高中数学 抛物线，双曲线

高中数学抛物线与双曲线~

相切则△=0，两个交点是由于二次曲线对称性

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抛物线：
1、定义
平面内,到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线。另外,F称为"抛物线的焦点",l称为"抛物线的准线"。
定义焦点到抛物线的准线的距离为"焦准距",用p表示.p>0.
以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥，可得一个圆，如果倾斜这个平面直至与其一边平行，就可以做一条抛物线。

2.抛物线的标准方程

右开口抛物线:y^2=2px
左开口抛物线:y^2=-2px
上开口抛物线:y=x^2/2p
下开口抛物线:y=-x^2/2p

3.抛物线相关参数(对于向右开口的抛物线)

离心率:e=1
焦点:(p/2,0)
准线方程l:x=-p/2
顶点:(0,0)

4.它的解析式求法：
三点代入法

5.抛物线的光学性质:
经过焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴.

6、其他

抛物线：y = ax* + bx + c
就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c
a > 0时开口向上
a < 0时开口向下
c = 0时抛物线经过原点
b = 0时抛物线对称轴为y轴
还有顶点式y = a（x-h）* + k
就是y等于a乘以（x-h）的平方+k
h是顶点坐标的x
k是顶点坐标的y
一般用于求最大值与最小值
抛物线标准方程:y^2=2px
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py

椭圆：
定义
椭圆是一种圆锥曲线（也有人叫圆锥截线的），现在高中教材上有两种定义：
1、平面上到两点距离之和为定值的点的集合（该定值大于两点间距离）（这两个定点也称为椭圆的焦点，焦点之间的距离叫做焦距）；
2、平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点不在定直线上，该常数为小于1的正数）（该定点为椭圆的焦点，该直线称为椭圆的准线）。这两个定义是等价的

标准方程
高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1
其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们分别叫椭圆的长半轴和短半轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c
椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ

公式
椭圆的面积公式
S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).
或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).
椭圆的周长公式
椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。
椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如
L = 4a * sqrt(1-e^sin^t)的(0 - pi/2)积分, 其中a为椭圆长轴,e为离心率
椭圆的离心率公式
e=c/a
椭圆的准线方程
x=+-a^2/C
椭圆焦半径公式
椭圆过右焦点的半径r=a-ex
过左焦点的半径r=a+ex

相关性质
由于平面截圆锥（或圆柱）得到的图形有可能是椭圆，所以它属于一种圆锥截线。
例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）：
将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。
设两点为F1、F2
对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2
则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2
由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点
用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆

双曲线：
定义
数学上指一动点移动于一个平面上，与平面上两个定点的距离的差的绝对值始终为一定值时所成的轨迹叫做双曲线(Hyperbola)。两个定点叫做双曲线的焦点(focus)。

● 双曲线的第二定义:

到定点的距离与到定直线的距离之比=e , e∈(1,+∞)

·双曲线的标准方程为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2,动点与两个定点之差的绝对值为定值2a

·双曲线的参数方程为：

x=X+a·secθ
y=Y+b·tanθ
(θ为参数)

·几何性质：

1、取值区域：x≥a,x≤-a
2、对称性：关于坐标轴和原点对称。
3、顶点：A(-a,0) A’(a,0) AA’叫做双曲线的实轴，长2a；
B(0,-b) B’(0,b) BB’叫做双曲线的虚轴，长2b。
4、渐近线：
y=±(b/a)x
5、离心率：
e=c/a 取值范围：（1，+∞)

6 双曲线上的一点到定点的距离和到定直线的距离的比等于双曲线的离心率
7 双曲线焦半径公式：圆锥曲线上任意一点到焦点距离。
8 等轴双曲线 双曲线的实轴与虚轴长相等
2a=2b e=√2
9 共轭双曲线
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 与 (y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 叫等轴双曲线
（1）共渐近线
（2）e1+e2>=2√2

双曲线的标准公式为：
X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0)
而反比例函数的标准型是 xy = c (c <> 0)
但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的，可以设旋转的角度为 a （a<>0）
(a为双曲线渐进线的倾斜角)
则有
X = xcosa + ysina
Y = xcosa - ysina
X^2 - Y^2 = (xcosa+ysina)^2 -(xcosa - ysina)^2
= 4xy(cosasina)
= 4c(cosasina)
所以
X^2/4c(cosasina) - Y^2/4c(cosasina) = 1 (4c(cosasina)>0)
Y^2/(-4c(cosasina)) - X^2/(-4c(cosasina)) = 1 (4c(cosasina)<0)
由此证得，反比例函数其实就是双曲线函数

