设A,B是抛物线y=x^2上的两个动点,O为抛物线的顶点,且AO⊥BO,若△AOB的重心(1/3,1),求△AOB的面积

在平面直角坐标系中，抛物线y=x的平方上异于坐标原点O的两个不同点A,B满足AO垂直于BO，求重心的轨迹~

设A（x1,y1）,B(x2,y2),重心G点（m,n）
直线OA斜率k1=x1,直线OB斜率k2=x2，因为OA垂直OB，所以k1*k2=-1,得到x1*x2=-1,x2=-1/x1
再来求G坐标，m=(x1+x2+0)/3=(x1-1/x1)/3, n=(y1+y2+0)/3=(x1的平方+1/x1的平方)/3，
对式子m=(x1-1/x1)/3进行两边平方再化简一下，得到3m^2+2/3=(x1^2+1/x1^2)/3，
所以n=3m^2+2/3
重心轨迹为一个抛物线方程：y=3x^2+2/3
PS: x1^2表示x1的平方。

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图所示）．则△AOB得重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程为
http://hi.baidu.com/youxianai/album/item/1e9a4145f9f4e14fcefca343.html#
http://hi.baidu.com/youxianai/album/item/3b456b16b695cc38f2de325c.html#
记得 查看原图~~
- -早说有2道题啊- -

∵点O,A,B均在抛物线y=x^2上，设O(0,0)，A(a,a^2)，B(b,b^2)
又△AOB重心为(1/3,1)，∴(0+a+b)/3=1/3，(0+a^2+b^2)/3=1
即a+b=1，a^2+b^2=3
又AO⊥BO，∴二者斜率乘积为-1，
即[(a^2-0)/(a-0)]*[(b^2-0)/(b-0)]=-1，即a*b=-1
三角形面积S△AOB=1/2*AO*BO
∵AO=√(a-0)^2+(a^2-0)^2=√(a^2+a^4)
BO=√(b-0)^2+(b^2-0)^2=√(b^2+b^4)
∴S△AOB=1/2*√[(a^2+a^4)(b^2+b^4)]
=1/2*√[a^2b^2+a^4b^4+a^2b^4+a^4b^2]
=1/2*√[(ab)^2+(ab)^4+(ab)^2*(a^2+b^2)]
=1/2*√[(-1)^2+(-1)^4+(-1)^2*3]
=1/2*√[1+1+3]
=1/2*√5
∴△AOB的面积为√5/2

希望对你有帮助

你不会也是辅仁的吧

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襄城县18584994692： 已知A.B分别为抛物线y=x^2上的两点,且AB垂直于y轴,若三角形AOB的面积为8,求A.B的坐标 - ？
伊制东菱：[答案] AB垂直于y轴 设AB是y=a>0 则y=x^2=a x=±√a 所以AB=|√a-(-√a)|=2√a 则三角形底边是2√a,高是a 所以面积2√a*a÷2=8 a√a=8 平方 a³=64=4³ a=4 x=±√a=±2 所以A(2,4)B(-2,4)或A(-2,4)B(2,4)

襄城县18584994692： 已知A、B分别为抛物线y=x的平方上两点,且线段AB⊥y轴,A在B的左侧,若AB=6,A的坐标,B - ？
伊制东菱： y=x^2,且线段AB⊥y轴 说明A B关于y轴对称 AB=6,说明A B 的横坐标一个3 另一个为-3 所以A(-3,9)B(3,9)

襄城县18584994692： 如图所示,A,B为抛物线y=x的平方上两点,AB平行x轴, - ？
伊制东菱： 很简单.S△ABC=AB*h/2 显然AB=2(a+1) h=(a+1)²-a² 代入解方程即可,得出a=3.

襄城县18584994692： 已知A B是抛物线y=x^2上不同与原点O的相异两个动点 且向量OA*OB=0 (1)求证 直线AB恒过定点 (2)若向量AM=λMB(λ∈R) 且向量OM*AB=0 试求点M的轨... - ？
伊制东菱：[答案] 你自己设A,B两点坐标(x1,x1^2),(x2,x2^2).由OA*OB=0得x1x2=-1,再求出AB直线的方程,y-x1=(x1+x2)(x-x1),化简得y=(x1+x2)x+1,所以过定点(0,1) 设M(x,y)能列出3个方程,消去x1,x2就得到轨迹方程,第二个其实要耐心,我都忘了不知道怎么做...

襄城县18584994692： 求此解析几何题解法正方形ABCD的两顶点A、B在抛物线y=x^2上,两顶点C、D在直线y=x+4上,求正方形的边长.详细一点! - ？
伊制东菱：[答案] 我给你说一下思路吧,这个比较简单,你自己算啊,呵呵! 设一条与已知直线平行的直线方程:y=x+b,假设它与抛物线相交,代入方程y=x^2,得x^2-x-b=0,设其两根为x1和x2,根据根与方程的关系有:x1+x2=1,x1*x2=-b,可知:...

襄城县18584994692： 抛物线y=x^2上异于坐标原点O的两个相异的动点A,B满足OA垂直OB,三角形AOB的面积是否存在最小值? - ？
伊制东菱： 不妨设A在y轴右边,OA斜率为k(k>0),A(k,k^2),则B在y轴左边,OB斜率为-1/k,B(-1/k,1/k^2),设C(k,0),D(-1/k,0),ABDC是直角梯形,S(AOB)=S(ABDC)-S(AOC)-S(BOD)=(k+1/k)(k^2+1/k^2)/2-k*k^2/2-(1/k)*(1/k^2)/2=(k+1/k)/2 ≥√(k*1/k)=1,等号成立当且仅当k=1/k=1.三角形AOB的面积存在最小值,当k=1时,A(1,1),B(-1,1),三角形AOB的面积最小,最小值等于1.

襄城县18584994692： 抛物线y=x^2上两点A,B横坐标分别是 - 1,2,求图像经过AB两点的一次函数表达式 - ？
伊制东菱：[答案] x=-1,y=x²=(-1)²=1 x=2,y=x²=2²=4 设一次函数为 y=kx+b 代入以上两点的坐标得 -k+b=1 2k+b=4 解为 k=1,b=2 y=x+2

襄城县18584994692： 抛物线y等于x平方上有两点A和B且它们的横坐标为正1和负1则经过A,B两点的直线的表达式为? - ？
伊制东菱： y=x^2,上的两点(1,1)(-1,1),经过两点的直线当然是y=1. 满意请采纳,欢迎提问!

襄城县18584994692： 在已知抛物线y=x^2上存在两个不同的点关于直线Y= - kx+9对称,求K的取值范围 - ？
伊制东菱： y=x^2上存在两个不同的点关于直线Y=-kx+9对称 既然存在,那我就把它设出来吧 就是满足的两点为A(m,m²),B(n,n²),所以直线AB方程 (m+n)x-y-mn=0 AB关于直线Y=-kx+9对称 就必须直线AB与直线Y=-kx+9垂直 所以有m+n=-k 还要 线段AB...

襄城县18584994692： 已知点C(0,1),A,B是抛物线Y=X^2上不同于原点的相异的两动点,且向量OA点向量OB=0 一问:证明向量AC与 - ？
伊制东菱： (1). 设AB:y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2) OA·OB=0 即x1x2+y1y2=0 即x1x2+(x1x2)^2=0 显然x1x2≠0 所以x1x2=-1 联立AB与抛物线的方程,消y,得:x^2-kx-b=0 由韦达定理得:x1x2=-b=-1 所以b=1 AB: y=kx+1 所以x=0,y=1恒是y=kx+1的解 所以AB恒过...