正交矩阵的特征值一定是什么数吗？
正交矩阵的特征值一定是1或-1。
(λα,λα) = (Aα,Aα) = (Aα)^T(Aα) = α^TA^TAα
= α^Tα = (α,α)
所以有 λ^2(α,α) = (α,α)
又因为 α≠0, 所以 (α,α)>0
所以 λ^2 = 1
所以 λ = ±1
即正交矩阵的特征值只能是1或-1。
注意
正交矩阵的最基本置换是换位(transposition)，通过交换单位矩阵的两行得到。任何n×n置换矩阵都可以构造为最多n1次换位的积。构造自非零向量v的Householder反射，这里的分子是对称矩阵，而分母是v的平方量的一个数。
这是在垂直于v的超平面上的反射(取负平行于v任何向量分量)。如果v是单位向量，则Q=I2vv就足够了。Householder反射典型的用于同时置零一列的较低部分。任何n×n正交矩阵都可以构造为最多n次这种反射的积。
正交矩阵的特征值不一定是实数，比如二阶旋转矩阵
[a -b;
b a];
a^2+b^2=1;
令a=cosA b=sinA;
此矩阵就是二阶旋转矩阵，此矩阵为反对称实矩阵，而且此矩阵还是正交矩阵。反对称实矩阵的特征值要么是零，要么是纯虚数。因为正交矩阵的特征值可能是复数。
正交矩阵的特征值一定是1或-1。
(λα,λα) = (Aα,Aα) = (Aα)^T(Aα) = α^TA^TAα
= α^Tα = (α,α)
所以有 λ^2(α,α) = (α,α)
又因为 α≠0, 所以 (α,α)>0
所以 λ^2 = 1
所以 λ = ±1
即正交矩阵的特征值只能是1或-1。
正交矩阵的特点如下：
1、实数方块矩阵是正交的，当且仅当它的列形成了带有普通欧几里得点积的欧几里得空间R的正交规范基，它为真当且仅当它的行形成R的正交基。
2、任何正交矩阵的行列式是+1或−1。这可从关于行列式的如下基本事实得出：（注：反过来不是真的；有+1行列式不保证正交性，即使带有正交列，可由下列反例证实。）
3、对于置换矩阵，行列式是+1还是−1匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。
4、比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的集合，它们全都必须有(复数)绝对值1。
为什么矩阵的特征值一定正交呢?
结论很明显，书上解释得也很清楚，我猜题主问这个问题是对于下面这个问题的疑惑。这里说的是存在，并没有说对于实对称矩阵A的特征值分解，得到的U一定是正交矩阵。而是可以采用一些正交化方法使得U成为正交矩阵，就是说即使U不是正交矩阵，但U的各列向量线性无关。矩阵：在数学中，矩阵（Matrix）是一...
为什么正交矩阵一定可以特征值分解?
1. "正交矩阵的特征值只能是1或者-1"这个是严重错误！随便给你个例子 0 1 0 0 0 1 1 0 0 2. "是什么保证了它有足够的特征向量使得它一定可以特征值分解"本质上讲正交矩阵是正规矩阵，所有的正规矩阵都可以酉对角化（当然这个不是非常容易证明，先要酉上三角化，然后用正规性得到非对角元全为...
正交矩阵是否一定有特征值?
任一n阶方阵都有特征值
一个特征值一定可以求出它对应的特征向量吗?
一个矩阵的特征值一定可以求出该特征值对应的特征向量。设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值，非零n维列向量 x是矩阵A对应于特征值m的一个特征向量。根据矩阵特征值和特征向量的定义可知，如果可以存在特征值m，那么一定存在非零特征向量x...
正交矩阵的特征值
简单分析一下即可，详情如图所示
正交矩阵一定有特征值和特征向量吗?
不只是正交矩阵, 任一n阶方阵都有n个特征值(重根按重数计), 自然也有特征向量
矩阵确定了,它的特征值唯一吗?我只知道特征向量不唯一。 课本说: A...
矩阵确定，它的特征值一定是唯一的！！！从特征值方程可以得出结论，特征方程的解就是唯一的
正交矩阵的特征值只能是1或-1
一方面, (λα,λα)=λ^2(α,α).另一方面,(λα,λα) = (Aα,Aα) = (Aα)^T(Aα) = α^TA^TAα = α^Tα = (α,α).所以有 λ^2(α,α) = (α,α).又因为 α≠0, 所以 (α,α)>0.所以 λ^2 = 1.所以 λ = ±1.即正交矩阵的特征值只能是1或-1 ...
矩阵初等变换后特征值一定相等吗?
不一定。一般的矩阵经过初等变换后特征值是会改变的，但是一些特殊矩阵经过初等变换后特征值是不会改变的。特殊的，例如一个矩阵，每行每列都为1，其特征值为0，经过初等变换后，其特征值仍为0。矩阵变换是线性代数中矩阵的一种运算形式。有以下三种变换类型：1、交换矩阵的两行。2、以一个非零数k...
