如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高

如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h 1 、h 2 、h 3 ，△~

（1）图②-⑤中的关系依次是：h 1 +h 2 +h 3 =h；h 1 -h 2 +h 3 =h；h 1 +h 2 +h 3 =h；h 1 +h 2 -h 3 =h；（4分）（2）图②中，h 1 +h 2 +h 3 =h．证法一：∵h 1 =BPsin60°，h 2 =PCsin60°，h 3 =0，（6分）∴h 1 +h 2 +h 3 =BPsin60°+PCsin60°=BCsin60°=ACsin60°=h．（8分）证法二：连接AP，则S △APB +S △APC =S △ABC ．（6分）∴ 1 2 AB× h 1 + 1 2 AC× h 2 = 1 2 BC×h ．又h 3 =0，AB=AC=BC，∴h 1 +h 2 +h 3 =h；（8分）证明：（3）图④中，h 1 +h 2 +h 3 =h．过点P作RS ∥ BC与边AB、AC相交于R、S．（9分）在△ARS中，由图②中结论知：h 1 +h 2 +0=h-h 3 ．∴h 1 +h 2 +h 3 =h．（10分）说明：（2）与（3）问，通过作辅助线，利用证全等三角形的方法类似给分；（4）由（3）可知：h 1 +h 3 +h 4 = mh m-n ．（11分）让R、S延BR、CS延长线向上平移，当n=0时，图⑥变为图④，上面的等式就是图④中的等式，所以上面结论是图④中结论的推广．（12分）

解：（1）图②-⑤ 中的关系依次是：h 1 +h 2 +h3=h；h 1 -h 2 +h 3 =h；h 1 +h 2 +h 3 =h；h 1 +h 2 -h 3 =h；（2）图②中，h 1 +h 2 +h 3 =h，∵h 1 =BPsin60°，h 2 =PCsin60°，h 3 =0， ∴h 1 +h 2 +h 3 =BPsin60°+PCsin60°=BCsin60°=ACsin60°=h； （3）图④中，h 1 +h 2 +h 3 =h．过点P作RS∥BC与边AB、AC相交于R、S， 在△ARS中，由图②中结论知：h 1 +h 2 +0=h-h 3 ，∴ h 1 +h 2 +h 3 =h； （4）h 1 +h 3 +h 4 = ，让R、S延BR、CS延长线向上平移，当n=0时，图⑥变为图④，上面的等式就是图④中的等式，所以上面结论是图④中结论的推广。

在图①中，点P是BC的中点，此时H3=0, 可通过等式S△ABP+S三角形ACP=S△ABC得出结论:h1+h2+h3=h.

在图②~⑤中，点P 分别在线段MC上，MC延长线上，△ABC内，△ABC外。

（1）  请探究：图②~⑤中，h1,h2,h3,h之间的关系（直接写出关系）

(2)证明图②所的结论；

（3）再改变点P的位置，画出图形，写出相应的结论，不用证明。

解：（1）②hl+h2+h3=h；③h1-h2+h3=h；④h1+h2+h3=h；⑤h1+h2-h3=h．
（2）图②中，h1+h2+h3=h．
连接AP，
则S△APB+S△APC=S△ABC，
∴ AB×h1+ AC×h2= BC×h．
又h3=0，AB=AC=BC，
∴h1+h2+h3=h．
（3）图⑤中，h1+h2-h3=h．
连接PA、PB、PC，（如答图）
则S△APB+S△APC=S△ABC+S△BPC．
∴ AB×hl+ AC×h2= BC×h+ BC×h3
又AB=AC=BC，
∴h1+h2=h+h3．
∴h1+h2-h3=h．

