点p是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的任一点,O为坐标原点,试求|op|的最值 在线等

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与x+y=1交于P、Q两点,且OP⊥OQ,其中O为坐标原点~

1 设P(x1,y1),Q(x2,y2) 有y1*y2/(x1*x2)=-1
联立x^2/a^2+y^2/x^2=1 x+y=1
得（a^2+b^2)x^2-2a^2x+a^2-a^2b^2=0
（a^2+b^2)y^2-2b^2y+b^2-a^2b^2=0
应用韦达定理得y1*y2/(x1*x2)=（b^2-a^2b^2）/（a^2-a^2b^2）=-1
即a^2+b^2=2a^2b^2 （*）
得1/a＾2+1/b＾2=2 （1）

2 b^2=a^2-c^2=a^2(1-e^2)代入（*）中得
a=((2-e^2)/(1-e^2))^0.5
a=(1+2/(1-e^2))^0.5此函数为增函数，将e的取值范围带入则:
2≤a≤√5

1、首先证明一个引理：椭圆上任意两条正交半径的倒数平方和为定值，从而恒等于1/a^2+1/b^2。
如图p, q是两条正交半径，将其端点坐标代入椭圆方程有
(pcosα)^2/a^2+(-psinα)^2/b^2=1, →(cosα)^2/a^2+(sinα)^2/b^2=1/p^2
(qsinα)^2/a^2+(qcosα)^2/b^2=1, →(sinα)^2/a^2+(cosα)^2/b^2=1/q^2
两式相加即得1/p^2+1/q^2=1/a^2+1/b^2（引理证毕）
再利用一个关于直角三角形的定理：1/a^2+1/b^2=1/h^2, 这里a, b是两直角边，h是斜边上的高。
可得1/p^2+1/q^2=1/h^2=2, 即1/a^2+1/b^2=2.
2、由1/a^2+1/b^2=2, 及e^2=(a^2-b^2)/a^2联立后消去b可得a与e的关系式，将e的范围代入即得a的范围。这个简单，自己做一下。楼上也有正确答案。

ααα

|op|^2=x^2+y^2
=x^2+b^2-b^2x^2/a^2
=(1-b^2/a^2)x^2+b^2 |x|<=a，1-b^2/a^2>0
x=0时，最小值|op|=b
x=a或-a,最大值|op|=a

最小值为b最大值为a.

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市南区18378942967： P是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上的任意一点,F1、F2是它的两个焦点,O为坐标原点,向量OQ=向量PF1+PF2,求Q的方程？
矣侵维奇：设Q点坐标(x,y),P点坐标(x1,y1) 则向量OQ=(x,y), 所以(x,y)=(c-x1,-y1)+(-c-x1,-y1)=(-2x1,-2y1) 则x1=-1/2x,y1=-1/2y 因为P点在椭圆上,所以x²/a²+y²/b²=1 则(-1/2x)^2/a^2+(-1/2y)^2/b^2=1 化简可得,x²/4a²+y²/4b²=1,这就是Q点轨迹方程

市南区18378942967： 椭圆的参数方程问题点P是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的动点,点A,B关于原点对称.求证:kPA·kPB为定值那如果AB都在椭圆上呢? - ？
矣侵维奇：[答案] P(acosm,bsinm) A(p,q),B(-p,-q) 则kPA=(bsinm-q)/(acosm-p) kPB=(bsinm+q)/(acosm+p) 相乘=(b²sin²m-q²)/(a²cos²m-p²) 显然这不可能是定值,条件不足

市南区18378942967： 设点p是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一点,F1,F的左右焦点,L是三角形pF1F2的内心,若三角形lpF1的...设点p是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一... - ？
矣侵维奇：[答案] lpF1的面积+三角形lpF2的面积=2三角形lF1F2的面积,则内心到三边的距离相等,设为h,也就有:2*2Ch=PF1h+PF2h=h(PF1+PF2)=h*2a,a=2c,e=1/2.

市南区18378942967： P是椭圆x^2/a^2+y^2/b^=1.P为椭圆M上任一点|PF1||PF2最大取值|范围是[2c^2,3c^2],则椭圆离心率e的取值范 - ？
矣侵维奇： 解:设椭圆上点P的坐标为P(x, y) 由圆锥曲线统一定义的椭圆定义得:|PF1|=a+ex, |PF2||=a-ex 所以,|PF1|* |PF2|=(a+ex)(a-ex)=a²-e²x²《a² 即:|PF1||PF1||最大取值为a²所以,2c²《 a²《3c²所以,1/3c²《 1/a²《1/2c²所以,1/3《c²/a²《1/2 所以,(根号3)/3《e《 (根号2)/2 即:椭圆离心率e的取值范围是[(根号3)/3 , (根号2)/2]

市南区18378942967： 点P是长轴在x轴上的椭圆(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1上的点,F1,F2分别为椭圆的2焦点,椭圆的半焦距为c,则？
矣侵维奇： |PF1|的最大值就是a+c |PF2|的最小值就是a-c 所以积就是(a+c)(a-c)=a²-c²=b²

市南区18378942967： 点P在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上,F1,F2分别是其左右焦点,若|PF1|=2|PF2|,则求离心率的取值范围？
矣侵维奇： (2^1/2)/2到1你要让椭圆上存在点P使得那两条线垂直,只要使短轴的端点满足垂直就行了.因为P点从短轴端点移动到长轴端点时,角F1PF2是减小的~

市南区18378942967： 点P在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上,F1为左焦点,若|PF1|属于[2,8],则椭圆内接矩形面积的最大值 - ？
矣侵维奇： a-c=2,a+c=8 a=5,c=3 x^2/25+y^2/16=1 设点P(x1,y1)S=4(x1*yI)^216(x1)^2*25(y1)^2=16*25(x1y1)^2 4(x1y1)^2

市南区18378942967： 已知P是椭圆x^2/a^2 + y^2 =1(a>b>0)的一动点,且与p椭圆长轴两顶点连线的斜率？
矣侵维奇： 令动点坐标为(X1,Y1),代入P的方程得:X1^2/a^2+Y1^2/b^2=1(1)又Y1^2/(X^2-a^2)=-1/2(2)联合((1),(2)得Y^2(a^2-2b^2)/b^2a^2=0,所以a^2-2b^2=0,又a^2=b^2+c^2,所以c^2/a^2=1/2所以e=(根号2)/2

市南区18378942967： 已知点P(3,4)是椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一点,F1,F2为椭圆的两焦点,若向量PF1⊥向量PF2. - ？
矣侵维奇： ^设F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0) 向量 向量PF2=(c-3,-4) 因为向量PF1⊥向量PF2 所以向量PF1*向量PF2=0 即(-c-3)(c-3)+16=0 推出c=5 则a^2-b^2=25(c^2) …① 把P点坐标带入原方程9/a^2+16/b^2=1 …② 联立①②解得a=3√5,b=2√5 所以椭圆方程x^2/45+y^2/20=1 因为向量PF1⊥向量PF2 三角形PF1F2的面积=1/2*|PF1|*|PF2| |PF1|=4√5 |PF2|=2√5 三角形PF1F2的面积=1/2*4√5*2√5=20

市南区18378942967： 设P是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上的点,F1.F2是其焦点,若|PO|是|PF1|,|PF2|的等差中项,？
矣侵维奇： 由椭圆定义知: 2|PO|=|PF1|+|PF2|=2a,所以|PO|=a, 亦即以a为半径,以原点为圆心的圆与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的焦点,一共两个,在椭圆与x轴焦点上,即P点有两个