小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究： 问题情境：如图1，四边形ABCD中，AD

小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究： 问题情境：如图1~

这。。。。。。。。。。。。
有图吗？

问题情境：证明见解析；问题迁移：当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小；实际应用：10.3km 2 ．拓展延伸：10. 试题分析：问题情境：根据可以求得△ADE≌△FCE，就可以得出S△ADE=S△FCE就可以得出结论；问题迁移：根据问题情境的结论可以得出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，过点M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性质可以得出结论；实际运用：如图3，作PP 1 ⊥OB，MM 1 ⊥OB，垂足分别为P 1 ，M 1 ，再根据条件由三角函数值就可以求出结论；拓展延伸：分情况讨论当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N，延长OC、AB交于点D，由条件可以得出AD=6，就可以求出△OAD的面积，再根据问题迁移的结论就可以求出最大值；当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，延长CB交x轴于T，由B、C的坐标可得直线BC的解析式，就可以求出T的坐标，从而求出△OCT的面积，再由问题迁移的结论可以求出最大值，通过比较就可以求出结论．问题情境：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠D=∠FCE．∵点E为DC边的中点，∴DE=CE．∵在△ADE和△FCE中， ，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴S△ADE=S△FCE，∴S 四边形ABCE +S △ADE =S 四边形ABCE +S △FCE ，即S四边形ABCD=S△ABF；问题迁移：当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，如图2， 过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，过点M作MG∥OB交EF于G，由问题情境可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG=S△MON．∵S四边形MOFG＜S△EOF，∴S△MON＜S△EOF，∴当点P是MN的中点时S△MON最小；实际运用：如图3， 作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分别为P1，M1，在Rt△OPP1中，∵∠POB=30°，∴PP 1 = OP=2，OP 1 =2 ．由问题迁移的结论知道，当PM=PN时，△MON的面积最小，∴MM1=2PP 1 =4，M 1 P 1 =P 1 N．在Rt△OMM 1 中，tan∠AOB= ，2.25= ，∴OM 1 = ，∴M 1 P 1 =P 1 N=2 - ，∴ON=OP 1 +P 1 N=2 +2 - =4 - ．∴S△MON= ON?MM 1 = （4 - ）×4=8 - ≈10.3km 2 ．拓展延伸：①如图4，当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N，延长OC、AB交于点D，∵C（ ， ），∴∠AOC=45°，∴AO=AD．∵A（6，0），∴OA=6，∴AD=6．∴S△AOD= ×6×6=18，由问题迁移的结论可知，当PN=PM

思路分析：问题情境：根据可以求得△ADE≌△FCE，就可以得出S△ADE=S△FCE就可以得出结论；  问题迁移：根据问题情境的结论可以得出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，过点M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性质可以得出结论；  实际运用：如图3，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分别为P1，M1，再根据条件由三角函数值就可以求出结论； 拓展延伸：分情况讨论当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N，延长OC、AB交于点D，由条件可以得出AD=6，就可以求出△OAD的面积，再根据问题迁移的结论就可以求出最大值；  当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，延长CB交x轴于T，由B、C的坐标可得直线BC的解析式，就可以求出T的坐标，从而求出△OCT的面积，再由问题迁移的结论可以求出最大值，通过比较久可以求出结论．

解：

问题情境：∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠F，∠D=∠FCE． ∵点E为DC边的中点， ∴DE=CE．

∵在△ADE和△FCE中， 
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴S△ADE=S△FCE，
∴S四边形ABCE+S△ADE=S四边形ABCE+S△FCE，
即S四边形ABCD=S△ABF；

问题迁移：出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，如图2，

过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，过点M作MG∥OB交EF于G，
由问题情境可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG=S△MON．
∵S四边形MOFG＜S△EOF，
∴S△MON＜S△EOF，
∴当点P是MN的中点时S△MON最小；

