=90°,KM⊥NM.
泊头市18357477974: 小学六年级平面几何奥数题 - ?
韶风森克: 1.已知面积的两小三角和为一大三角,面积为2+6=8,故其高与面积为6的三角的高之比为8:6=4:3(其底边一样),所以上三角与下三角高之比为1:3,由于两者是相似三角形,故上底边和下底边之比为1:3假设下底边为x下三角为y,于是 xy=2*6=12 梯形面积(上底+下底*高/2)=(x/3+x)*(4*y)/3/2=(1+1/3)4xy/3/2=4/3*4*12/3/2=10又2/32.分不清不清C、D,总中面积为2*(A+B)=120,下三角.与1题相似,通过像是三角形可知与A面积比为1:9(相似边位1:3),故面积为4,左边图形面积为60-4=56