1*x+2*x^2+3*x^3+...+n*x^n 求计算公式,谢谢,在线等
f(x)=ln(2+x)=ln[2*(1+x/2)]=ln2+ln(1+x/2)
而
（ln(1+x/2)）'=1/2*1/(1+x/2)
因为：
1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+...+(-1)^nx^n n=0,1,2...
所以：
1/(1+x/2)
=1-（x/2)+(x/2)^2-(x/2)^3+...+(-1)^n(x/2)^n n=0,1,2...
则
（ln(1+x/2)）=1/2∫1/(1+x/2)=1/2*(x-1/2（x/2)^2+1/3(x/2)^3-1/4(x/2)^4+...+(-1)^n*1/n*(x/2)^n) n=0,1,2...
=∑(-1)^n*1/n*(x/2)^(n+1)
所以：
f(x)=ln(2+x)=ln[2*(1+x/2)]=ln2+ln(1+x/2)
=∑(-1)^n*(x/2)^(n+1)/n+ln2
∑上面为∞，下面是0
收敛半径
R
=
1
∵
lim(n->∞)
1/(n+1)
/
(1/n)
=
1
-1
<
x-1
<
1
=>
0
<
x
<
2
当
x
=
0
时,
∑
(-1)^n
/
n
是Leibniz
级数
，收敛;
当
x
=
2
时,
∑
1
/
n
发散。
=>
收敛域
【0,
2)
当x不等于0或1时。令
an=x+2x^2+3x^3+4x^4+............nx^n (1)
xan=x^2+2x^3+3x^4+4x^5+......(n-1)x^n+nx^(n+1) (2)
(1)-(2)得：
（1-x）an=x+x^2+x^3+...........x^n-nx^(n+1)
有上面的式子可以看出等式右边的前n项为等比数例，
所以（1-x）an=x(1-x^n)/(1-x)-nx^(n+1)
an=x(1-x^n)/(1-x)^2-nx^(n+1)/(1-x)
所以原式=x(1-x^n)/(1-x)^2-nx^(n+1)/(1-x)
当x =0时
原式=0，
当x=1时，原式变为1+2+3+4+........+n为等差数列
原式=n*(1+n)/2
设S=1*x+2*x^2+3*x^3+...+n*x^n,则
x=1时S=n(1+n)/2;
x≠1时，
xS=............x^2+2x^3+…+（n-1)x^n+nx^(n+1），
∴（1-x)S=x+x^2+x^3+…+x^n-nx^(n+1)
=[x-x^(n+1)]/(1-x)-nx^(n+1)
=[x-(1+n)x^(n+1)+nx^(n+2)]/(1-x),
∴S=[x-(1+n)x^(n+1)+nx^(n+2)]/(1-x)^2.
。。。
s=1*x+2*x^2+3*x^3+...+n*x^n
xs=x^2+2*x^3+...+(n-1)*x^n+n*x^(n+1)
s-xs=(1*x+1*x^2+1*x^3+...+1*x^n)-n*x^(n+1)
1、先要讨论x的取值
2、再用错位相减法求和
证明X乘2的X次方等于1至少有一个小于1的正实根。过程
证明：令f(x)=x*2^x x=0时，f(0)=0<1;x=1时，f(1)=2>1;对f(x)求导，可得f'(x)=2^x+x*ln2*2^x，当x>0时，f'(x)>0,即f(x)为单调递增函数 所以，必存在0<x0<1，满足f(x0)=1,即X乘2的X次方等于1至少有一个小于1的正实根。
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申勤铃兰： 没有具体算法 这个是自然对数e的泰勒公式中迈克劳林展开式的反应用.e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n! 当x=1时,e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n! 麦克劳林展开式:若函数f(x)在开区间(a,b)有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和: f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!?x^(n+1),这里0
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申勤铃兰： 注意到∫nx^(n-1)=x^n+C ∴原式=(x+x²+x³+……x^n+C)' 当x=1时,原式=n(n+1)/2 当x≠1,原式=(x(x^n-1)/(x-1))'=(nx^(n+1)-(n+1)x^n+1)/(x-1)
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申勤铃兰： (1+x+x^2+x^3)^2-x^3 解:设y=1+x+x^2,则(x^3-1)=(x-1)*(1+x+x^2)=(x-1)*y,原式=(y+x^3)^2-x^3=y^2-2*y*x^3+x^6-x^3=y^2-y*2*x^3+x^3*(x^3-1)(对y降幂排列,合并同类项)=y^2-y*2*x^3+x^3*(x-1)*y=y*(y-2*x^3+x^3*(x-1))=(1+x+x^2)*(1+x+x^2+x^3+x^4).
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申勤铃兰： (1+x+x^2+x^3)^2-x^3 =(1+x+x^2+x^3)^2-1+1-x^3 =(x+x^2+x^3)(2+x+x^2+x^3)+(1-x)(1+x+x^2) =(1+x+x^2)[x*(2+x+x^2+x^3)+1-x] =(1+x+x²)(1+x+x²+x³+x^4)
久治县15578707821： 高手帮帮忙lim(x趋于0)(1^x+2^x+3^x/3)^1/x - ？
申勤铃兰： y=[(1^x+2^x+3^x)/3]^(1/x),lny=[ln(1^x+2^x+3^x)-ln3]/x,lim(x→0)lny=lim(x→0)[ln(1^x+2^x+3^x)-ln3]/x==lim(x→0)[(1^x*ln1+2^x*ln2+3^x*ln3)/(1^x+2^x+3^x)]=(ln2+ln3)/3,lim(x→0)y=e^[(ln2+ln3)/3]=(e^ln6)^(1/3)=6^(1/3).注:第四行用了罗比达法则.