实际运用：如图3，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分别为P1，M1

在Rt△OPP1中，
∵∠POB=30°，
∴PP1=OP=2，OP1=2．
由问题迁移的结论知道，当PM=PN时，△MON的面积最小，
∴MM1=2PP1=4，M1P1=P1N．
在Rt△OMM1中，

tan∠AOB=

分析：问题情境：根据可以求得△ADE≌△FCE，就可以得出S△ADE=S△FCE就可以得出结论；
问题迁移：根据问题情境的结论可以得出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，过点M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性质可以得出结论；
实际运用：如图3，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分别为P1，M1，再根据条件由三角函数值就可以求出结论；
拓展延伸：分情况讨论当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N，延长OC、AB交于点D，由条件可以得出AD=6，就可以求出△OAD的面积，再根据问题迁移的结论就可以求出最大值；
当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，延长CB交x轴于T，由B、C的坐标可得直线BC的解析式，就可以求出T的坐标，从而求出△OCT的面积，再由问题迁移的结论可以求出最大值，通过比较久可以求出结论．
解答：解：问题情境：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，∠D=∠FCE．
∵点E为DC边的中点，
∴DE=CE．
∵在△ADE和△FCE中，

∠DAE=∠F
∠D=∠FCE
DE=CE

，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴S△ADE=S△FCE，
∴S四边形ABCE+S△ADE=S四边形ABCE+S△FCE，
即S四边形ABCD=S△ABF；

问题迁移：出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，如图2，
过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，过点M作MG∥OB交EF于G，
由问题情境可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG=S△MON．
∵S四边形MOFG＜S△EOF，
∴S△MON＜S△EOF，
∴当点P是MN的中点时S△MON最小；

实际运用：如图3，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分别为P1，M1，
在Rt△OPP1中，
∵∠POB=30°，
∴PP1=
1
2
OP=2，OP1=2
3
．
由问题迁移的结论知道，当PM=PN时，△MON的面积最小，
∴MM1=2PP1=4，M1P1=P1N．
在Rt△OMM1中，
tan∠AOB=
MM1
OM1
，
2.25=
4
OM1
，
∴OM1=
16
9
，
∴M1P1=P1N=2
3
-
16
9
，
∴ON=OP1+P1N=2
3
+2
3
-
16
9
=4
3
-
16
9
．
∴S△MON=
1
2
ON?MM1=
1
2
（4
3
-
16
9
）×4=8
3
-
32
9
≈10.3km2．

拓展延伸：①如图4，当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N，延长OC、AB交于点D，
∵C（
9
2
，
9
2
），
∴∠AOC=45°，
∴AO=AD．
∴A（6，0），
∴OA=6，
∴AD=6．
∴S△AOD=
1
2
×6×6=18，
由问题迁移的结论可知，当PN=PM时，△MND的面积最小，
∴四边形ANMO的面积最大．
作PP1⊥OA，MM1⊥OA，垂足分别为P1，M1，
∴M1P1=P1A=2，
∴OM1=M1M=2，
∴MN∥OA，
∴S四边形OANM=S△OMM1+S四边形ANPP1=
1
2
×2×2+2×4=10
②如图5，当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，延长CB交x轴于T，
∵C（
9
2
，
9
2
）、B（6，3），设直线BC的解析式为y=kx+b，由题意，得

9
2
=
9
2
k+b

3=6k+b

，
解得：

k=-1
b=9

，
∴y=-x+9，
当y=0时，x=9，
∴T（9，0）．
∴S△OCT=
1
2
×
9
2
×9=
81
4
．
由问题迁移的结论可知，当PM=PN时，△MNT的面积最小，
∴四边形CMNO的面积最大．
∴NP1=M1P1，MM1=2PP1=4，
∴4=-x+9，
∴x=5，
∴M（5，4），
∴OM1=5．
∵P（4，2），
∴OP1=4，
∴P1M1=NP1=1，
∴ON=3，
∴NT=6．
∴S△MNT=
1
2
×4×6=12，
∴S四边形OCMN=
81
4
-12=
33
4
＜10．

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路北区13165817842： 小明在一次数学兴趣小组活动中,对一个数学问题作如下探究: 问题情境:如图1,四边形ABCD中,AD - ？
夫嵇昔舒： 思路分析:问题情境:根据可以求得△ADE≌△FCE,就可以得出S△ADE=S△FCE就可以得出结论; 问题迁移:根据问题情境的结论可以得出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小,过点M作MG∥OB交EF于G.由全等三角形的性质可...

