如何证明函数在定义域上有界的充分必要条件是它在定义域上既有上界又有下界
函数f(x)在数集X上有界
→ 存在正数M，对任意的x∈X，恒有|f(x)|≤M
→ -M≤f(x)≤M
→ 函数f(x)在X上既有上界M，又有下界-M；
函数f(x)在数集X上既有上界又有下界
→ 存在实数a≤b，对任意的x∈X，恒有a≤f(x)≤b，取M=MAX(|a|,|b|)，
→ -M≤a≤f(x)≤b≤M，
→ |f(x)|≤M
→ 函数f(x)在X上有界.
必要性：
已知f(x)在X上有界，则存在M>0，使得任意x∈X，有|f(x)|<M
因此-M<f(x)<M，则f(x)既有上界又有下界。
充分性：
已知f(x)在X上既有上界又有下界，则存在a,b，且b>a，使得f(x)a
（1）若|b|>|a|，则b>0，且-b<a成立，
因此-b<a<f(x)<b，得|f(x)|<b，因此f(x)有界。
（2）若|a|>|b|，则a0，得-a>b，
因此a<f(x)<b<-a，得|f(x)|<-a，得f(x)有界。
扩展资料
如果存在数K1，使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有上界。
反之，如果存在数字K2，使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界，而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。
如果存在正数M，使得 |f(x)|≤M 对任意x∈D都成立，则称函数在X上有界。如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界；等价于，无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X上无界。
此外，函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。
设函数f(x)在定义域A上有界，则存在正实数k，对任意x∈A，|f(x)|<k成立。即-k<f(x)<k成立。所以f(x)在A上有上界k，下界-k。
反过来，f(x)在定义域A上既有上界M又有下界m，即存在实数m，M，对任意对任意x∈A，m<f(x)|<M成立。取k=max{|m|，|M|}，则有对任意对任意x∈A，|f(x)|<k成立。所以f(x)在A上有界。
定义域指自变量x的取值范围。
定义域是函数三要素（定义域、值域、对应法则）之一，对应法则的作用对象。求函数定义域的题型主要包括抽象函数，一般函数，函数应用题三种。
设函数f(x)在定义域A上有界，
则存在正实数k，对任意x∈A，|f(x)|<k成立.
即-k<f(x)<k成立.
所以f(x)在A上有上界k，下界-k.
反过来，f(x)在定义域A上既有上界M又有下界m，
即存在实数m，M，对任意对任意x∈A，m<f(x)|<M成立.
取k=max{|m|，|M|}，则有对任意对任意x∈A，
|f(x)|<k成立.
所以f(x)在A上有界.
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青河县19427031124： 函数有界性的充分必要条件是什么 并证明 - ？
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青河县19427031124： 如何证明函数在定义域内是否有界 - ？
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袁荣波立： 证明如下: 设函数f(x)在数集A上有定义,如果存在常数M>0,使得对任意x,有|f(x)|<M 例如,函数 在其定义域内有界,这是因为对任意总有再如,函数在其定义域内是无界的,这是因为对任意的实数总存在点显然使得然而...
青河县19427031124： 设函数F(x)在数集X上有定义,证明函数F(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上有上界和下界? - ？
袁荣波立： 充分性:若fx既有上界也有下界,则N<fx<M.取L=max{|N|,|M|},则|fx|<L,所以fx有界 必要性:若fx有界,则|fx|<M,所以-M<fx<M,所以fx既有上界也有下界.
青河县19427031124： 设f(x)函数在数集X上有定义,试证:函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界. - ？
袁荣波立：[答案] 证明: 若函数f(x)在X上有界, 则存在M>0,对任意x∈X, |f(x)|-M若函数f(x)在X上既有上界又有下界, 即对任意x∈X,存在m使m取正数M=max{|m|,|n|} 有-M≤m即-M |f(x)|解析看不懂?免费查看同类题视频解析查看解答
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青河县19427031124： 证明:函数f(x)在(a,b)内有界的充分必要条件是f(x)在(a,b)内既有上界,又有下界. - ？
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青河县19427031124： 设函数f(x)在数集X有定义,试证:函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界. - ？
袁荣波立：[答案] ……这个也需要证明? |f(x)| ≤ M → -M ≤ f(x) ≤ M,所以有界则既有上界又有下界. A ≤ f(x) ≤ B → |f(x)| ≤ max{|A|,|B|},所以既有上界又有下界则有界.
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袁荣波立： 证明: 若函数f(x)在X上有界, 则存在M>0,对任意x∈X, |f(x)|<M. -M<x<M 若函数f(x)在X上既有上界又有下界, 即对任意x∈X,存在m<n, 使m<|f(x)|<n 取正数M=max{|m|,|n|} 有-M≤m<|f(x)|<n≤M 即-M <|f(x)|< M |f(x)|<M.希望得到您的采纳,谢谢
