定积分不是一个固定函数的面积吗 为什么定积分是个函数？自变量是谁？ FX中的X是啥。

为什么一个函数的不定积分可以算它的面积，知道一个函~

首先,n-l公式是不可以求不定积分的,是你先把不定积分求出来再用n-l公式.
其次,你要清楚什么是微分,我们说微分的几何意义有两个,一个是函数某点的斜率,另一个的话要结合积分的概念.积分几何意义是函数f(x)下的面积!所以 积分的微分=面积的微分.你想像用刀把面积纵向切开.切成的一条条细线就是微分!每条线的长度就是f(x)在该点的函数值!所以f(x)的面积在某点的微分=f(x)在某点的函数值.若把f(x)的面积看成是一个函数G(x)（当然啦,这里下界是固定的,上界为可移动的x,不然不方便表示),就可以说F"(x)=f(x).（打成了两撇.我实在找不出来一个撇的,lz不要在意）这就是n-l公式.所以f(x)在(a,b)上的面积为F(a)-F(b),只要能通过f(x)找到他的原函数F(x)具体表达式就可以算啦!
这个F(x)又叫f(x)的不定积分,因为F(x)+C【C是常数】的导数（微分）也是f(x)的~你就想象那个常数c是在f(x)的面积外面（即定义域外面）添加的任意但固定的额外面积,不影响f(x)的面积在定义域内某点的微分值,在计算面积【F(a)+C】-【F(b)+C】时会消去
呵呵有点不习惯,我一直用直观几何语言给你讲的~
至于推导,你把你的邮箱给我,我把图片发给你,尽量用简单几何意义来证明,现打太碍事.

不是的。因为一个函数图像可能分布在x轴的上方，也可以分布在x轴的下方。但位于上方时，定积分就是函数图像与坐标轴之间的面积，但一旦函数图像有位于x轴的下方，在下方的部分的定积分就是一个负值，等于面积相反数

众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数。所以，微分与积分互为逆运算。
分划的参数趋于零时的极限，叫做这个函数在这个闭区间上的定积分。
不定积分（Indefinite integral）
即已知导数求原函数。若F′（x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R).也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x），因为F(x)+C的导数也是f(x）（C是任意常数）。所以f(x）积分的结果有无数个，是不确定的。我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。
定积分 （definite integral）
定积分就是求函数f(X）在区间[a,b]中图线下包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X）所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

定积分
2定义

设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[a,x0],(x0,x1],(x1,x2],…,(xi,b]，可知各区间的长度依次是：△x1=X0-a，△x2=X1-x0,…，△xi=b-xi.在每个子区间（xi-1,xi）任取一点ξi(i=1,2,…,n），作和式（见右下图），设λ=max{△x1，△x2,…，△xi}(即λ属于最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为（见右下图）：
其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x) 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
之所以称其为定积

定积分
分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数， 而不是一个函数。
3黎曼积分

定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b.
我们可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数。它们看起来没有任何的联系，那么为什么定积分要写成积分的形式呢？
4分点问题

定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距Δx是相等的。但是必须指出，即使Δx不相等，积分值仍然相同。我们假设这些“矩形面积和”S=f(x1）Δx1+f(x2）Δx2+……f[x(n-1)]Δx(n-1），那么当n→+∞时，Δx的最大值趋于0，所以所有的Δx趋于0，所以S仍然趋于积分值.
利用这个规律，在我们了解牛顿-莱布尼兹公式之前，我们便可以对某些函数进行积分。例如我们可以证明对于函数f(x)=x^k（k∈Q，k≠-1），有f(x)dx=(b^(k+1)-a^(k+1))/(k+1)。
我们选择等比级数来分点，令公比q=n^√（b/a），则b/a=q^n，b=aq^n。令分点x0=a,x1=aq,x2=aq^2……xn=aq^n=b，因为f(xj)=xj^k=a^k*q^jk，且Δxj=x(j+1)-xj=aq^(j+1)-aq^j 那么“矩形面积和”
Sn=a^k*(aq-a)+a^k*q^k*(aq^2-aq)+a^k*q^2k*(aq^3-aq^2)+……+a^k*q^(n-1)k*[aq^n-aq^(n-1)]
提出a^k*(aq-a），则
Sn=a^(k+1)*(q-1)*[1+q^(k+1)+q^2(k+1)+……q^(n-1)(k+1)]
利用等比级数公式，得到
Sn=(q-1)/(q^(k+1)-1)*(b^(k+1)-a^(k+1))=(b^(k+1)-a^(k+1))/N
其中N=(q^(k+1)-1)/(q-1），设k=u/v(u,v∈Z），令q^(1/v)=s，则
N=(s^(k+1)v-1)/(s^v-1)=(s^u+v-1)/(s^v-1)=((s^(u+v)-1)/(s-1))/((s^v-1)/(s-1))
令n增加，则s,q都趋于1，因而N的极限为（u+v)/v=u/v+1=k+1.
5性质

①：常数可以提到积分号前。

性质
②：代数和的积分等于积分的代数和。
③：定积分的可加性：如果积分区间[a,b]被c分为两个
子区间[a,c]与（c,b]则有（见右图）
④Risch 算法
⑤如果在区间[a,b]上，f(x)≥0,则f(x)dx≥0
6常用算法

换元法

（1）f(x)∈C([a,b]);
(2)x=ψ(t)在[α,β]上单值、可导;
(3)当α≤t≤β时，a≤ψ(t)≤b,且ψ（α）=a,ψ(β)=b,
则f(x)dx=f(ψ(t))ψ′(t)dt
分部积分法