一个矩阵一定有特征值吗?
矩阵特征值的求法是写出特征方程lλE-Al=0左边解出含有λ的特征多项式比如说是含有λ的2次多项式，我们学过，是可能没有实数解的，(Δ<0)这个时候我们说这个矩阵没有【实特征值】但是如果考虑比如Δ<0时有虚数的解，，也就是有虚数的特征值的这样说来就必有特征值。设 A 是n阶方阵，如果存在数...
愚菲盐酸：[答案] 一定等于1或-1.正交矩阵乘其转置为单位阵,所以它的行列式的平方等于1.所以正交矩阵的行列式等于1或-1.
聂拉木县15116813156： 正交矩阵的特征值为—— - ？
愚菲盐酸：[答案] 正交阵的特征值是模为1的复数,共轭复根成对出现,仅此而已. 反过来任何满足上述条件的复数都可以作为正交阵的特征值. 楼上纯属忽悠,随便举个例子 A= 0 0 1 1 0 0 0 1 0
聂拉木县15116813156： 正交矩阵的特征值是不是一定不等于零? - ？
愚菲盐酸： 是.一定等于1或-1. 证明如下: 设λ是正交矩阵A的特征值,x是A的属于特征值λ的特征向量,即有 Ax = λx,且 x≠0.两边取转置,得 x^TA^T = λx^T 所以 x^TA^TAX = λ^2x^Tx,因为A是正交矩阵,所以 A^TA=E,所以 x^Tx = λ^2x^Tx,由 x≠0 知 ...
聂拉木县15116813156： 请问设A是正交矩阵,|A|=1,证明1一定是A的特征值吗?还有可能有特征值1和共轭虚数吗? - ？
愚菲盐酸：[答案] 带入验证.因为det(I-A)=det((A(AT))-A)=det(A(AT-I))=det(AT-I)=det(A-I)=-det(I-A)(说明AT表示A的转置),所以det(I-A)=0,所以1是特征值.因为正交矩阵一定是实矩阵(定义),所以其特征值只能是实数.
聂拉木县15116813156： 求证 正交矩阵的特征值只能是1或 - 1 - ？
愚菲盐酸：[答案] 证:设A是正交矩阵,λ是A的特征值,α是A的属于λ的特征向量 则 A^TA = E (E单位矩阵),Aα=λα,α≠0 考虑向量λα与λα的内积. 一方面,(λα,λα)=λ^2(α,α). 另一方面, (λα,λα) = (Aα,Aα) = (Aα)^T(Aα) = α^TA^TAα = α^Tα = (α,α). 所以有 λ^2(α,α) = ...
聂拉木县15116813156： 线性代数 正交矩阵的特征值只可能为1或 - 1吗?是特征值,不是行列式!谢谢 - ？
愚菲盐酸： 可能.如果A是正交矩阵,那么就有A的行列式的平方是1,开方就有负1,而矩阵行列式是各个特征值的成绩,所以······
聂拉木县15116813156： 正交矩阵的特征根有什么特点 - ？
愚菲盐酸：[答案] 实正交阵的特征值分布在单位圆上,且虚特征值成对出现 复正交阵的特征值是非零复数,且除了1和-1之外其它特征值必须按λ,1/λ成对出现
聂拉木县15116813156： 证明任何正交矩阵的实特征值要么是1要么是 - 1 - ？
愚菲盐酸： 楼上回答基本正确,不过存在一个小问题:A(T)的特征值为λ(n) A(-1)的特征值为1/λ(n) 因为A(T)=A(-1) 所以λ(n)=1/λ(n).这步是不严密的.两个矩阵相等只能得到他们特征值构成的集合是相等的,而不是每个对应的特征值是相等的.可以这么证:设x于b分别是A的特征向量与特征值,那么Ax=bx,在上式两边同时左乘A'(A的转置),那么有x=Ix=A'Ax=A(bx)=b(bx)=b^2 x 从而b^2 = 1,b=正负1.
聂拉木县15116813156： 正规阵的特征值全为实数吗? - ？
愚菲盐酸： 并不一定,虽然可以证明一定存在一个酉矩阵,使得正规矩阵乘以该酉矩阵化为对角矩阵,但是要注意,这里的对角矩阵并没有告诉你是实对角矩阵.而且可以很轻松的举一个反例就可以说明正规阵的特征值可能不是实数. 设A为正规阵,则必...
聂拉木县15116813156： 证明任何正交矩阵的实特征值要么是1要么是 - 1 - ？
愚菲盐酸：[答案] 设矩阵为A(ij) 由于是正交矩阵AA(T)=I 所以A(T)=A(-1) ((T)为矩阵转置,(-1)为矩阵的逆 设A的特征值为λ(n),则A(T)的特征值为λ(n) A(-1)的特征值为1/λ(n) 因为A(T)=A(-1) λ(n)=1/λ(n) λ(n)^2=1 λ(n)要么是1,要么是-1
