线性代数预习自学笔记-1：矩阵的由来
开始我们的矩阵之旅，让我们以经典的《Linear Algebra with Applications (Ninth Edition)》为导引，深入理解线性方程组的奥秘。
一、线性方程组的引入</
想象一个部落采用货币系统进行定价，Leontief模型巧妙地将这样的经济问题转化为线性方程组的形式。一个含n个未知数的系统，就是m个线性方程组成的m×n矩阵，这就是我们探索的基础。
二、求解路径</
面对超定（m > n）和亚定（m < n）的方程组，我们区分它们，通过消元法寻找解的钥匙。严格三角形矩阵是求解的基石，回代法犹如寻宝路线，将矩阵转化为易于处理的形式。
增广矩阵，这个关键工具，承载着原方程组的所有信息，是矩阵运算的桥梁，让我们得以求解背后的未知世界。
三、矩阵的定义与运算法则</
矩阵，m×n的矩形阵列，当n=m时，它成了尊贵的方阵。初等行运算是矩阵变换的轻盈舞步：交换行列位置，乘以非零系数，或行倍增，它们共同指向消元的目标，将复杂问题简化为严格三角形矩阵。
行阶梯形矩阵和行最简形矩阵，就像数学的里程碑，它们刻画了方程组的结构，揭示了解的自由度和关键变量。
四、探索自由与约束</
齐次方程组，等号右边是零的特殊方程，它揭示了无解的平凡解和可能无穷多解的自由空间。定理1.1告诉我们，当n大于m时，非平凡解的存在并非偶然，而是数学法则的必然。
矩阵算术的大幕即将拉开，但此刻，我们已经铺垫了坚实的理论基础。下篇，我们将深入探讨矩阵运算的精髓，揭示线性代数更为广阔的宇宙。
(线性代数笔记)6.4埃尔米特矩阵
最后，正规矩阵N定义为满足N = N^H的矩阵，它们的特征向量构成完备的规范正交集。这意味着正规矩阵不仅具有对称性，其特征向量性质也是矩阵理论中的关键特性。通过这些深入解析，我们对埃尔米特矩阵及其相关性质有了更深的理解，它们在复数空间中的内积和正交性为线性代数研究提供了基石。理解这些概念有助于...
【笔记】线性代数(向量)6
矩阵与向量的秩揭示 想象一个神秘的矩阵世界，面对它，我们有两种探索路径：一是将矩阵的行转化为向量矩阵，将每一行视为向量α1到αm，列向量则为β1至βm，我们称矩阵A的行向量集合的秩为行秩，列向量集合的秩为列秩。令人惊奇的是，它们共享一个共同的秘密——秩。秩的秘密 深入理解秩的关键...
万字长文|线性代数的本质课程笔记完整合集!
这与物理专业的看法略有不同,因为他们认为向量在空间中可以自由落脚,但是在线性代数中,向量是从原点作为起点的。而向量的坐标如[2,3],则是有序性的体现,2代表横坐标,3代表纵坐标,二者不可交换。 接下来,我们来介绍下向量的几何意义、向量加法的几何意义,以及向量乘法的几何意义。 向量的几何意义 考虑平面中的...
【笔记】线性代数(3)
行列式：降阶探索与代数余子式的奥秘<\/ 行列式的魅力在于其独特的展开法则。当我们以某个元素为中心，剔除同行同列的元素，留下的这部分被称为该元素的余子式，记为Mij。以M23为例，这个二阶余子式的出现，实际上降低了阶次，揭示了行列式的本质结构。更深入的是，代数余子式<\/的引入，是对原始...
(线性代数笔记)1.5初等矩阵
无论是左乘还是右乘，都如同在方程组上施加了相应的行或列操作，其重要性不言而喻。行等价矩阵的特性当矩阵A与B通过一系列初等矩阵的转换相等价时，我们说它们共享着相同的数学灵魂。例如，定理告诉我们：如果E是初等矩阵，那么它非奇异，并且与自身具有相同的类型。当A与单位矩阵I行等价，意味着矩阵A...
【连载】线性代数笔记15:特殊矩阵的逆
对角矩阵的逆在物理和工程问题中尤其常见，因为它们往往对应于简单的线性变换。掌握这些特殊矩阵的逆矩阵，不仅能够增强你的数学技巧，还能让你在解决实际问题时更加游刃有余。它们是线性代数的基石，理解它们是探索更高级数学概念的起点。让我们继续深化学习，解锁更多矩阵世界里的奥秘吧！
【笔记】线性代数(矩阵)2
举个例子，如果A是1x3，B是3x1，它们的乘积AB是一个单一的数字，就像一个简单的音符，而BA则会形成一个3x3的矩阵，每个元素都是不同乐器的独奏，展示了乘法的多样性。零乘的启示 最后，我们不能忽视矩阵相乘结果为零的情况。这并不意味着每个元素都必须为零，而是可能反映出矩阵间的某种平衡，就像...
1.1 线性方程组(线性代数及其应用-第5版-系列笔记)
最后，讲解了一种解线性方程组的方法（ 高斯消元法 ），并论述了线性方程组的解的情况（ 存在性 和 唯一性 ）。包含变量 , , , 的 线性方程 是形如 的方程，其中 与系数 , , , 是实数或复数，通常是已知数。 注意，这里的线性，指的是变量的次数，也就是 的...
