计算下面各定积分 1）∫[0,1]√(4-x^2)dx 2）∫[-2,0]dx/x^2+2x+2 3）∫[0,1]xe^xdx 4）∫[1,e]xlnxdx

求定积分∫（0，1）√(1-x^2)dx啊，答案是1pai/4~

如果不用普通的换元法，一步一步算出原函数，再代入上下限的方法来求的话，可以把这个积分看作是：以原点为圆心，半径为1的圆的，x轴以上(y>0)，x的范围为[0,1]（被积区间）的这部分面积，即是1/4的圆的面积 π/4。
不知道有没有绕晕，就是想想积分区间以及被积函数的位置，结合图形面积（定积分定义）。答题中可以这样答，若是专门做定积分计算（应该不会这样考），就要老老实实换元了。
欢迎追问！

1、设x=tant,dx=(sect)^2dt,
原式= ∫[0,π/4][（sect)^2]^(-3/2)*(sect)^2dt
=∫[0,π/4](sect)^2dt/(sect)^3
=∫[0,π/4]costdt
=sint[0,π/4]
=√2/2。
2、设x=2sint,dx=2costdt,
原式=∫[0,π/2]4(sint)^2*2costdt/(2cost)
=4∫[0,π/2](sint)^2dt
=2∫[0,π/2](1-cos2t)dt
=(2t)[0,π/2]-(sin2t))[0,π/2]
=π.

∫(0->1) √(4-x²) dx
Let x = 2siny，dx = 2cosy dy
x = 0，y = 0，x = 1，y = π/6
=> ∫(0->π/6) (2cosy)(2cosy) dy
= 2∫(0->π/6) (1+cos2y) dy
= 2(y+1/2 * sin2y)
= 2[π/6+1/2 * sin(π/3)]
= π/3 + √3/2

∫(-2->0) dx/(x²+2x+2)
= ∫(-2->0) dx/[(x+1)²+1]
= arctan(x+1)
= arctan(1) - arctan(-1)
= π/4 - (-π/4)
= π/2

∫(0->1) xe^x dx
= ∫(0->1) x de^x
= xe^x - ∫(0->1) e^x dx
= e - (e - 1)
= 1

∫(1->e) xlnx dx
= ∫(1->e) lnx d(x²/2)
= (1/2)x²lnx - (1/2)∫(1->e) x² * 1/x dx
= (1/2)(e² - 0) - (1/4)(e² - 1)
= (1+e²)/4

32
47
82

555

---

头屯河区13575464795： 计算下面的定积分, 要求有具体过程, 式子见图. - ？
狐卸欣苏： 原式=∫[0,π] sinx dx-∫[π,2π] sinx dx =-cosx |[0,π]+cosx|[π,2π] =1-1+[1-(-1)] =2

头屯河区13575464795： 定积分的计算方法1、请告知定积分的概念,它的计算方法有哪些种类,分别举例说明2、请解以下定积分:(1)∫(0~1)tdt∫(0~2)(2 - x)dt;(1)∫(3~7)tdt∫(5~9)(2 - x)... - ？
狐卸欣苏：[答案] 楼上的已经把第一个问题说的很清楚了. 定积分就是在固定区间求面积. (1)∫(0~1)tdt∫(0~2)(2-x)dt;; (1)∫(3~7)tdt∫(5~9)(2-x)dt; 先画个坐标 ∫(0-1)tdt就是求y=t在区间(0,1)的面积 这个图形是个底为1高为1的等边直角三角形,面积为1*1*1/2=1/...

头屯河区13575464795： 用定积分的定义计算:(1)∫(0,1)xdx;(2)∫(0,1)3x^2dx, - ？
狐卸欣苏：[答案] (1)∫(0,1)xdx =1/2*x I(0,1)dx =1/2-0=1/2 (2)∫(0,1)3x^2dx=x^3 I(0,1)dx =1-0=1 那个格式你看的懂吧、不懂可以追问、、

头屯河区13575464795： 不定积分计算问题下面两个是怎么计算的(详细的方法),用的什么公式.(1),∫(0,1)kxdx(2),∫(0,1)kx(1 - x)dxk是常数 - ？
狐卸欣苏：[答案] 这两个都是定积分 (1) ∫(0,1)kxdx=k∫(0,1)xdx=kx²/2|(0,1)=k/2 (2) ∫(0,1)kx(1-x)dx=k∫(0,1)(x-x²)dx=k(x²/2-x^3/3)|(0,1)=k/6

头屯河区13575464795： 计算定积分∫e(在上)1(在下)xlnxdx(在中间) - ？
狐卸欣苏：[答案] 用凑微分和分部积分的方法做此题具体步骤如下:∫(上限e)(下限1)xlnxdx=∫(上限e)(下限1)lnxd((x^2)/2)=1/2*x^2*lnx|(上限e)(下限1)-∫(上限e)(下限1)((x^2)/2)d(lnx)=1/2*e^2-∫(上限e)(下限1)1/2*xdx=1/2*e^2-1/4*...

头屯河区13575464795： 定积分的计算 ∫(2x+3)e^xdx的计算.其中dx指的是什么?x又指的是什么? - ？
狐卸欣苏：[答案] x是积分变量,dx就是x的微分,这个积分是“不定积分”,不是“定积分” ∫(2x+3)e^xdx =2∫xe^xdx+3∫e^xdx =2∫xd(e^x)+3e^x =2xe^x-2∫e^xdx+3e^x =2xe^x-2e^x+3e^x+C

头屯河区13575464795： 计算积分,积分符号下1到0,xe^ - xdx减积分符号下1到2(2 - x)e^ - xdx - ？
狐卸欣苏：[答案] I1 = (-x-1) e^(-x)|(x=0) - (-x-1) e^(-x)|(x=1) = 2/e -1 I2 = ( x-3) e^(-x)|(x=2) - ( x-3) e^(-x)|(x=1) = 2/e - e^(-2) I1 - I2 = e^(-2) - 1

头屯河区13575464795： 定积分求解∫(0~1)f(x)dx - ？
狐卸欣苏： 设∫(0~1)f(x)dx=a 2ax+f(x)=arctanx 两边同时取(0,1)上的定积分,得 2a∫(0,1)xdx+a=∫(0,1)arctanxdx a·x²|(0,1)+a=xarctanx|(0,1)-∫(0,1)x/(1+x²)dx 2a=π/4-1/2ln(1+x²)|(0,1) 2a=π/4-1/2ln2 a=π/8-1/4ln2 即 ∫(0~1)f(x)dx=π/8-1/4ln2

头屯河区13575464795： ∫xlnxdx/(1 - x^2)^2 - ？
狐卸欣苏：[答案] ∫xlnxdx/(1-x^2)^21/(1-x^2)'=2x/(1-x^2)^2所以:原式=1/2∫lnxd(1/(1-x^2))=1/2[(lnx/(1-x^2)-∫1/(1-x^2)d(lnx)]=1/2[lnx/(1-x^2)-∫1/(x(1-x^2))dx]1/(x(1-x^2))=1/(x(x-1)(x+1))=1/x(1/(1-x)+1/(1+x))/2=1/(x(1-...