杨辉三角是什么？

什么是杨辉三角？~

杨辉三角

杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

......................................................
杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。

其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。

杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。
而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是叫你找规律。具体的用

杨辉三角，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。左图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了。
前提：端点的数为1.1、每个数等于它上方两数之和。2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。3、第n行的数字有n项。4、第n行数字和为2n-1。5、(a+b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项

S1：这些数排列的形状像等腰三角形，两腰上的数都是1
S2：从右往左斜着看，第一列是1，1，1，1，1，1，1；第二列是，1，2，3，4，5，6；第三列是1，3，6，10，15；第四列是1，4，10，20；第五列是1，5，15；第六列是1，6……。
从左往右斜着看，第一列是1，1，1，1，1，1，1；第二列是1，2，3，4，5，6……和前面的看法一样。我发现这个数列是左右对称的。
S3：上面两个数之和就是下面的一行的数。
S4：这行数是第几行，就是第二个数加一。……
幻方，在我国也称纵横图，它的神奇特点吸引了无数人对它的痴迷。从我国古代的“河出图，洛出书，圣人则之”的传说起，系统研究幻方的第一人，当数我国古代数学家——杨辉。
杨辉，字谦光，钱塘(今杭州)人，我国南宋时期杰出的数学家，与秦九韶、李冶、朱世杰并称宋元四大数学家，他在我国古代数学史和数学教育史上占有十分重要的地位。
杨辉对幻方的研究源于一个小故事。当时杨辉是台州的地方官，一次外出巡游，碰到一孩童挡道，杨辉问明原因方知是一孩童在地I 做一道数学算题，杨辉一听来了兴趣，下轿来到孩童旁问是什么算题。原来，这个孩童在算一位老先生出的一道趣题：把1到9的数字分行排列，不论竖着加、横着加，还是斜着加，结果都等于15。
杨辉看到这个算题， 时想起来他在西汉学者戴德编纂的《大戴礼》一书中也
见过。杨辉想到这儿，和孩童一起算了起来，直到午后，两人终于将算式摆出来了。
后来，杨辉随孩童来到老先生家里，与老先生谈论起数学问题来。老先生说：“北周的甄弯注《数术记遗》一书中写过‘九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”’杨辉听了，这与自己与孩童摆出来的完全一样。便问老先生：“你可知这个九宫图是如何造出来的?”老先生说不知
道。
杨辉回到家中，反复琢磨。一天，他终于发现一条规律，并总结成四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。就是说：先把l～9九个数依次斜排，再把上l下9两数对调，左7右3两数对调，最后把四面的2、4、6、8向外面挺出，这样三阶幻方就填好了。
杨辉研究出三阶幻方(也叫络书或九宫图)的构造方法后，又系统的研究了四阶幻方至十阶幻方。在这几种幻方中，杨辉只给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明，四阶以上幻方，杨辉只画出图形而未留下作法。但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误，可见他已经掌握了高阶幻方的构成规律。
在信息领域杨辉三角也起着重要作用。

性质
　　1、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。
　　2、第n行的数字个数为n个。
　　3、第n行数字和为2n − 1。
　　4、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。（因为
　　

