定积分不是一个固定函数的面积吗 为什么定积分是个函数?自变量是谁? FX中的X是啥。
首先,n-l公式是不可以求不定积分的,是你先把不定积分求出来再用n-l公式.
其次,你要清楚什么是微分,我们说微分的几何意义有两个,一个是函数某点的斜率,另一个的话要结合积分的概念.积分几何意义是函数f(x)下的面积!所以 积分的微分=面积的微分.你想像用刀把面积纵向切开.切成的一条条细线就是微分!每条线的长度就是f(x)在该点的函数值!所以f(x)的面积在某点的微分=f(x)在某点的函数值.若把f(x)的面积看成是一个函数G(x)(当然啦,这里下界是固定的,上界为可移动的x,不然不方便表示),就可以说F"(x)=f(x).(打成了两撇.我实在找不出来一个撇的,lz不要在意)这就是n-l公式.所以f(x)在(a,b)上的面积为F(a)-F(b),只要能通过f(x)找到他的原函数F(x)具体表达式就可以算啦!
这个F(x)又叫f(x)的不定积分,因为F(x)+C【C是常数】的导数(微分)也是f(x)的~你就想象那个常数c是在f(x)的面积外面(即定义域外面)添加的任意但固定的额外面积,不影响f(x)的面积在定义域内某点的微分值,在计算面积【F(a)+C】-【F(b)+C】时会消去
呵呵有点不习惯,我一直用直观几何语言给你讲的~
至于推导,你把你的邮箱给我,我把图片发给你,尽量用简单几何意义来证明,现打太碍事.
不是的。因为一个函数图像可能分布在x轴的上方,也可以分布在x轴的下方。但位于上方时,定积分就是函数图像与坐标轴之间的面积,但一旦函数图像有位于x轴的下方,在下方的部分的定积分就是一个负值,等于面积相反数
众所周知,微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下,求微分实际上是求一个已知函数的导数,而积分是已知一个函数的导数,求原函数。所以,微分与积分互为逆运算。分划的参数趋于零时的极限,叫做这个函数在这个闭区间上的定积分。
不定积分(Indefinite integral)
即已知导数求原函数。若F′(x)=f(x),那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R).也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x),因为F(x)+C的导数也是f(x)(C是任意常数)。所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的。我们一律用F(x)+C代替,这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数,那么它就有无限多个原函数。
定积分 (definite integral)
定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形,特例是曲边三角形。
定积分
2定义
设函数f(x) 在区间[a,b]上连续,将区间[a,b]分成n个子区间[a,x0],(x0,x1],(x1,x2],…,(xi,b],可知各区间的长度依次是:△x1=X0-a,△x2=X1-x0,…,△xi=b-xi.在每个子区间(xi-1,xi)任取一点ξi(i=1,2,…,n),作和式(见右下图),设λ=max{△x1,△x2,…,△xi}(即λ属于最大的区间长度),则当λ→0时,该和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分,记为(见右下图):
其中:a叫做积分下限,b叫做积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x) 叫做被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积表达式,∫ 叫做积分号。
之所以称其为定积
定积分
分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数, 而不是一个函数。
3黎曼积分
定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a,b.
我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个函数的原函数。它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分要写成积分的形式呢?
4分点问题
定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份,用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形,再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。习惯上,我们用等差级数分点,即相邻两端点的间距Δx是相等的。但是必须指出,即使Δx不相等,积分值仍然相同。我们假设这些“矩形面积和”S=f(x1)Δx1+f(x2)Δx2+……f[x(n-1)]Δx(n-1),那么当n→+∞时,Δx的最大值趋于0,所以所有的Δx趋于0,所以S仍然趋于积分值.
利用这个规律,在我们了解牛顿-莱布尼兹公式之前,我们便可以对某些函数进行积分。例如我们可以证明对于函数f(x)=x^k(k∈Q,k≠-1),有f(x)dx=(b^(k+1)-a^(k+1))/(k+1)。
我们选择等比级数来分点,令公比q=n^√(b/a),则b/a=q^n,b=aq^n。令分点x0=a,x1=aq,x2=aq^2……xn=aq^n=b,因为f(xj)=xj^k=a^k*q^jk,且Δxj=x(j+1)-xj=aq^(j+1)-aq^j 那么“矩形面积和”
Sn=a^k*(aq-a)+a^k*q^k*(aq^2-aq)+a^k*q^2k*(aq^3-aq^2)+……+a^k*q^(n-1)k*[aq^n-aq^(n-1)]
提出a^k*(aq-a),则
Sn=a^(k+1)*(q-1)*[1+q^(k+1)+q^2(k+1)+……q^(n-1)(k+1)]
利用等比级数公式,得到
Sn=(q-1)/(q^(k+1)-1)*(b^(k+1)-a^(k+1))=(b^(k+1)-a^(k+1))/N
其中N=(q^(k+1)-1)/(q-1),设k=u/v(u,v∈Z),令q^(1/v)=s,则
N=(s^(k+1)v-1)/(s^v-1)=(s^u+v-1)/(s^v-1)=((s^(u+v)-1)/(s-1))/((s^v-1)/(s-1))
令n增加,则s,q都趋于1,因而N的极限为(u+v)/v=u/v+1=k+1.