解析几何就是把几何用方程表示，然后用代数的方法解题。

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浮山县18211682556： 高中数学 抛物线,双曲线 - ？
容毅甲磺：[答案] 抛物线: 1、定义 平面内,到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线.另外,F称为＂抛物线... 用同样的方法,也可以证明圆锥的斜截面(不通过底面)为一个椭圆 双曲线: 定义 数学上指一动点移动于一个平面上,与平...

浮山县18211682556： 高中数学对抛物线的定义是什么? - ？
容毅甲磺：[答案] 平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点叫做抛物线的焦点,直线叫做抛物线的准线,定点不在定直线上.它与椭圆、双曲线的第二定义相仿,仅比值(离心率e)不同,当e=1时为抛物线,当0

浮山县18211682556： 椭圆,双曲线,抛物线之间的异同点 - ？
容毅甲磺：[答案] (一)整体分析 【单元课程分析】 《圆锥曲线》这一单元研究的对象是图形,常用的方法是坐标法.坐标法在《直线和圆的... 在高中阶段主要涉及到的曲线有直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线,其中四种曲线都包括在《圆锥曲线》这一单元. 如果曲线...

浮山县18211682556： 高中数学抛物线问题(细心的人来)双曲线上一点到焦点的距离和到准线的距离比是离心率,那么抛物线上一点到焦点的距离与到准线的距离怎样》? - ？
容毅甲磺：[答案] 相等,因为抛物线上一点到焦点的距离和到准线的距离比是也离心率,而抛物线的离心率等于1

浮山县18211682556： 数学 帮忙介绍一下高中解析几何 双曲线 椭圆 和抛物线的性质? - ？
容毅甲磺： X = xcosa + ysina Y = xcosa - ysina X^2 - Y^2 = (xcosa+ysina)^2 -(xcosa - ysina)^2 = 4xy(cosasina) = 4c(cosasina) 所以 X^2/4c(cosasina) - Y^2/4c(cosasina) = 1 (4c(cosasina)>0) Y^2/(-4c(cosasina)) - X^2/(-4c(cosasina)) = 1 (4c(cosasina)<0) 由此证得,反比例函数其实就是双曲线函数

浮山县18211682556： 高二数学已知抛物线y2=2px的焦点与双曲线3分之x平方减y平方等于一的右焦点重合,求抛物线的方 - ？
容毅甲磺：[答案] 双曲线x^2/3-y^2=1的右焦点为(2,0),因此抛物线的焦点为(2,0),所以抛物线的方程为y^2=8x

浮山县18211682556： 抛物线有哪些性质(高中) - ？
容毅甲磺：[答案] 面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点. 定直线l 叫做抛物线的准线. 一,抛物线的范围:y2=2px y取全体实数 X Y X 0 二,抛物线的对称性 y2=2px 关于X轴对称 没有对称中心,因此,抛物线又叫做...

浮山县18211682556： 高中数学双曲线与抛物线？
容毅甲磺： 很明显,点M在双曲线的右支上,设点M到直线l的距离是d. 设c^2=a^2+b^2 由离心率的定义,|MF1|/d=c/a,|MF2|=d,又|MF1|-|MF2|=2a,所以,|F1F2|/|MF1|=2a/d,|MF1|=2a+d 所以,原式=2a/d-(2a+d)/d=-1

浮山县18211682556： 关于圆锥曲线的高中数学题抛物线y2=2px与双曲线x2/a2 - y2/b2=1有相同的焦点F,点A是两曲线的一个焦点,且AF垂直 X轴,则双曲线的渐近线L 的倾斜角所... - ？
容毅甲磺：[答案] 有相同的焦点 ∴c=p/2 ∵AF⊥X轴,且A的横坐标为c,代入抛物线方程中得 y²=2pc=p² 得相交点为(p/2,p),(p/2,-p)再代入双曲线方程中得 p²/a²-4p²/b²=4……① 又∵=c²=p²/4得p²=4a²+4b²……② ②代入①得4+4b²/a²-16a²/b²-...

浮山县18211682556： 高中数学的六大板块是哪六大? - ？
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