：（1）图②-⑤中的关系依次是：h1+h2+h3=h；h1-h2+h3=h；h1+h2+h3=h；h1+h2-h3=h；（2）由图（2）有S△ABP+S△ACP=S△ABC根据等边三角形的性质，及面积公式得出结论；（3）由图（4）有S△ABP+S△BCP+S△ACP=S△ABC，根据等边三角形的性质，及面积公式得出结论；（4）延长BR、CS交于A，由（3）有h1+h3+h4= mhm-n．解答：解：（1）图②-⑤中的关系依次是：h1+h2+h3=h；h1-h2+h3=h；h1+h2+h3=h；h1+h2-h3=h；（2）图②中，h1+h2+h3=h．证法一：∵h1=BPsin60o，h2=PCsin60o，h3=0，∴h1+h2+h3=BPsin60o+PCsin60o=BCsin60o=ACsin60o=h．证法二：连接AP，则S△APB+S△APC=S△ABC．∴ 12AB×h1+12AC×h2=12BC×h．又h3=0，AB=AC=BC，∴h1+h2+h3═h；证明：（3）图④中，h1+h2+h3=h．过点P作RS∥BC与边AB、AC相交于R、S．在△ARS中，由图②中结论知：h1+h2+0=h-h3．∴h1+h2+h3=h．说明：（2）与（3）问，通过作辅助线，利用证全等三角形的方法类似给分；（4）由（3）可知：h1+h3+h4= mhm-n．让R、S延BR、CS延长线向上平移，当n=0时，图⑥变为图④，上面的等式就是图④中的等式，所以上面结论是图④中结论的推广．

解：（1）连接PA，PB，PC，
则S△ABC=S△PAC+S△PBC+S△PAB，
∴
12BC•h=
12AB•h1+
12AC•h2+
12BC•h3，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴h=h1+h2+h3；

（2）仍有h=h1+h2+h3；
理由：如图：设P在AC上，则h2=0，
连接PB，
则S△ABC=S△PBC+S△PAB，
∴
12BC•h=
12AB•h1+
12BC•h3，
∵△ABC是等边三角形，
AB=BC=AC，
∴h=h1+h3；
即h=h1+h2+h3；

（3）h＜h1+h2+h3．
连接PA，PB，PC，
则S△ABC＜S△PAC+S△PBC+S△PAB，
∴
12BC•h＜
12AB•h1+
12AC•h2+
12BC•h3，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴h＜h1+h2+h3．

这个图

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新田县19244762633： 如图,已知等边三角形abc,和点p,设点p到三角形abc三边ab,ac,bc(或其延长线)的距离分别为h - ？
抄实三金： 题目的完整表述为:已知等边三角形ABC和点P,设点P到△ABC三边AB、AC、BC(或其延长线)的距离分别为h1,h2,h3,△ABC的高为h若点P在一边BC上,此时h3=0,可得结论:h1+h2+h3=h.当点P在△ABC外时,如图这种情况,证明 :...

新田县19244762633： 如图所示,已知等边三角形ABC和点P,设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3,△ABC的高为h, - ？
抄实三金： 证明:(1) 肯定成立,过P点作BC的平行线,则按照图1,有 h-h3=h1+h2,于是有h1+h2+h3=h(2):连接PA、PB、PC,则△ABC面积等于△APB、△APC、△BPC面积之和 于是BC*h=AB*h1+AC*h2+BC*h3 因是等边三角形,则AB=AC=BC 故:BC*h=BC*h1+BC*h2+BC*h3 于是:h=h1+h2+h3

新田县19244762633： 如图,已知等边三角形ABC和点P,设点P到三角形ABC三边AB,AC,BC的距离分别是h1,h2, - ？
抄实三金： ①P在△内h=h1+h2+h3 过P做DE‖BC,等边△ADE的高=h1+h2 ∴h=h1+h2+h3 ②P在△外,设P在BC边外h=h1+h2-h3 过P做DE‖BC,等边△ADE的高=h1+h2 ∴h=h1+h2-h3(P在BC边外) h=h2+h3-h1(P在AB外) h=h1+h3-h2(P在AC外)

新田县19244762633： 已知等边三角形ABC和点P,设点P到△ABC的三边AB,AC,BC的距离分别为h1、h2、h3,△ABC的高AM=h,(1)当点P在高AM上时,如图(1)所示,可得结论... - ？
抄实三金：[答案] (1)如图1,∵等边三角形ABC中,AM是三角形的高, ∴AM是∠BAC的平分线, ∴∠BAM= 1 2∠BAC=30°, ∵PD⊥AB,PE⊥AC, ∴PD=PE= 1 2PA, ∴PD+PE=PA, ∴PD+PE+PM=PA+PM=AM, 即h1+h2+h3=h; (2)当点P在△ABC内部时,如图2,h=h1...

