平面凸集的周长问题

证明超平面为凸集~

对于H中任意两个点x1,x2 和任意两个非负实数t,s满足t+s=1, 容易验证 x= tx1+sx2 也是H中的点，因此H为凸集得证。

不是凸集。
凸集的定义是：设K是n维欧式空间的一点集，即任意两点X，Y（均属于K）的连线上所有点aX+（1-a）Y仍属于K，（a属于0-1）。这个题不符合。
凸集：
在凸几何中，凸集(convex set)是在凸组合下闭合的仿射空间的子集。更具体地说，在欧氏空间中，凸集是对于集合内的每一对点，连接该对点的直线段上的每个点也在该集合内。例如，立方体是凸集，但是任何中空的或具有凹痕的例如月牙形都不是凸集。
特别的，凸集，实数R上（或复数C上）的向量空间中，如果集合S中任两点的连线上的点都在S内，则称集合S为凸集。
在向量空间中：
凸集
令S是实数上的向量空间，或者更一般地，是在某个有序域上，这包括欧几里德空间。如果对于C中的所有x和y，并且在区间（0,1）中的所有t，点

也属于C，则S中的集合C被称为凸。换句话说，连接x和y的线段上的每个点都在C中。这意味着实际或复杂拓扑向量空间中的凸集是路径连接的。此外，如果除了端点之外的连接x和y的线段上的每个点都在C的内部，则C是严格凸起的。
R的凸子集（实数集）仅仅是R的间隔。欧几里得平面的凸子集的一些例子是实心的正多边形，实心三角形和实心三角形的交集。欧几里德三维空间的凸子集的一些例子是阿基米德固体和柏拉图式固体。开普勒 - 波诺索多面体是非凸集的例子。

非凸集
不凸的集合称为非凸集。 一个不是凸多边形的多边形有时被称为凹多边形，一些来源更普遍地使用术语凹集来表示非凸集，但大多数权限禁止这种使用。
凸集的补集有时被称为反凸集，特别是在数学优化的上下文中。

这样可以伐

如果内部凸图形P是n边的多边形的话，那么可以沿着它的边把外面的凸图形Q切开，每切一次把不包含P的那一块扔掉，这样新的Q的周长比原来的Q要小。

切n次以后Q变成了P，这样就证明了Q的周长大于P的。

于是我们证明了对于所有的凸多边形P和包含它的凸图形Q，Q的周长>P的周长。

对于不是凸多边形的P，只要用凸多边形去近似它然后取一个极限即可。

好难啊!我刚高考完!不理解!!

证明之前的准备:
1.设a=p1^α1*p2^α2*...*pk^αk,则φ(a)=a(1-1/p1)(1-1/p2)...(1-1/pk)

2.欧拉定理:设m是大于1的整数,(a,m)=1,则(a^φ(m)-1)%m=0
注：（a,m）＝1意思是a,m互素

证明:(a^p-a)%p=0
若(a,p)=1,由2知(a^φ（p)-1)%p=0，再由1知φ(p)=p-1，
即是(a^(p-1)-1)%p=0,因而(a^p-a)%p=0,
若(a,p)!=1,则p│a,显然得出(a^p-a)%p=0

不知道你学了初等数论没有,φ(a)表示1到a-1之间与a互素的元素的个数，前面1，2个定理的证明在初等数论中都有．

好像不是很难。我提一下大致思路，你看看对不对。

不妨假设p(P)不等于p(Q)。 这样两者之间有个大小关系。

step1 通过适当调整，可以假设P,Q都是多边形。这是因为你可以把边界分成很小的段，以直线代替。这样做不会影响凸性等， 而且仍然保持p(P)和p(Q)之间原来的大小关系。

step2 选取Q的一条直边， 做一条直线L与该边重合，于是L和P相交两点，且把P的边界分割成两部分。

step3 显然Q完全落在L的一侧。 现在你把P的边界中落在L另一侧的部分抹掉，把L作为P的新边。 显然P的周长变小了。

step4 再选取Q的另一条边，重复上面的操作。显然P的周长变得更小。
依此类推， 重复这个过程直到Q和P的所有边完全重合（即P=Q）, 显然P的周长变到最小， 即等于Q的周长。
所以对于最开始的P来说，就有p(P) ≥ p(Q)。

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