5性质
①:常数可以提到积分号前。
性质
②:代数和的积分等于积分的代数和。
③:定积分的可加性:如果积分区间[a,b]被c分为两个
子区间[a,c]与(c,b]则有(见右图)
④Risch 算法
⑤如果在区间[a,b]上,f(x)≥0,则f(x)dx≥0
6常用算法
换元法
(1)f(x)∈C([a,b]);
(2)x=ψ(t)在[α,β]上单值、可导;
(3)当α≤t≤β时,a≤ψ(t)≤b,且ψ(α)=a,ψ(β)=b,
则f(x)dx=f(ψ(t))ψ′(t)dt
分部积分法
设u=u(x),v=(x)均在区间[a,b]上可导,且u′,v′∈R([a,b]),则有分部积分公式
uv′dx= uvvu′dx
7基本定理
定积分与不定积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论,可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是:
如果f(x)是[a,b]上的连续函数,并且有F′(x)=f(x),那么 f(x)dx=F(b)-F(a)
用文字表述为:一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。
正因为这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。
8应用
1,解决求曲边图形的面积问题
例:求由抛物线y^2=4x与直线y=2x-4围成的平
定积分的应用(4张)
面图形D的面积S.
2,求变速直线运动的路程
做变速直线运动的物体经过的路程s,等于其速度函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分。
3,变力做功
某物体在变力F=F(x)的作用下,在位移区间[a,b]上做的功等于F=F(x)在[a,b]上的定积分。(见图册“应用”)
9定理
定理1:设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积。
定理2:设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积。
定理3:设f(x)在区间[a,b]上单调,则f(x)在[a,b]上可积。
要真说一下这个事,要深奥一点,我尽量简单说清楚:
先假设定积分限是[a,b],即取这个区间的积分值
(1),积分值只是一个(实数范围中的)值,不是面积,画一个面积样子的图形是为了让这个值好懂一些,要说是面积,也是一个代数面积(有正面积,负面积,面积有负的吗,没有)。
(2),定积分是一个函数吗,严格说是一个泛函数,因为自变量的定义域中不是一些数,而是一些函数,在上面的假设下,是一些在[a,b]上的可积函数,f(x)只是其中之一,自变量是谁,就是这些函数,x与连带的[a,b]只是确定了是区间[a,b]上的那些可积函数,而不是[c,d]区间上的那些可积函数。
(3),每一个[a,b]上的可积函数,确定了一个值(积分值),而不是两个值,也符合原始函数的定义(对应关系),所以说,定积分是一个函数也对,只不过定义域比较特定。
(4),打个比方,函数就像一队士兵(x)在打靶(y),一人一发(x到y的单值性),都要打到靶上(每一个x都有对应),打到同一个靶上不要紧。而定积分(这一类的泛函),就像在a、b点各自竖起一根杆子,连接a、b绑上许多的绳子,不论绳子如何乱,但两端固定,不打结(单联通),对每个绳子的总体取一个值(可能通过积分获得,你也可能另有办法给他一个值,总之要用上绳子的每一点要好些,别浪费信息量嘛。)
具体要到大学的《泛函分析》你就基本明白了。
定积分和不定积分中的积分是一个意义吗?
为什么不定积分积出来的是函数族?因为不定积分的计算意义是已知一个函数的导数,求这个函数(原函数)。并且常数的导数是零。因此求出的函数是一个函数族。为什么定积分积出来的是具体数值?因为定积分的计算意义是求曲线y=f(x),与x=a, x=b, y=0所包围的曲边梯形面积。面积是一种具体的数值。
不定积分是怎么定义的
=ln|tan(x\/2)|+C。不定积分:一个函数不定积分是这个函数的全体原函数。在求一个函数不定积分的时候只要找到这个函数的一个原函数,用这个原函数加上任意常数C就得到这个函数的全体原函数。也就得到它的不定积分。任意两个原函数间相差一个常数。一个函数的不定积分是一个函数族,函数族的图像是...
定积分不是是一个极限吗,为什么可以表示面积
你把可微和可积分混起来了。对一个一元函数,自变量改变的时候函数值也会改变。第一,这里的极限是指自变量x的改变小到极限时函数值p(t)的改变,如果这个极限存在,代表这个函数可得到导数,对一元函数来说也代表可以微分。第二,定积分是指函数值对自变量x的累积,比如我第一天赚了1块,第二天赚了...
MATLAB 自定义函数有两个参数,固定一个,对另外一个进行数值积分
举个这种情况的例子:f = @(x,y)x+y;quad(@(x)f(x,1), 0, 1)
为什么这题可以拆开积分,拆开后不是被积函数定义域变了吗,不是同一个...
积分的可加性啊,基本性质,定义域是不会改变的,你拆了之后,为了保证2部分都有意义,所以在最后求定义域的时候要去交集,和原来不拆的定义域一样,所以可以拆,减法,放心拆。
不是说积分是一个函数吗,怎么还要积分呢?