新田县19244762633： 已知等边三角形ABC和点P,设点P到三角形ABC的三边AB,AC,BC的距离为h1,h2,h3,△ABC的高为h.当点P - ？
抄实三金： 已知等边三角形ABC和点P,设点P到三角形ABC的三边AB,AC,BC的距离为h1,h2,h3,△ABC的高为h.当点P在△ABC的一边BC上时(如图1所,示),h3=0,可得结论h1+h2+h3=h.当点P分别在△ABC内(如图2所示)和△ABC外(如图3所示)...

新田县19244762633： 已知等边三角形ABC和点P,设点P到三角形ABC边的AB AC BC 的距离分别是h1 h2 h3, - ？
抄实三金： 解:①(1)h=h1+h2,理由如下:连接AP,则 S△ABC=S△ABP+S△APC ∴12BC•AM=12AB•PD+12AC•PF 即12BC•h=12AB•h1+12AC•h2 又∵△ABC是等边三角形 ∴BC=AB=AC,∴h=h1+h2. ②当点P在△ABC内时,结论成立.证明如...

新田县19244762633： [(1) - (3),10分]如图,已知等边△ABC和点P,设点P到△ABC三边AB、AC、BC(或其延长线)的距离分别为h - ？
抄实三金： (1)图②-⑤中的关系依次是:h1+h2+h3=h; h1-h2+h3=h; h1+h2+h3=h;h1+h2-h3=h. (2)图②中,h1+h2+h3=h. 证明:∵h1=BPsin60°,h2=PCsin60°,h3=0,∴h1+h2+h3=BPsin60°+PCsin60°=BCsin60°=ACsin60°=h. (3)证明:如图,连接AP、BP、CP...

新田县19244762633： 已知:如图5,在等边三角形ABC和点P,设点P到三角形ABC三边AB;AC;BC(或其他延长线的距离分别为h1;h2;h3, - ？
抄实三金： (1)和(2)一样,只不过(1)里H3=0了 (2)连结AP BP CP SABC=SABP+SBCP+SACP =1/2(H1*AB+H2*AC+H3*BC) 因为AB=AC=BC 所以SABC=1/2(H1+H2+H3)BC 又因为SABC=1/2*H*BC 所以H1+H2+H3=H(3)连结AP BP CP SABC=SABP+SACP-SBCP =1/2(H1*AB+H2*AC-H3*BC) =1/2(H1+H2-H3)BC 又因为SABC=1/2*H*BC 所以H1+H2-H3=H

新田县19244762633： 已知等边三角形ABC和点P,设点P到三角形ABC三边AB,AC,BC的距离分别为h1,h2,h3 - ？
抄实三金： 作AD垂直BC于D,则: h1+h2+h3=AD.证明:连接PA,PB,PC; 设AB=BC=CA=m(m>0).S⊿ABP+S⊿ACP+S⊿BCP=S⊿ABC;(1/2)*m*h1+(1/2)*m*h2+(1/2)*m*h3=(1/2)*m*AD; 上式两边同除以(1/2)*m得: h1+h2+h3= AD.(即等边三角形内任一点到三边的距离之和等于它的一条高.)

新田县19244762633： 已知等边三角形ABC和点P,设点P到△ABC三边AB、AC、BC(或其延长线)的距离分别为h1,h2,h3 - ？
抄实三金： 解:(1)②hl+h2+h3=h;③h1-h2+h3=h;④h1+h2+h3=h;⑤h1+h2-h3=h. (2)图②中,h1+h2+h3=h. 连接AP, 则S△APB+S△APC=S△ABC, ∴ 12AB*h1+ 12AC*h2= 12BC*h. 又h3=0,AB=AC=BC, ∴h1+h2+h3=h. (3)图⑤中,h1+h2-h3=h. 连接PA、PB、PC,(如答图) 则S△APB+S△APC=S△ABC+S△BPC. ∴ 12AB*hl+ 12AC*h2= 12BC*h+ 12BC*h3 又AB=AC=BC, ∴h1+h2=h+h3. ∴h1+h2-h3=h.