为什么R（ AB）一定= R（ B）？
作者&投稿：黎钞 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
A=diag（1，1，0）=B，则AB=B，所以r(AB)=r(B)，但A既不是行满秩也不是列满秩。
但是，若A列满秩，则一定有r(AB)=r(B)
R(AB) = R(B) 的条件是A的列满秩，也就是说A的列向量线性无关。
因为如果A的列满秩，那么Ax=0只有零解，也就是说，对于任何非零向量x，Ax都不等于0。因此，当B是任何非零向量时，AB都不是零向量，所以R(AB) = R(B)。
如果A的列不满秩，那么就有可能存在非零向量x使得Ax=0，这样就有可能存在非零向量B使得AB=0，因此R(AB)不一定等于R(B)。
祢眉弗奇：[答案] A 可逆,可表示为初等矩阵的乘积 A=P1...Ps P1,PsB 相当于对B做初等行变换 而初等变换不改变矩阵的秩 所以 R(AB)=R(B)
江宁区15137135560： 考研数一线代: 为什么有: 如矩阵A可逆,则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B) - ？
祢眉弗奇： 证法1. 知识点: 初等变换不改变矩阵的秩 因为A可逆, 所以A可以表示成初等矩阵P1,...,Ps 的乘积 AB = P1...PsB 初等矩阵左乘B, 相当于对B进行相应的初等行变换 而 初等变换不改变矩阵的秩 所以 r(AB) = r( P1...PsB) = r(B). 同理可证 r(BA)=r(B).证法2. 知识点: r(AB) <= min{r(A),r(B)} 一方面 r(AB)<= r(B). 另一方面 r(B) = r( A^-1 (AB)) <= r(AB) 所以 r(AB)=r(B). 同理可证 r(BA)=r(B).
江宁区15137135560： 矩阵的秩R(AB)什么时候=R(B)为什么A可逆就会R(AB)=R(B) - ？
祢眉弗奇：[答案] 当A为方阵时,A可逆 当A非方阵时,A列满秩 当A为方阵且A可逆时,A可以表示为初等矩阵的乘积 P1P2...Ps AB = P1P2..PsB 相当于对矩阵B实施一系列初等行变换 而初等变换不改变矩阵的秩 故 r(AB) = r(P1P2..PsB) = r(B).
江宁区15137135560： A为满秩矩阵 B不是满秩序 r(AB)=r(B)? 为什么 - ？
祢眉弗奇： 因为A为满秩矩阵,所以A为可逆矩阵,则A可以看成是一系列初等矩阵的乘积,AB可以看成是对矩阵B进行初等行变换,所以矩阵的秩不变,所以有r(AB)= r(B)
江宁区15137135560： 向量组a和向量组b,为什么r(ab)<=r(b) - ？
祢眉弗奇： A的列向量的极大无关组和B的列向量组的极大无关组构成的向量组,为方便称其为向量组C.(A,B)的列向量组等价于向量组C,故r(A,B)=r(C)C中一共有r(A)+r( B)个向量,故r(C)<=r(A)+r( B)故r(A,B)<=r(A)+r( B)
江宁区15137135560： 为什么若A可逆,则r(AB)=r(B)呢?怎么形象一点理解吗? - ？
祢眉弗奇： 若A可逆,则A可表示成若干个初等矩阵的乘积对矩阵B左乘以一个初等矩阵,等价于对B做一次相应的初等行变换由于对矩阵做初等变换不改变它的秩,所以 r(AB)=
江宁区15137135560： 已知A是可逆矩阵,且矩阵B的轶为2,且AB的轶为多少?请说明理由?本人上课没怎么听,答案看不怎么懂.为什么R(AB)=R(B)=2. - ？
祢眉弗奇：[答案] r(AB) = r(B) = 2. 知识点:若P,Q可逆,则 r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ). 原因是 初等变换不改变矩阵的秩(定理) 而可逆矩阵可表示成初等矩阵的乘积 所以 r(PA)=r(P1...PsA) = r(A)
江宁区15137135560： 若r(A)=r(B)则一定能得出r(A)=r(A,B)吗?为什么? - ？
祢眉弗奇： 不一定. 反例. A = 1 1 0 0 B = 0 0 0 1 则 r(A)=r(B)=1, 但 r(A,B) = 2.这与“矩阵只能进行行变换”没关系
江宁区15137135560： 为什么R(A)=R(A,B)时,R(B)<=R(A,B)? - ？
祢眉弗奇： 显然已知R(A)=R(A,B) 即B和A写在一起 并没有使其秩增加 而秩即对应着矩阵的最高阶非零子式的阶 于是B的最高阶非零子式的阶 小于等于A最高阶非零子式的阶 当然就得到 R(B)≤R(A,B)
江宁区15137135560： 矩阵的秩R(AB)什么时候=R(B) - ？
祢眉弗奇： 当A为方阵时, A可逆 当A非方阵时, A列满秩当A为方阵且A可逆时, A可以表示为初等矩阵的乘积 P1P2...Ps AB = P1P2..PsB 相当于对矩阵B实施一系列初等行变换 而初等变换不改变矩阵的秩 故 r(AB) = r(P1P2..PsB) = r(B).
