证明数列有极限并求极限

数列极限证明求极限~

极限7种形式
最终要化为2种就是0/0和∞/∞
然后有9到10种求法
最常用的几种：洛必达法则（最常用的）
带拉格朗日余项型的泰勒公式和麦克劳林公式展开法（这个很重要，虽然运算起来慢了点，但几乎能解所有的问题）
等价无穷小替换法（这个是基础）
公式定义法（一般不用）
夹逼定理（极少数问题只能用这个方法求）
老师讲的时候好好听，不会要勤问老师才是关键，极限不难的，是高数的基础部分。

√（n^2+a^2）>n
√（n^2+a^2）+n>2n
n(√（n^2+a^2）)>2n^2
a^2/[n(√（n^2+a^2）)]<a^2/(2n^2)
不等式右边分母里的2就是这么来的

假设极限为A
a=√（2+a）
a^2=2+a
a^2-a-2=0
a=-1 a=2
又因为xn>0
所以a=2
然后证明存在
就是证明xn单调有上界 假设xn<4就可以证明有上界 令xn+1-xn>0 证明单调性

可以证明：正项数列，当n>2时，x(n+1)/x(n)=√（2+x n )/x(n)<1/2
x(n)<1/2x(n-1)<...<(1/2)^(n-2)x(2)
右边收敛，所以x(n)收敛，设极限为m
m=√（2+m)
m=2

假设xn极限存在，设lim(n->∞) xn=A
lim(n->∞) x(n+1) =lim(n->∞) √(2+xn)
A=√(2+A)
A^2-A-2=0
(A-2)(A+1)=0
A=2或A=-1(舍去)
所以lim(n->∞) xn=2

求出极限就不用证明有极限了吧（其实是不会证明、、哈哈）
极限时、
x^2=2+x
解方程、、

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晋源区15530864369： 证明数列极限存在,并求其极限 - ？
缑方二维：[答案] (1)数学归纳法证明{x(n)}单调递减;(2)显然,x(n)>0,所以,有下界;从而,{x(n)}的极限存在. 设lim{x(n)}=a则a=√(2a+3)解得,a=3 或 a= -1 (舍去)从而,lim{x(n)}=3

晋源区15530864369： 利用收敛准则证明数列有极限,并求极限值x1=1,x(n+1)=1+xn/(1+xn),n=1,2…n+1,xn是下标 - ？
缑方二维：[答案] 对任意n,用归纳法可得x(n)≥1. x(n+1)/x(n)=1/x(n)+1/(x(n+1)≤1,所以x(n)单调递减有下界,极限=(1+√5)/2

晋源区15530864369： 利用收敛准则证明下列数列有极限,并求其极限值.X1=1 Xn+1=Xn/1+Xn +1 n=1.2.…… 注:Xn/Xn+1是一个整式 - ？
缑方二维：[答案] X1=1,Xn+1=Xn/(1+Xn) +10 X(n+1)-Xn=Xn/(1+Xn) +1-X(n-1)/(1+X(n-1)) +1=(Xn-X(n-1))/((1+Xn)(1+X(n-1)) 由归纳法:X(n+1)-Xn>0.Xn单调增加 Xn极限存在,设为a 在X(n+1)=Xn/(1+Xn) +1两边取极限的:a=a/(1+a)+1 解得:a=(1±√5)/2,舍去负数 ...

晋源区15530864369： 设数列{xn}满足xn+1=xn2+1xn,x0>0,n=1,2,3,…,证明:数列{xn}的极限存在并求极限limn→∞xn. - ？
缑方二维：[答案]因为x0>0,且xn+1= xn 2+ 1 xn,所以:xn>0, ①若x0= 2,由xn+1= xn 2+ 1 xn可知,后边的所有项均为 2, 则此时数列{xn}收敛,且极限为 2. ②若x0≠ 2,由xn+1= xn 2+ 1 xn可知,显然有:xn+1> 2, 又因为 xn+1 xn= 1 2+ 1 证明数列{xn}的极限存在...

晋源区15530864369： 证明数列x1=√2,x2=√(2+√2),x3=√(2+√(2+√2))...的极限存在并求出极限. - ？
缑方二维：[答案] 先证明极限存在,单增是显然的,因此只要证明有上界就行了. 递推公式为:x(n+1)=√(2+xn) 这里n和n+1都是下标 下面证明xn

晋源区15530864369： 利用极限存在准则证明数列√2,√2+√2,√2+√2+√2...的极限存在,并求出该极限. - ？
缑方二维：[答案] a1=√2 a2=√[2+√2] a3=√[2+√(2+√2)] a(n+1)>an>0 单调递增 a(n+1)设an极限为x x^2=2+x x^2-x-2=0 x=2

晋源区15530864369： 利用单调有界必有极限的准则证数列的极限存在并求极限设x1>0且xn+1=1/2(xn - ？
缑方二维：[答案] 题目是不是搞错了,应该是x1>0且xn+1=1/2(xn+1/xn) 如果是,那么由均值不等式知,xn>=1,有下限1,又由于xn+1/xn=1/2(1+1/xn^2)=1,所以,1/xn^2则A=1/2(A+1/A),又A>0,所以求得极限为1

晋源区15530864369： 设x1=10,xn+1=6+xn(n=1,2,…),试证数列{xn}极限存在,并求此极限. - ？
缑方二维：[答案] (1)先用数学归纳法证明数列{xn}是单调递减的 ∵x1=10,x2= 6+x1=4 ∴x2>x1 假设xk-1>xk,(k≥2且k为整数),则 xk= 6+xk−1=> 6+xk=xk+1 ∴对一切正整数n,都有xn>xn+1 ∴数列{xn}是单调递减的数列 (2)证明数列{xn}是有界的 ∵xn≤x1=10,n为正整数...

晋源区15530864369： 高等数学求数列极限已知数列X1=根号2,Xn=根号(2+Xn - 1)(n=2,3,4...),证明该数列收敛,并求其极限. - ？
缑方二维：[答案] Xn=√(2+Xn-1) 两边平方得:Xn²=2+ Xn-1 Xn是递增序列,Xn-1∴Xn²移项分解得: (Xn-2)(Xn+1)∴Xn设其极限为A,原式两边同时取极限得: A²=2+A 解得A=2

晋源区15530864369： 证明下列数列极限存在并求其值设a1=根号c(c>0),an+1=根号(c+an),n=1,2,…… - ？
缑方二维：[答案] a(n+1)^2-an^2=c>0 单调递减 (c>1)【c√c 有界 设an极限为x x^2=c+x x^2-x-c=0 x=[1+√[1+4c]/2