）。可用此性质写出整个帕斯卡三角形。
　　5、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+2行第5个数……连成一线，这些数的和是第2n个斐波那契数。将第2n行第2个数，跟第2n+1行第4个数、第2n+2行第6个数……这些数之和是第2n-1个斐波那契数。
　　6、第n行的第1个数为1，第二个数为1×(n-1)，第三个数为1×n×（n-1）/2，第四个数为1×n×（n-1）/2×（n-2）/3…依此类推。
[编辑本段]介绍
　　杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
　　其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而贾宪三角的发现就是十分精彩的一页。
[编辑本段]历史
　　北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。
　　13世纪中国宋代数学家杨辉在《详解九章算术》里讨论这种形式的数表，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。
　　元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。
　　意大利人称之为“塔塔利亚三角形”（Triangolo di Tartaglia）以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。
　　在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。
　　布莱士•帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique（1655年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年）和亚伯拉罕•棣•美弗（1730年）都用帕斯卡来称呼这个三角形。
　　历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家：
　　•贾宪 中国北宋 11世纪 《释锁算术》
　　•杨辉 中国南宋 1261《详解九章算法》记载之功
　　•朱世杰 中国元代 1299《四元玉鉴》级数求和公式
　　•阿尔•卡西 阿拉伯 1427《算术的钥匙》
　　•阿皮亚纳斯 德国 1527
　　•施蒂费尔 德国 1544《综合算术》二项式展开式系数
　　•薛贝尔 法国 1545
　　•B•帕斯卡 法国 1654《论算术三角形》
　　杨辉三角的三个基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，它是研究杨辉三角其他规律的基础。杨辉三角横行的数字规律主要包括横行各数之间的大小关系。组合关系以及不同横行数字之间的联系。
　　杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。
　　同时，这也是多项式(a+b)^n 打开括号后的各个项的二次项系数的规律。 因此，杨辉三角第x层第y项直接就是（y nCr x）。我们也不难得到，第x层的所有项的总和为2^(x-1) (即(a+b)^x中a,b都为1的时候) 。上述y^x 指y的x次方，(a nCr b) 指组合数。
　　而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是要找规律。
　　简单的说，就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题，比如（x+y）的平方=x的平方+2xy+y的平方，这样系数就是1,2,1这就是杨辉三角的其中一行，立方，四次方，运算的结果看看各项的系数，你就明白其中的道理了。
　　这就是杨辉三角，也叫贾宪三角，在外国被称为帕斯卡三角。
　　他于我们现在的学习联系最紧密的是2项式乘方展开式的系数规律。如图，在贾宪三角中，第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方公式（在此就不做说明了）依次下去，
　　杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：
　　第 1 行：
　　1
　　第 2 行：
　　1 1
　　第 3 行：
　　1 2 1
　　第 4 行：
　　1 3 3 1
　　第 5 行：
　　1 4 6 4 1
　　第 6 行：
　　1 5 10 10 5 1
　　第 7 行：
　　1 6 15 20 15 6 1
　　第 8 行：
　　1 7 21 35 35 21 7 1
　　第 9 行：
　　1 8 28 56 70 56 28 8 1
　　第 10 行：
　　1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
　　第 11 行：
　　1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
　　第 12 行：
　　1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
　　常用公式：（a²+b²）=a²+2ab+b²
　　根据杨辉三角 可得 （a³+b³）=a³+3a²b+3ab²+b
　　以此类推 分别将a降幂 b升幂
　　例如：
　　，它的两项的系数是1和1；
　　，它的三项系数依次是1、2、1；
　　，它的四项系数依次1、3、3、1。
　　二.C语言双重循环输出杨辉三角前M行：
　　直角三角形杨辉三角：
　　#include<stdio.h>
　　#define M 10
　　void main()
　　{
　　int a[M][M], i , j ;
　　for(i=0;i<M;i++)
　　for(j=0;j<=i;j++)
　　{
　　if(i==j||j==0)
　　a[i][j]=1;
　　else
　　a[i][j]=a[i-1][j]+a[i-1][j-1];
　　printf("%5d",a[i][j]);
　　if(i==j)printf("\n");
　　}
　　}
　　金字塔型杨辉三角：
　　#include<stdio.h>
　　void main()
　　{
　　int a[10][10],i,j;
　　for(i=0;i<10;i++)
　　{
　　for(j=10;j>=i;j--)
　　printf("%2c",' ');/*两个空格*/
　　for(j=0;j<=i;j++)
　　{
　　if(i==j||j==0)
　　a[i][j]=1;
　　else
　　a[i][j]=a[i-1][j]+a[i-1][j-1];
　　printf("%3d ",a[i][j]); /*%3d后一个空格*/
　　if(i==j)
　　printf("\n");
　　}
　　}
　　}
　　把杨辉三角的前15行保存在文本文件中：
　　#include<stdio.h>
　　#include<stdlib.h>
　　#define M 15
　　void main()
　　{
　　FILE *out;
　　if((out=fopen("D:\\text_1.txt","w"))==NULL)
　　{
　　printf("Error!\n");
　　exit(0);
　　}
　　int a[M][M],i,j;
　　for(i=0;i<M;i++)
　　for(j=0;j<=i;j++)
　　{
　　if(i==j||j==0)
　　a[i][j]=1;
　　else
　　a[i][j]=a[i-1][j]+a[i-1][j-1];
　　fprintf(out,"%5d",a[i][j]);
　　if(i==j)
　　fputc('\n',out);
　　}
　　fclose(out);
　　}
[编辑本段]一个数在杨辉三角出现的次数
　　由1开始，正整数在杨辉三角形出现的次数为∞：1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... （OEIS:A003016）。最小而又大于1的数在贾宪三角形至少出现n次的数为2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... （OEIS:A062527）
　　除了1之外，所有正整数都出现有限次。
　　只有2出现刚好一次。
　　6,20,70等出现三次。
　　出现两次和四次的数很多。
　　还未能找到出现刚好五次的数。
　　120,210,1540等出现刚好六次。（OEIS:A098565）
　　因为丢番图方程

：
　　有无穷个解，所以出现至少六次的数有无穷个多。
　　其解答，是
　　

　　

　　其中Fn表示第n个斐波那契数（F1 = F2 = 1）。
　　3003是第一个出现八次的数。

循环当中一个例子。
#include"stdio.h"
#define N 11 //用 #define命令行定义常量N，这个N不会变
main()
{int i,j,a[N][N]; //数组为11行11列，0珩0列不用 ，注意：但不是没有
for(i=1;i<N;i++)
{a[i][1]=1; //使第一列元素的值为1
a[i][i]=1; //使对角线元素的值为1
}
for(i=3;i<N;i++) //从第3行开始处理
for(j=2;j<i;j++)
a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j];
for(i=1;i<N;i++) //输出数组各元素的值
{for(j=1;j<=i;j++)
printf("%6d",a[i][j]);
printf("\n");
}
}