路北区13165817842： (2013•连云港)小明在一次数学兴趣小组活动中,对一个数学问题作如下探究:问题情境:如图1,四边形ABCD中,AD∥BC,点E为DC边的中点,连接AE... - ？
夫嵇昔舒：[答案] 问题情境:∵AD∥BC,∴∠DAE=∠F,∠D=∠FCE.∵点E为DC边的中点,∴DE=CE.∵在△ADE和△FCE中,∠DAE=∠F∠D=∠FCEDE=CE,∴△ADE≌△FCE(AAS),∴S△ADE=S△FCE,∴S四边形ABCE+S△ADE=S四边形ABCE+S△FCE...

路北区13165817842： 在一次数学小组活动中,小明给大家出了一道题:“我家在学校北偏西45°的方向的2千米处,书店是在学校北偏西15°方向的2千米处,所以我家到学校与到书店的直线距离恰好是相等的.”小明说的对吗?请说明理由.？
夫嵇昔舒： 分析:这样的题目可以画草图来说明问题.以学校为中心,分别画出家和书店所在的位置,将家和书店的位置连接起来,就形成了一个等边三角形,所以小明的说法是正确的.解答: 解:根据题意画出草图如下:15°+45°=60°,即从学校到家的线路和从学校到书店的线路的夹角是60°,又从学校到家的距离和从学校到书店的距离相等.所以学校、家、书店这三点形成一个等边三角形.根据等边三角形的性质,知从家到书店的距离与从家到学校的距离是相等的.所以这句话是正确的.你好!!小明说的对, 希望帮到你,请点击右下角采纳,谢谢!1

路北区13165817842： 初一(1)班数学兴趣小组开展活动,一次,小明胸有成竹地对小亮说:＂只要你将心中所想的数乘以2,加上3,再减去25, - ？
夫嵇昔舒：[答案] 初一(1)班数学兴趣小组开展活动,一次,小明胸有成竹地对小亮说:“只要你将心中所想的数加上2,乘以10,再减去20,最后告诉我结果,我就知道你所想的数是多少.”小亮不相信,就与小明比赛,却屡战屡败.你知道这是为什么...

路北区13165817842： 在数学兴趣小组活动中,小明为了求12+122+123+124+…+12n的值,在边长为1的正方形中,设计了如图所示的几何图形.则12+122+123+124+…+12n的值... - ？
夫嵇昔舒：[答案]1 2+ 1 22+ 1 23+ 1 24+…+ 1 2n=1- 1 2n. 答: 1 2+ 1 22+ 1 23+ 1 24+…+ 1 2n的值为1- 1 2n. 故答案为:1- 1 2n.

路北区13165817842： 数学兴趣小组的同学在一次数学竞赛中对一题得5分,错一题扣2分,龙答20道,得72 - ？
夫嵇昔舒： 这样的啊,如果全对是不是就是满分100,但是如果错一道题不仅不加5分,还要倒扣2分,也就是说错一道题相当于损失了7分,所以100-72=28,28÷7=4,所以他错了4题,对了16题

路北区13165817842： 在一次数学兴趣小组的活动中,小明向同学们展示了一张四边形纸片,说:“这是一个工件平面图,要求DA和CB的夹角应等于35°才算合格”请你帮小明想一想,如何检验这个工作是否合格?？
夫嵇昔舒： 延长DA和CB交于点E,则EDC和EAB都组成一个三角形,根据三角形内角和为180°,则 ∠A+∠B=180-35°=145° 或∠B+∠C=360-145=215° 即可以检测以上任意一种角度和是否满足条件就行.

路北区13165817842： 数学兴趣小组举行一次测试,全卷共15题,规定做对一题得8分,不做或做错一题倒扣4分,小明共得72分 - ？
夫嵇昔舒： 设做对了x题8x-(15-x)*4=728x-60+4x=7212x=132 x=11 小明做对了11题

路北区13165817842： 小明参加一次数学竞赛.答对1题得4分,答错1题扣1分,不答不得分也不扣分.他答了20道题,得了60分,他答 - ？
夫嵇昔舒： 设他全错,那么就是-20分 实际得了60分 那他答对了(60+20)/(4+1)=16题 答错了(16*4-60)/1=4题

路北区13165817842： 在一次数学竞赛中规定,对一道题得5分,错一道或不答扣3分,一共20道题,小明得了84分,你知道小明对了几 - ？
夫嵇昔舒： 设小明答对了x 道题,则有5x-(20-x)*3=84 解得 x=18 不可能得77分,因为 方程 5x-(20-x)*3=77没有整数解