[笔记] 线性代数
R :全体实数的集合，即实数域， C ：全体复数的集合，即复数域， F ：包括 R 和 C 从 F 域中选择任意m个元素组成的有序列表，而所有有序列表的集合称为 向量空间 ，这个集合中每一个有序列表，即 向量 例：在全体实数中选择两个数组成的有序列表如 (1,2)，(3,...
1.3 向量方程(线性代数及其应用-第5版-系列笔记)
下面的例子把线性组合与前面几节（1.1节、1.2节）的存在性问题联系起来。 设 ， ， ，确定 能否写成 和 的线性组合，也就是说，确定是否存在 和 ，使得 若该向量方程有解，求它的解。 解：该向量方程可以写为： 写成矩阵形式为： 化为简化阶梯形为： 其解是 ...
尘翁迪尔： 一般来说,如果将矩阵视为行向量或列向量,则秩是这些行向量或列向量的秩,即,包含在最大独立组中的向量数.在线性代数中,矩阵A的列秩是A的线性独立垂直列的最大数量.同样,行秩是A的线性独立水平行数的最大数量. 矩阵秩是反...
山阳县18391057287： 关于线性代数 -- 矩阵？
尘翁迪尔： 乘出来行是由第一个矩阵决定的,列是由第二个矩阵决定的.可以得到3行3列的矩阵. 具体每个元素怎么乘出来的呢,还是那句话:行是由第一个矩阵决定的,列是由第二个矩阵决定的. 比如,第 i 行第 j 列的元素,是由第一个矩阵第 i 行的元素分别乘以第二个矩阵第 j 列的元素的代数和.
山阳县18391057287： 线性代数的矩阵的本质是什么 - ？
尘翁迪尔： 没有什么本质可言.看你是从什么角度来看它,都是相对概念. 数可以是向量(比如,全体实数其实就是其自身上的一维向量空间,这样看来,每个实数也可以叫做向量,尽管通常情况下,我们不这么称呼他们,而是叫他们标量),向量也可以...
山阳县18391057287： 线性代数发展史的矩阵 - ？
尘翁迪尔： 矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语.而实际上,矩阵这个课题在...
山阳县18391057287： 数学中的“矩阵”是怎么一回事?它的基本内容有哪些? ？
尘翁迪尔： 数学上,一个m*n矩阵乃一m行n列的矩形阵列.矩阵由数组成,或更一般的,由某环中元素组成. 矩阵常见于线性代数、线性规划、统计分析,以及组合数学等 矩阵的研...
山阳县18391057287： 线性代数 - 矩阵的秩 - ？
尘翁迪尔： 一、这里r阶子式是指r阶子式的行列式. 二、对于任意选定一个阶数为r+1的子式,该子式的行列式可以按照行列式展开定理展开,使得展开式为数乘r阶子式行列式的加和的形式.因为所有r阶子式的行列式均为0,于是任意选定的阶数为r+1的子式的行列式为0.重复上面的过程,可以断定A中的所有阶数大于r的子式也都等于零.补充说明:上面行列式展开时,是按一行(或者一列也行)展开的.事实上,也有按多行展开的行列式展开定理.如果直接用按多行展开,则不需要上面的归纳过程,而可以直接得到结果.
山阳县18391057287： 线性代数各类矩阵性质归纳 - ？
尘翁迪尔： 方阵就是行和列一样 逆矩阵等于伴随矩阵除以矩阵的行列式 矩阵相似就是A矩阵经过“一次或几次初等变换”得到B矩阵 A和B相似 伴随矩阵和代数余子式有关 矩阵转置就是行变成列 列变成行 还有矩阵有逆矩阵的条件是矩阵的行列式不等于0
山阳县18391057287： 线性代数矩阵？
尘翁迪尔： (I-A) (I+A+A^2+....+A^(k-1) )=I-A^k=I 所以,I-A可逆,且(I-A)^ -1=I+A+A^2+....+A^(k-1)
山阳县18391057287： 关于线性代数方阵 - ？
尘翁迪尔： 首先,如果要求一个矩阵的行列式,那么它必须是方阵,伴随矩阵由矩阵的代数余子式(也是行列式)构成,所以非方阵的矩阵没有伴随矩阵一说.而逆矩阵由初等行变换定义(A|E)->(E|A-1),可知要求也要是方阵,至于说存不存在是后话.关于对角阵定义 ,称A能对角化,如果A都不是方阵,那个看着都不对称了.正交矩阵的充要条件是 ,则称Q是正交阵,当然也是方阵.后面讨论二次型,标准化,合同,正定均要求是方阵.而题目中通常这些通常是默认的.只有在分析向量组 ,由行、列向量构成的矩阵,方程组解的判定和构成时候,需要注意人家说没说是方程,所以有些问题行列式解决不了,才引出秩的概念.
山阳县18391057287： 线性代数,矩阵! - ？
尘翁迪尔： 1.幂等矩阵的特征值只可能是0,1; 2.幂等矩阵可对角化; 3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩,即tr(A)=rank(A); 4.可逆的幂等矩阵为E; 5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵; 6.幂等矩阵A满足:A(E-A)=(E-A)A=0; 7.幂等矩阵A:Ax=x的充要条件是x∈R(A); 8.A的核N(A)等于(E-A)的列空间R(E-A),且N(E-A)=R(A).