多维数阻中的一题：
#include <iostream>
using namespace std;
#include <iomanip>
int main()
{
const int m=10;
int a[m][m];
int i,j;
for(i=0;i<m;i++)
{
a[i][0]=1; //将数阻中第一列元素a[i][0]置1
a[i][i]=1; //将数阻中最后一列元素a[i][i]置1
for(j=1;j<i;j++)
a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j]; //确定其他元素的值
}
for(i=0;i<m;i++)
{
for(int k=0;k<30-2*i;k++)
cout<<" ";
for(j=0;j<=i;j++)
cout<<setw(5)<<a[i][j];
cout<<endl;
}
system("pause");
return 0;
}
打印结果就是杨辉三角型了。

数学书上【初一版】上面有，你可以自级看

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大东区13056022033： 杨辉三角是什么啊 有哪些规律啊 - ？
苍梧俩田草： 1:这些数排列的形状像等腰三角形,两腰上的数都是1 2:从右往左斜着看,第一列是1,1,1,1,1,1,1;第二列是,1,2,3,4,5,6;第三列是1,3,6,10,15;第四列是1,4,10,20;第五列是1,5,15;第六列是1,6……. 从左往右斜着看,第一列是1,1,1,1,1,1,1;第二列是1,2,3,4,5,6……和前面的看法一样.我发现这个数列是左右对称的. 3:上面两个数之和就是下面的一行的数. 4:这行数是第几行,就是第二个数加一.

大东区13056022033： 杨辉三角的内容是什么? - ？
苍梧俩田草： 杨辉三角是下一行数据,是上一行相邻两个数据和.每一行数字是n次方展开的系数,比如二次是a方+2ab+b方,三次是a三方+3ab平方+3a平方b+b三方,依次类推.如下11 11 2 11 3 3 1 1 4 6 4 1 .....

大东区13056022033： 杨辉三角怎样理解?? - ？
苍梧俩田草： 杨辉三角形,又称贾宪三角形,帕斯卡三角形,是二项式系数在三角形中的一种几何排列.其性质有: 1、每行数字左右对称,由1开始逐渐变大,然后变小,回到1.2、第n行的数字个数为n个.3、第n行数字和为2^(n-1).(2的(n-1)次方)4、...

大东区13056022033： 杨辉三角是什么? - ？
苍梧俩田草： 杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表,一般形式如下:11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1...................................................... 杨辉三角最本质的特征是,它的两条斜边都是由数字1组成的,而其余的数则是等于它肩...

大东区13056022033： 杨辉三角形,又称贾宪三角形,帕斯卡三角形,是二项式系数在三角形中的一种几何排列.中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位.北宋... - ？
苍梧俩田草：[答案] X7-14x^6y+84x^5y^2-280x^4y^3+560x^3y^4-672x^2y^5+448xy^6-128y^7

大东区13056022033： 什么是杨辉三角？
苍梧俩田草： 杨辉三角最本质的特征是,它的两条斜边都是由数字1组成的,而其余的数则是等于它肩上的两个数之和. 杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表,一般形式如下: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

大东区13056022033： 杨辉三角内容是什么 - ？
苍梧俩田草： 简单的说一下就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题,比如(x+y)的平方=x的平方+2xy+y的平方,这样系数就是1,2,1这就是杨辉三角的其中一行,立方,四次方,运算的结果看看各项的系数,你就明白其中的道理了 这就是杨辉三角,也叫贾宪三角 他于我们现在的学习联系最紧密的是2项式乘方展开式的系数规律.如图,在贾宪三角中,第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方公式(在此就不做说明了)依次下去 杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表,一般形式如下: 1 n=0 1 1 n=1 1 2 1 n=2 1 3 3 1 n=3 1 4 6 4 1 n=4 1 5 10 10 5 1 n=5 1 6 15 20 15 6 1 n=6

大东区13056022033： 杨辉三角是什么?？
苍梧俩田草： 杨辉三角 是指一个倒三角的上边两个数加起来的和等于下顶点上的数.

大东区13056022033： 谁能解释一下杨辉三角的含义 - ？
苍梧俩田草： 谁能解释一下杨辉三角的含义 杨辉三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角形.帕斯卡(1623----1662)是在1654年发现这一规律的,比杨辉要迟393年,比贾宪迟600年.

大东区13056022033： 什么是杨辉三角形 要很详细 规律要纤细 - ？
苍梧俩田草：[答案] (a+b)n次方的展开项系数11 1 n=1 a+b1 2 1 n=2 (a+b)^2 a^2+2ab+b1 3 3 1 n=3 (a+b)^3 a^3+3a^2b+3ab^2+b^31 4 6 4 1 n=4 (a+b)^41 5 10 10 5 1 1 1+4 4+6 6+4 4+1 1 上一行相邻两数的和