设u=u(x),v=（x)均在区间[a,b]上可导，且u′，v′∈R（[a,b]),则有分部积分公式
uv′dx= uvvu′dx
7基本定理

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：
如果f(x)是[a,b]上的连续函数，并且有F′（x)=f(x），那么 f(x)dx=F(b)-F(a)
用文字表述为：一个定积分式的值，就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。
正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。
8应用

1，解决求曲边图形的面积问题
例：求由抛物线y^2=4x与直线y=2x-4围成的平

定积分的应用(4张)
面图形D的面积S.
2，求变速直线运动的路程
做变速直线运动的物体经过的路程s，等于其速度函数v=v(t) (v(t）≥0）在时间区间[a,b]上的定积分。
3，变力做功
某物体在变力F=F(x）的作用下，在位移区间[a,b]上做的功等于F=F(x）在[a,b]上的定积分。（见图册“应用”）
9定理

定理1：设f(x）在区间[a,b]上连续，则f(x）在[a,b]上可积。
定理2：设f(x）在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x）在[a,b]上可积。
定理3：设f(x）在区间[a,b]上单调，则f(x）在[a,b]上可积。

要真说一下这个事，要深奥一点，我尽量简单说清楚：
先假设定积分限是[a,b]，即取这个区间的积分值
（1），积分值只是一个（实数范围中的）值，不是面积，画一个面积样子的图形是为了让这个值好懂一些，要说是面积，也是一个代数面积（有正面积，负面积，面积有负的吗，没有）。
（2），定积分是一个函数吗，严格说是一个泛函数，因为自变量的定义域中不是一些数，而是一些函数，在上面的假设下，是一些在[a,b]上的可积函数，f(x)只是其中之一，自变量是谁，就是这些函数，x与连带的[a,b]只是确定了是区间[a,b]上的那些可积函数，而不是[c,d]区间上的那些可积函数。
（3），每一个[a,b]上的可积函数，确定了一个值（积分值），而不是两个值，也符合原始函数的定义（对应关系），所以说，定积分是一个函数也对，只不过定义域比较特定。
（4），打个比方，函数就像一队士兵（x）在打靶（y），一人一发（x到y的单值性），都要打到靶上（每一个x都有对应），打到同一个靶上不要紧。而定积分（这一类的泛函），就像在a、b点各自竖起一根杆子，连接a、b绑上许多的绳子，不论绳子如何乱，但两端固定，不打结（单联通），对每个绳子的总体取一个值（可能通过积分获得，你也可能另有办法给他一个值，总之要用上绳子的每一点要好些，别浪费信息量嘛。）
具体要到大学的《泛函分析》你就基本明白了。

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滑县19135665592： 定积分不是一个固定函数的面积吗 为什么定积分是个函数?自变量是谁?FX中的X是啥. - ？
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滑县19135665592： 定积分定义 - ？
集杨槐角： 定积分是以平面图形的面积问题引出的.如右上图,y=f(x)为定义在[a,b〕上的函数,为求由x=a,x=b ,y=0和y=f(x)所围图形的面积S,采用古希腊人的穷竭法,先在小范围内以直代曲,求出S的近似值,再取极限得到所求面积S,为此,先将[a,b〕分成n等分:a=x0

滑县19135665592： 定积分的概念 - ？
集杨槐角： 概念如下:设函数f(x) 在区间[a,b]上连续,将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn],其中x0=a,xn=b.可知各区间的长度依次是:△x1=x1-x0,在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi(1,2,...,n),作和式 该和式叫做积分和.设λ=...

滑县19135665592： 积分定义是怎样的 - ？
集杨槐角： 不定积分就是已知导数求原函数,而若F(x)的导数是f(x),那么F(x)+C(C是常数)的导数也是f(x),也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x),因为F(x)+C的导数也是f(x),C是任意常数,所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的,我们一律用F(x)+C...

滑县19135665592： 定积分不是一个数吗,为什么可以求导出一个函数 - ？
集杨槐角： 定积分是指上下限都是固定常数的积分,例如下限为2,上限为3,则定积分得出的是一个数. 若上下限是变量,即变限积分,则是函数.当自变量为x时,就是x的函数.

滑县19135665592： 定积分概念？
集杨槐角： 定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积.即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积.这个图形称为曲边梯形,特例是曲边三角形.

滑县19135665592： 定积分是? - ？
集杨槐角： 定积分是由一个和式极限定义的.形象一点可以理解成坐标轴上函数曲线与X轴(外加上下限两条直线)围成图形的面积

滑县19135665592： 什么是定积分? - ？
集杨槐角： 不定积分(Indefinite integral) 即已知导数求原函数.若F′(x)=f(x),那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R).也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x),因为F(x)+C的导数也是f(x)(C是任意常数).所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的.我们一律用F(x)+C代替,这就称为不定积分.即如果一个导数有原函数,那么它就有无限多个原函数. 定积分 (definite integral) 定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积.即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积.这个图形称为曲边梯形,特例是曲边三角形.

滑县19135665592： 高数定积分和不定积分有什么区别 - ？
集杨槐角： 1、定义不同 在微积分中,定积分是积分的一种,是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限. 在微积分中,一个函数f 的不定积分,也称作反导数,是一个导数f的原函数 F ,即F′=f. 2、实质不同 若定积分存在,则是一个具体的数值(曲边梯形的...

滑县19135665592： 定积分为什么是 曲边梯形面积 - ？
集杨槐角： 定积分就是求函数F(X)在区间(A,B)中图线下包围的面积.即 y=0 x=a x=b y=F(X)所包围的面积.这个图形称为曲边梯形,特例是曲边梯形. 定积分的定义:设一元函数y=f(x) ,在区间(a,b)内有定义.将区间(a,b)分成n个小区间 (a,x0) (x0...