为什么级数n分之1发散，级数n方分之1却收敛

为什么n分之一级数是发散的，而n平方分之一级数却是收敛的？~

n分之一趋于0的速度慢

0<∑1/n²<∑[1/n(n-1)] = ∑[1/n-1)-1/n] = 1-1/n，所以收敛。

至于∑1/n.考虑函数ln(1+x) - x，其导数为1/(1+x) -1。

当x恒大于0时，导数恒小于0，当x=0时，ln(1+x)-x =0，

当x>0时，ln(1+x) - x <0 ，所以ln((n+1)/n) = ln(1+1/n) < 1/n。

1/n > ln(n+1)-ln(n)，所以∑1/n > ∑ln(n+1)-ln(n) = ln(n+1)很显然不收敛。

1/(n*n)收敛的原因：

可以用1/x*x的积分放大估计，也可以用按2的k次方集项估计：

第一项等于1，第二第三项之和小于1/2(小于两个1/2的平方，第4项到第7项之和小于1/4(四个1/4平方之和），第8项到第15项之和小于1/8(八个1/8平方之和.）

总之，小于收敛的公比为1/2的等比级数，所以收敛。

扩展资料

判断级数收敛或者发散的方法：

1、比较判别法

简而言之，小于收敛正项级数的必然收敛，大于发散正向级数的必然发散。当然其中可以存在倍数关系，可以将一个级数放大或缩小再进行比较。若用极限形式，就是二者的比值的极限值是一个有限的正数即可。

2、柯西判别法

从某一项往后，那一项的n分之一次方大于等于1，那么这个级数发散，若那一项的n分之一次方小于1，但是不能无线接近于1，则级数收敛。极限形式就是正项级数的n分之一次方的上极限小于1，收敛，大于1则发散，等于1需要进一步判断。

3、达朗贝尔判别法

从某一项开始，这一项和前一项的比值大于等于1，则级数发散；若这一项和前一项的比值小于1且不会无限接近于1，则级数收敛。极限形式就是这个比值的上极限小于1，级数收敛；这个比值的下极限大于1，级数发散。

参考资料来源：百度百科-发散

参考资料来源：百度百科-收敛

证明如下：

因此该级数发散。

扩展资料：

反证法：

假设调和级数收敛 , 则：

但与

矛盾，故假设不真，即调和级数发散。

中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的。他的方法很简单：

1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...

1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...

注意后一个级数每一项对应的分数都小于调和级数中每一项，而且后面级数的括号中的数值和都为1/2，这样的1/2有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调和级数也是发散的。

从更广泛的意义上讲，如果An是全部不为0的等差数列，则1/An就称为调和数列，求和所得即为调和级数，易得，所有调和级数都是发散于无穷的。

如果直接利用p级数的话，1/n∧p p≤1时发散 p＞1时收敛
1/n是调和级数
利用定积分的几何意义来做
阴影部分面积表示它的部分和sn ∫1/xdx求得的是∞ 即没有极限，那么根据定义，发散的
来看1/n∧2
求它的和 利用定积分求得极限sn=1
即收敛于1
如果有书本的话直接看p级数敛散性证明过程就明白了

计算一下取平面上的点使得两个坐标互素的可能性.记为p,那么坐标最大公约数是2的可能性是4p.同理有9p.加起来,用全概率是1,知道1/p=n平方分之一的级数和.因为p不为0所以收敛.
若在直线上去.就化为直线上取1,-1的概率.显然p=0,所以级数发散。
∑1/n^p称为p级数,当且仅当p>1的时候收敛
p级数是判定一些长相古怪的级数是否收敛的基准,就是我们常说的大O判别法,这主要是直观感受,很多数时候不能用作证明。

利用函数的面积进行理解，求两个函数从一到无穷大与x轴围成的面积，发现一个可求，一个不可求，就可得一个发散，一个收敛

---

宕昌县18833958938： 为什么n方分之1是发散的 ？
康向治必： 因为当n趋向无穷时,n分之一就趋向0.即它的通项趋向0,级数收敛(n分之一是例外,它为扩散).收敛级数的基本性质主要有:级数的每一项同乘一个不为零的常数后,它的收敛性不变两个收敛级数逐项相加或逐项相减之后仍为收敛级数在级数前面加上有限项,不会改变级数的收敛性原级数收敛,对此级数的项任意加括号后所得的级数依然收敛级数收敛的必要条件为级数通项的极限为0.

宕昌县18833958938： n分之一为什么发散 探究n分之一级数的散散性质? - ？
康向治必： 综上所述,n分之一级数是搭陆洞一种发散级数.这一结论在数学中具有重要的意义,可以为我们的数学研究提供有益的启示.n分之一级数是一种重要的数学级数,它的通项公式为an=1/n.在数学中,级数是一种无限的数列和,即将无限个数相...

宕昌县18833958938： 复变函数中级数问题为何n分之一的级数是发散的,而n分之一的二次方的级数也是收敛的?虽然n分之一的二次方是随着n的增大而减小,但级数和是在不断... - ？
康向治必：[答案] n分之1的级数叫调和级数,是发散的,高数书里像定理一样的东西,记住就好了.可以放缩证明 1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8..>1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8).. 后面这个显然是发散的(这个是我抄来的,自己写太麻烦了) n分之1的p次幂...

宕昌县18833958938： n分之一为什么是发散的? ？
康向治必： 因为∑1/n=1+1/2+1/3+1/4+…=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+…+1/8)+(1/9+…+1/16)+(1/17+... =1+m/2+……,当n→∞时,m→∞,1+m/2→∞发散.所以级数∑1/n发散.在数学分析中...

宕昌县18833958938： 级数㏒n分之一为什么发?级数㏒n分之一为什么发散 ？
康向治必： 给你一个好证明!我们计算一下取平面上的点使得两个坐标互素的可能性.记为p,那么坐标最大公约数是2的可能性是4p.同理有9p.....加起来,用全概率是1,知道1/p= n平方分之一的级数和.因为p不为0所以收敛. 若在直线上去.就化为直线上取1,-1的概率.显然p=0,所以级数发散

宕昌县18833958938： 凭什么判断级数n方分之一是收敛的?为什么我觉得应该是和级数n分之一一样是发散的呢? - ？
康向治必：[答案] 1/(n∧2)<1/(n(n-1))=1/(n-1)-1/n两边求和……

宕昌县18833958938： 级数1/n为什么是发散的?( - 1)^n(1/n)为什么收敛 - ？
康向治必： 调和级数 部分和极限不存在所以发散;交错级数符合莱布尼兹定理条件,收敛

宕昌县18833958938： 调和级数是发散的,但是 n平方分之1 这个级数为什么就收敛啊 怎么证明???? - ？
康向治必： 级数∑1/n^2的前n项和sn=1+1/2^2+1/3^2+……+1/n^2是递增的,且sn<1+1/2+1/(2*3)+1/(3*4)+……+1/[n(n-1)]=2-1/n<2,故sn有界.由单调有界定理,{sn}存在极限,所以级数∑1/n^2收敛.事实上,级数∑1/n^2收敛于π^2/6

宕昌县18833958938： 为什么级数1/n发散,而 1/n^2 是收敛的啊? - ？
康向治必： 这是P级数,1/n^p 当p>1时收敛 小于等于1发散