函数f(x) 与其原函数F(x)的关系
作者&投稿：扈尚 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
在数学的广阔领域中，我们常常探讨函数世界里的两个关键概念：函数f(x)和它的原函数F(x)。这两个看似不同的概念，实则紧密相连，尤其当它们涉及到函数的性质和存在性时，更是引人入胜。
连续与原函数的诞生/
当函数f(x)在某个区间[a, b]内连续，如同一条流畅的曲线，那么它的原函数F(x)就犹如其轨迹的积分，必定在这个区间内存在。这种连续性是原函数存在的基石，如同一座桥梁，将f(x)与F(x)紧密相连。
然而，当f(x)在区间内遭遇间断点，情况就变得复杂。若在间断点两侧的倒数不相等，意味着原函数在该点无法定义，从而宣告原函数的缺失。
奇偶性与原函数的对称性/
函数f(x)的奇偶性对原函数F(x)有着显著的影响。如果f(x)是奇函数，那么它的原函数F(x)必定是偶函数，因为奇函数关于原点对称，其原函数则会反映这种对称性。反之亦然，偶函数f(x)的原函数将是奇函数。
周期与原函数的周期性/
更有趣的是，当f(x)既是周期为T的周期函数，又是奇函数时，F(x)也保持着相同的周期性。这种双重属性使得原函数F(x)在时间轴上展现出一种独特的周期性韵律，如同一首美妙的周期性交响曲。
总的来说，函数f(x)与原函数F(x)的关系，就如同音乐中的旋律与它的和声，尽管各自独立，但通过内在的规则和性质，共同构建出数学的和谐世界。理解这种关系，不仅有助于我们深入解析函数的特性，也是掌握数学理论的重要一步。
魏矿威普：[答案] 奇偶性:f(x)奇=>一切F(x)偶,f(x)偶=>仅有一个F(x)奇.F(x)偶=>f(x)奇,F(x)奇=>f(x)偶. 周期性:F(x)是T的周期函数=>f(x)是T的周期函数,反之不成立. 单调性:F(x)是严格单调函数=>f(x)是严格单调函数,反之不成立.
商洛市17092397561： 求 导函数f'(x)=1/1+x的原函数f(x) - ？
魏矿威普：[答案] 导函数f'(x)=1/1+x的原函数f(x)=ln(1+x)
商洛市17092397561： 函数f(x)的导数为f(x)' .现在已知导数f(x)'的函数式,原函数f(x)未知可不可以求出原函数f(x)意思就是可不可以证明导函数f(x)' ,只存在一个f(x)所对应..如果不行... - ？
魏矿威普：[答案] 当然不可以了. 导函数f'(x)与原函数的关系是: 原函数=导函数+C.C为常数. 这是在不定积分那一章学的知识. 比如: 一个原函数f(x)=2x+3 它的导函数为f'(x)=2 而另一个原函数为f(x)=2x+5 它的导函数也为f'(x)=2 所以就是不唯一啊
商洛市17092397561： 若已知函数F(x)是函数f(x)的一个原函数,试求函数2xf(x^2)的一个原函数. - ？
魏矿威普：[答案] ∫f(x)dx=F(x)+C ∫2xf(x^2)dx =∫f(x^2)d(x^2) =F(x^2)+C 所以函数2xf(x^2)的一个原函数是F(x^2)
商洛市17092397561： 设F(x)为f(x)的一个原函数,且f(x)=xF(x)/1+x^2,F(0)=1.求f(x) - ？
魏矿威普：[答案] 应该是f(x)=xF(x)/(1+x²) 若f(x)=xF(x)/(1+x²) f(x)/F(x)=x/(1+x²), 而根据复合函数求导定义,可得f(x)/F(x)=(lnF(x))',x/(1+x²)=(1/2ln(1+x²))' 所以(lnF(x))'=(1/2ln(1+x²))',即 lnF(x)=1/2ln(1+x²)+C,C为常数 F(x)=C*(1+x²)^(1/2), f(x)=Cx/[(1+x...
商洛市17092397561： 牛顿 - 莱布尼茨公式f(x)与其原函数F(x)都是连续函数吗? - ？
魏矿威普： 被积函数 f(x) 未必是连续函数,但原函数 F(x) 必是连续函数!
商洛市17092397561： 1.F(x)的导函数是f(x),那F(x)一定是f(x)的原函数吗?如设分段函数F(x)为:当x0时,F(x)=x;又设分段函数f(x)为:当x0时,f(x)=1;在上例中,2.F(x)的导函数是f... - ？
魏矿威普：[答案] 2、F(x)的导函数是f(x),题目你没看错 3、F(x)是f(x)的原函数 4、原函数只有一个导函数.但导函数却可以有n个原函数.
商洛市17092397561： 设f(x)是连续函数,F(X)是f(x)的原函数,则() - ？
魏矿威普：[选项] A. 当f(x)是奇函数时,F(X)必为偶函数 B. 当f(x)是偶函数时,F(X)必为奇函数 C. 当f(x)是周期函数时,F(X)必为周期函数 D. 当f(x)是单调增函数时,F(X)必为单调增函数 选哪个了,请分别举几个例子来说明一下各个选项,
商洛市17092397561： 函数F(x)是f(x)的一个原函数,则∫e^( - x)f'(e^ - x)dx=如题,求详解 - ？
魏矿威普：[答案] 令t=e^(﹣x),则:lnt=﹣x 得:dt/t=﹣dx ∫e^(-x)f'(e^-x)dx =∫t·f'(t) · [﹣(dt/t)] =﹣∫f'(t) dt =﹣f(t) +C
商洛市17092397561： 设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则下列结论正确的是? - ？
魏矿威普：[答案] A当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数.B当f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数.C当f(x)是单调函数时,F(x)必是单调增函数.D当f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数.
