什么是二阶相似系统
控制系统按数学模型分类时的一种形式.是用数学模型可表示为二阶线性常微分方程的系统.二阶系统的解的形式,可由对应传递函数W(s)的分母多项式P(s)来判别和划分.P(s)的一般形式为变换算子s的二次三项代数式,经标准化后可记为
代数方程P(s)=0的根,可能出现四种情况:
1.两个实根的情况,对应于两个串联的一阶系统.如果两个根都是负值,就为非周期性收敛的稳定情况.
2.当a1＝0,a2>0,即一对共轭虚根的情况,将引起频率固定的等幅振荡,是系统不稳定的一种表现.
3.当a1<0,a1-4a2<0,即共轭复根有正实部的情况,对应于系统中发生发散型的振荡,也是不稳定的一种表现.
4.当a1>0,a1-4a2<0,即共轭复根有负实部的情况,对应于收敛型振荡,且实部和虚部的数值比例对输出过程有很大的影响.一般以阻尼系数ζ来表征,常取
在0.4~0.8之间为宜.当ζ>0.8后,振荡的作用就不显著,输出的速度也比较慢.而ζ<0.4时,输出量就带有明显的振荡和较大的超调量,衰减也较慢,这也是控制系统中所不希望的.
一、一阶系统
用一阶微分方程描述的系统。
二、一阶系统典型的数学模型
三、典型输入响应
单位阶跃响应
。
y(t)的特点：
（1）由动态分量和稳态分量两部分组成。
（2）是一单调上升的指数曲线。
（3）当t=T时，y=0.632。
（4）曲线的初始斜率为1/T。
性能分析：
（1）超调量σ% 不存在。
（2）ts=3T或4T。
2.单位斜坡响应
y(t)的特点：
（1）由动态分量和稳态分量两部分组成。
（2）输入与输出之间存在跟踪误差，且误差 值等于系统时间常数“T”。
3.单位抛物线响应
y(t)的特点：
输入与输出之间存在误差为无穷大，这意味着一阶系统是不能跟踪单位抛物线输入信号的。
4.单位脉冲响应
y(t)的特点：
Y(∞) 为t→∞ 时的输出值。
对一阶系统典型输入响应的两点说明：
（1）当输入信号为单位抛物线信号时，输出无法跟踪输入。
（2）三种响应之间的关系：系统对输入信号微分（积分）的响应，就等于该输入信号响应的微分（积分）。
四、二阶系统典型的数学模型
例：
对应的系统结构图：
对应的微分方程：
二阶系统典型的数学模型：
开环传递函数
开环传递函数
五、典型二阶系统的单位阶跃响应
在初始条件为0下，输入单位阶跃信号时
特征方程：
特征方程的根：
二阶系统响应特性取决于ξ 和 wn两个参数，在ξ 不变情况下取决于 wn 。
过阻尼（ξ >1）的情况
特征根及分布情况：
阶跃响应：
响应曲线：
2.欠阻尼（ξ <1）的情况
特征根及分布情况：
阶跃响应：
响应曲线：
3.临界阻尼 （ξ =1）的情况
特征根及分布情况：
阶跃响应：
响应曲线：
4.无阻尼 （ξ =0）的情况
特征根及分布情况：
阶跃响应：
响应曲线：
结论：
1、不同阻尼比有不同的响应，决定系统的动态性能。
2、实际工程系统只有在 0< ξ< 1才具有现实意义。
六、二阶系统动态特性指标
二阶系统的闭环传递函数为：
对应的单位阶跃响应为：
当阻尼比为 0< ξ< 1时，则系统响应如图
上升时间 ：在暂态过程中第一次达到稳态值的时间。
对于二阶系统，假定情况 0< ξ< 1下，暂态响应：
令t=tr 时，则y(tr)=1
经整理得
2.最大超调量σ％ ：暂态过程中被控量的最大数超过稳态值的百分数。
即：
最大超调量发生在第一个周期中时刻 t=ttp ，叫 tp 峰值时间。
在 t=tp 时刻对y(t) 求导，令其等于零。
经整理得
将其代入超调量公式得
3.调节时间 ts ：输出量y(t) 与稳态值y(∞) 之间的偏差达到允许范围（±2%～±5%），并维持在允许范围内所需要的时间。
结论：
若使二阶系统具有满意的性能指标，必须选合适的 ξ，wn 。wn 增大可使t s 下降，可以通过提高开环放大系数k来实现；增大阻尼比，可减小振荡，可通过降低开环放大系数实现。
例 有一位置随动系统，结构图如下图所示，其中K=4。
（1）求该系统的自然振荡角频率和阻尼比；
（2）求该系统的超调量和调节时间；
（3）若要阻尼比等于0.707，应怎样改变系统放大倍数K？
解（1）系统的闭环传递函数为
写成标准形式
可知
（2）超调量和调节时间
（3）要求ξ=0.707 时，
七、提高二阶系统动态性能的方法
比例——微分（PD）串联校正
未加校正网络前：
加校正网络后：
校正后的等效阻尼系数：
2.输出量微分负反馈并联校正
未加校正网络前：
加校正网络后：
两种校正方法校正后等效阻尼系数：
由于
可得
由于阻尼系数上升，超调量下降，从而提高了系统的动态性能。
相似量——在微分方程中占有相同位置的量。
这个理论称为相似理论。
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