总听说某某数学难题被攻破，可是当今数学难题究竟有哪些啊？

目前世界还未解破的数学难题有几道，分别是什么？~

“世界难题”是：NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨-米尔斯存在性和质量缺口、纳卫尔-斯托可方程、BSD猜想共七个，其中一个，庞加莱猜想已经被解决，

1 连续统假设 已解决。1963年美国数学家保罗·柯恩以力迫法（forcing）证明连续统假设不能由ZFC推导。也就是说，连续统假设成立与否无法由ZFC确定。
2 算术公理之相容性 已解决。库尔特·哥德尔在1930年证明了哥德尔不完备定理。
3 两四面体有相同体积之证明法 已解决。希尔伯特的学生马克斯·德恩以一反例证明了是不可以的了。
4 建立所有度量空间使得所有线段为测地线 太隐晦。希尔伯特对于这个问题的定义过于含糊。
5 所有连续群是否皆为可微群 已解决。1953年日本数学家山迈英彦已得到完全肯定的结果。
6 公理化物理 非数学。对于物理学能否全盘公理化，有很多人质疑。
7 若b是无理数、a是非0、1代数数，那么a^b是否超越数 已解决。分别于1934年、1935年由Gelfond与Schneider独立地解决。
8 黎曼猜想及哥德巴赫猜想 部分解决。1966年中国数学家陈景润部分解答了哥德巴赫猜想。
9 任意代数数域的一般互反律 部分解决。1921年日本的高木贞治，1927年德国的埃米尔·阿廷（E.Artin）各有部份解答。
10 不定方程可解性 已解决。1970年苏联数学家马蒂塞维奇证明：在一般情况答案是否定的。
11 代数系数之二次形式 已解决。有理数的部分由哈塞于1923年解决，实数的部分则由希格尔于1930年解决。
12 扩展代数数 已解决。1920年高木贞治开创了阿贝尔类域理论。
13 以二元函数解任意七次方程 已解决。1957年柯尔莫哥洛夫和阿诺德证明其不可能性。
14 证明一些函数完全系统（Completesystemoffunctions）之有限性 已解决。1962年日本人永田雅宜提出反例。
15 舒伯特列举微积分（Schubert'senumerativecalculus）之严格基础 部分解决。一部分在1938年由范德瓦登得到严谨的证明。
16 代数曲线及表面之拓扑结构 未解决
17 把有理函数写成平方和分式 已解决。1927年埃米尔·阿廷（EmilArtin）已解决实封闭域。
18 非正多面体能否密铺空间、球体最紧密的排列 已解决。1910年比伯巴赫做出“n维空间由有限多个群嵌成”
19 拉格朗日系统（Lagrangian）之解是否皆可解析（Analytic） 已解决。1904年由伯恩斯坦（SergeBernstein）解决。
20 所有有界限条件的变量问题（Variationalproblem）是否都有解 已解决
21 证明有线性微分方程有给定的单值群（monodromygroup） 已解决
22 以自守函数（Automorphicfunctions）一致化可解析关系 已解决。 1904年由科比和庞加莱取得解决。
23 变分法的长远发展 已解决

21世纪数学七大难题

最近美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣
布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以
下是这七个难题的简单介绍。

“千僖难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题

在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅
中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女
士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这
样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问
题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与
此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你
可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，
那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个
答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被
看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook
）于1971年陈述的。

“千僖难题”之二： 霍奇(Hodge)猜想

二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样
的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来
形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有
力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。
不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些
没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来
说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。

“千僖难题”之三： 庞加莱(Poincare)猜想

如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表
面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸
缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说
，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球
面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体
)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。

“千僖难题”之四： 黎曼(Riemann)假设

有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的
数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布
并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密
相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的
所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它
对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

“千僖难题”之五： 杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口

量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大
约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学
之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中
所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如
此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学
家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来
没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引
进根本上的新观念。

“千僖难题”之六： 纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性

起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气
式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯
托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的
理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托
克斯方程中的奥秘。

“千僖难题”之七：贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想

数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾
经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正
如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一
般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷
通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特
别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(
1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。

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