∫1\/(sinx+cosx)=∫2\/(1+2u-u²)du =√2\/2∫[1\/(u-(1-√2))-1\/(u-(1+√2))]du =√2\/2ln|(u-(1-√2))\/(u-(1+√2))|+C =√2\/2ln|(tanx\/2-1+√2)\/(tanx\/2-1-√2)+C 不定积分的意义:如果f(x)在区间I上有原函数,即有一个函数...
不定积分存在定理
不定积分存在定理的原理:1、不定积分可以看做是导数的逆运算,其结果为一族函数。根据牛顿莱布尼茨公式,许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。2、这里要注意不定积分与定积分之间的关系,定积分是一个数,而不定积分是一个表达式,它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数,可以...
定积分的结果为什么不为一个初等函数?
F² = [D]∫∫e^[-(x²+y²)]*dx *dy = [0,+∞)[0,2π]∫∫e^(-ρ²) ρ*dρ*dθ = [0,2π]∫dθ *(0,+∞)∫e^(-ρ²) ρ*dρ = 2π* 1\/2*[0,+∞)*∫e^(-ρ²) *dρ²= π 不定积分的公式:1、∫ a dx = ...
如何从字面上理解不定积分?不定可以理解为原函数可能带有一个常数而不...
不能分开来理解。不定积分的定义为:设在区间D上有F'(x)=f(x),则称F(X)是f(x)在区间D中的一个原函数。那么,f(x)在区间D上的全体原函数称为f(x)在区间D上的不定积分。因此不定积分是一类函数!比如f(x)=2x的一个原函数是F(X)=x^2+1,而全体原函数是F(X)=x^2+C,C是任意...
定积分存在定理和不定积分存在定理分别是什么
定积分是积分的一种,是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分;也可以存在定积分,而不存在不定积分。一个连续函数,一定存在定积分和不定积分;若只有有限个间断点,则定积分存在...
集杨槐角:[答案] 要真说一下这个事,要深奥一点,我尽量简单说清楚: 先假设定积分限是[a,b],即取这个区间的积分值 (1),积分值只是一个(实数范围中的)值,不是面积,画一个面积样子的图形是为了让这个值好懂一些,要说是面积,也是一个代数面积(有...
滑县19135665592: 定积分定义 - ?
集杨槐角: 定积分是以平面图形的面积问题引出的.如右上图,y=f(x)为定义在[a,b〕上的函数,为求由x=a,x=b ,y=0和y=f(x)所围图形的面积S,采用古希腊人的穷竭法,先在小范围内以直代曲,求出S的近似值,再取极限得到所求面积S,为此,先将[a,b〕分成n等分:a=x0
滑县19135665592: 定积分的概念 - ?
集杨槐角: 概念如下:设函数f(x) 在区间[a,b]上连续,将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn],其中x0=a,xn=b.可知各区间的长度依次是:△x1=x1-x0,在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi(1,2,...,n),作和式 该和式叫做积分和.设λ=...
滑县19135665592: 积分定义是怎样的 - ?
集杨槐角: 不定积分就是已知导数求原函数,而若F(x)的导数是f(x),那么F(x)+C(C是常数)的导数也是f(x),也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x),因为F(x)+C的导数也是f(x),C是任意常数,所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的,我们一律用F(x)+C...
滑县19135665592: 定积分不是一个数吗,为什么可以求导出一个函数 - ?
集杨槐角: 定积分是指上下限都是固定常数的积分,例如下限为2,上限为3,则定积分得出的是一个数. 若上下限是变量,即变限积分,则是函数.当自变量为x时,就是x的函数.
滑县19135665592: 定积分概念?
集杨槐角: 定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积.即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积.这个图形称为曲边梯形,特例是曲边三角形.
滑县19135665592: 定积分是? - ?
集杨槐角: 定积分是由一个和式极限定义的.形象一点可以理解成坐标轴上函数曲线与X轴(外加上下限两条直线)围成图形的面积
滑县19135665592: 什么是定积分? - ?
集杨槐角: 不定积分(Indefinite integral) 即已知导数求原函数.若F′(x)=f(x),那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R).也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x),因为F(x)+C的导数也是f(x)(C是任意常数).所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的.我们一律用F(x)+C代替,这就称为不定积分.即如果一个导数有原函数,那么它就有无限多个原函数. 定积分 (definite integral) 定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积.即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积.这个图形称为曲边梯形,特例是曲边三角形.
滑县19135665592: 高数定积分和不定积分有什么区别 - ?
集杨槐角: 1、定义不同 在微积分中,定积分是积分的一种,是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限. 在微积分中,一个函数f 的不定积分,也称作反导数,是一个导数f的原函数 F ,即F′=f. 2、实质不同 若定积分存在,则是一个具体的数值(曲边梯形的...
滑县19135665592: 定积分为什么是 曲边梯形面积 - ?
集杨槐角: 定积分就是求函数F(X)在区间(A,B)中图线下包围的面积.即 y=0 x=a x=b y=F(X)所包围的面积.这个图形称为曲边梯形,特例是曲边梯形. 定积分的定义:设一元函数y=f(x) ,在区间(a,b)内有定义.将区间(a,b)分成n个小区间 (a,x0) (x0...