大学高数 积分问题求解答
解答：由已知得：
f '(x)=x^2+ax+a
因为 A，B是函数f(x)的两给不同的极值点
所以 x^2+ax+a=0有两个不同根即x1,x2且x1+x2= -a, x1x2=a
即 a^2 -4a >0
得 a4
又AB斜率为 [f(x1) -f(x2)] / (x1 -x2)
[ 1/3(x1^3 -x2^3)+1/2a(x1^2 -x2^2)+a(x1 -x2) ]/ (x1 -x2)
=1/3 [(x1+x2)^2 -x1x2]+1/2a(x1+x2)+a
=1/3[( -a)^2 -a]+1/2a( -a)+
= (-1/6)a^2+(2/3)a
因为直线AB的斜率不小于-2
所以 (-1/6)a^2+(2/3)a >= -2
解得 -2 <= a <= 6
综上所诉 -2<=a<0 或 4<a<=6
f(x)的一阶导数f'(x)=-2*(2x^2 - tx -2)/(x^2 + 1)^2
f'(x)的分母恒大于0，分子为正的部分正好是【α、β】。
所以f'(x)在区间【α、β】上恒大于0
所以f(x)在区间【α、β】上单调递增
所以A=f(β)=(4β-t)/(β^2 +1)，B=f(α)=(4α-t)/(α^2 +1)
g(t)=A-B=[4αβ(α-β)-4(α-β)-t(α-β)(α+β)]/(α^2β^2+α^2+β^2+1)
因为α、β是方程的两个根，所以α+β=t/2，α*β=-1
α-β=-sqrt(α^2 + β^2 -2αβ)=-sqrt[(α+β)^2-4αβ]=-[sqrt(t^2+16)]/2
带入g(t)=sqrt(t^2 +16)
又因为方程有两个实根，所以delt=t^2 +16 恒大于0
所以g(t)最小值为t=0时g(0)=4
利用被积函数与积分区间的特殊性如图计算，最后一步用的是华莱士公式。
都是使用换元法解题，详细的解答过程如下图片
只紫妇宝：[答案] 两个曲面的交线是z=1,x^2+y^2=1,所以物体在xy坐标面上的投影区域是D:x^2+y^2≤1 体积V=∫∫(D) [(2-x^2-y^2)-√(x^2+y^2)]dxdy=∫(0~2π)dθ∫(0~1) (2-ρ^2-ρ)ρdρ=2π∫(0~1) (2ρ-ρ^3-ρ^2)dρ=5π/6
润州区18546326388： 求问两题高数的不定积分问题1、求积分:{xlnx/(1+x^2)^3/2}dx2、求积分:{(1+lnx)/[2+(xlnx)^2]}dx - ？
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润州区18546326388： 简单高数积分问题∫1/(1 - t^2)dt 求详细过程,万分感谢 - ？
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只紫妇宝：[答案] 题一:因为Y^2=X 所以2ydy=dx 所以∫L xy dx=∫(y^3)2ydy 积分区间为-1〈y〈1 ∫L xy dx=∫(y^3)2ydy=4/5 题二;X^2+Y^2≤X 所以(x-1/2)^2+(y)^2≤1/4 不妨设X=Pcos(t) y=Psint(t) 0≤p≤1/4 0≤t≤2pi 所以∫∫{[Pcos(t)+Psin(t)]p}dpdt,所以积分区间为 0≤p≤...
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只紫妇宝： =积分(从0到pi/4)【ln(sinx+cosx)--lncosx】dx 利用sinx+cosx=根号(2)sin(x+pi/4)得 =积分(从0到pi/4)【ln根号2+lnsin(x+pi/4)--lncosx】dx lnsin(x+pi/4)做变量替换x+pi/4=t =pi*ln2/8+积分(从pi/4到pi/2)lnsinxdx--积分(从0到pi/4)lncosxdx lnsinx做变量替换x=pi/2--t =pi*ln2/8
