什么是无理数及其定义是什么

什么是无理数及其定义是什么~

无理数是用有理数来定义的
不是有理数的实数都叫无理数
有理数的定义是：能写成两个整数之比的数
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人们最初只认识自然数
后来学会分割就认识了分数
有了分数各种长度都可以很准确地丈量了
似乎计数系统已经完备了
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后来发现正方形的对角线无法表示成分数
圆周率也不是分数
于是就把这些另类的数叫无理数
实际上，后来发现无理数比有理数还要多呢
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分数很好理解，用两个整数就可以确定
无理数不可思议，永远无法写出来
只能增加特殊符号来辅助描述：π，√2

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现

在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度（“度量”）。

常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。

可以看出，无理数在位置数字系统中表示（例如，以十进制数字或任何其他自然基础表示）不会终止，也不会重复，即不包含数字的子序列。例如，数字π的十进制表示从3.141592653589793开始，但没有有限数字的数字可以精确地表示π，也不重复。必须终止或重复的有理数字的十进制扩展的证据不同于终止或重复的十进制扩展必须是有理数的证据，尽管基本而不冗长，但两种证明都需要一些工作。数学家通常不会把“终止或重复”作为有理数概念的定义。

无理数也可以通过非终止的连续分数来处理。

无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率、等。

而有理数由所有分数，整数组成，总能写成整数、有限小数或无限循环小数，并且总能写成两整数之比，如21/7等。

实例
如果正整数N不是完全平方数，那么√N不是有理数（是无理数）。

证明：若假设√N是有理数，不妨设√N=p/q，其中p与q都是正整数（不一定互质。若假定p、q互质则证法稍有变动）。

设的√N整数部分为a，则有不等式0<√N-a<1成立。两边乘以q，得

0<q√N-qa=p-aq<q

因p、q、a都是整数，p-aq也是一个正整数。

再在上述不等式的两边乘以√N，得0<q√N*√N-aq√N<q√N

即：0<qN-ap<p

显然，qN-ap也是一个正整数。

于是我们找到了两个新的正整数p₁=qN-ap和q₁=p-aq，它们满足，即，并且有。

重复上述步骤，可以找到一系列的使得且。因该步骤可以无限重复，意味着均可无限减小，但这与正整数最小为1矛盾。

因此假设错误，√N不是有理数。

无理数是指除有理数以外的实数，当中的“理”字来自于拉丁语的rationalis，意思是“理解”，实际是拉丁文对于logos“说明”的翻译，是指无法用两个整数的比来说明一个无理数。

定义：

在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度（“度量”）。

无理数是在实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如π、 √2等。

扩展资料

历史：

传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现。他以几何方法证明√2无法用整数及分数表示。而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。

后来希伯斯触犯学派章程，将无理数透露给外人，因而被扔进海中处死，其罪名竟然等同于“渎神”。

无理数集：

无理数集是不可数集（因有理数集是可数集而实数集是不可数集）。无理数集是个不完备的拓扑空间，它是与所有正数数列的集拓扑同构的，当中的同构映射是无理数的连分数开展。因而贝尔纲定理可以应用在无数间的拓扑空间上。

有理数：有理数分为正有理数，负有理数，0。有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，只要是无限循环小数的都叫有理数。如：3.12121212121212……

无理数：无限不循环小数。无理数应满足三个条件：①是小数；②是无限小数；③不循环．圆周率π=3.141592653……

复数：形如a＋bi的数。式中a，b为实数，i是一个满足i2＝－1的数，因为任何实数的平方不等于－1，所以i不是实数，而是实数以外的新的数。在复数a＋bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。

实数：有理数和无理数统称为实数

整数：整数包括正整数,负整数和0.
如正整数:1、2、3．．．．．．
负整数：－1、－2、－3．．．．．．

自然数：自然数，就是人们数数时产生的数（如“有3个苹果”），所以用来表示物体个数的数叫做自然数。一个物体也没有，当然可以用“0”来表示，所以“0”也是自然数。

小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环

无理数是用有理数来定义的
不是有理数的实数都叫无理数
有理数的定义是：能写成两个整数之比的数
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人们最初只认识自然数
后来学会分割就认识了分数
有了分数各种长度都可以很准确地丈量了
似乎计数系统已经完备了
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后来发现正方形的对角线无法表示成分数
圆周率也不是分数
于是就把这些另类的数叫无理数
实际上，后来发现无理数比有理数还要多呢
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分数很好理解，用两个整数就可以确定
无理数不可思议，永远无法写出来
只能增加特殊符号来辅助描述：π，√2

无理数是用有理数来定义的
不是有理数的实数都叫无理数
有理数的定义是：能写成两个整数之比的数
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人们最初只认识自然数
后来学会分割就认识了分数
有了分数各种长度都可以很准确地丈量了
似乎计数系统已经完备了
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后来发现正方形的对角线无法表示成分数
圆周率也不是分数
于是就把这些另类的数叫无理数
实际上，后来发现无理数比有理数还要多呢
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分数很好理解，用两个整数就可以确定
无理数不可思议，永远无法写出来小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环

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索昏盐酸： 无理数,即非有理数之实数,不能写作两整数之比.若将它写成小数形式,小数点之后的数字有无限多个,并且不会循环. 常见的无理数有大部分的平方根、π和e(其中后两者同时为超越数)等.无理数的另一特征是无限的连分数表达式.传说中,无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现.他以几何方法证明无法用整数及分数表示.而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示,不相信无理数的存在.但是他始终无法证明不是无理数,后来希伯斯将无理数透露给外人——此知识外泄一事触犯学派章程——因而被处死,其罪名等同于“渎神”.

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