如何用向量法证明三角形重心到三个顶点距离的平方和最小?（用向量法!而不是解析几何法）
设三角形顶点坐标A(x0，y0)，B(x1，y1)，C(x2，y2)。
平面上任意点P(x，y)。
则P于三顶点距离平方和为：
S＝(x-x0)^2+(y-y0)^2+(x-x1)^2+(y-y1)^2+(x-x2)^2+(y-y2)^2。
=[(x-x0)^2+(x-x1)^2+(x-x2)^2]。
+[(y-y0)^2+(y-y1)^2+(y-y2)^2]。
=[3*x^2-2(x0+x1+x2)*x+x0^2+x1^2+x2^2]。
+[3*y^2-2(y0+y1+y2)*y+y0^2+y1^2+y2^2]。
注意到中括号中的内容为平方和恒大于0。因此当两个中括号中的内容都取得最小值时，S才能取得最小值。
2021年10月8日，为防止未成年人沉迷网络游戏，维护未成年人合法权益，文化和旅游部印发通知，部署各地文化市场综合执法机构进一步加强网络游戏市场执法监管。据悉，文化和旅游部要求各地文化市场综合执法机构会同行业管理部门。
重点针对时段时长限制、实名注册和登录等防止未成年人沉迷网络游戏管理措施落实情况，加大辖区内网络游戏企业的执法检查频次和力度；加强网络巡查，严查擅自上网出版的网络游戏；加强互联网上网服务营业场所、游艺娱乐场所等相关文化市场领域执法监管，防止未成年人违规进入营业场所。
用向量方法证明三角形的余弦定理
证明：令三角形ABC的三个角分别为∠A、∠B、∠C，其中∠A对应的边长为a，∠B对应的边长为b，∠C对应的边长为c。那么在三角形ABC中，向量BC=向量AC-向量AB，且|AB|=c，|AC|=b，|BC|=a 则BC·BC=(AC-AB)·(AC-AB)，那么|BC|^2=|AC|^2+|AB |^2-2AC·AB，又因为AC·AB=|AC|...
向量法研究三角形性质
3、判断三角形是否共线：如果三个向量共线，则它们的行列式为0，因此可以通过计算三个向量的行列式是否为0来判断三角形是否共线。4、计算三角形面积：可以使用向量的叉积来计算三角形的面积，具体方法是将两个向量的叉积除以2即可得到三角形的面积。总之，向量法是一种非常有用的数学工具，可以用来研究...
用向量的方法怎样证明三角形正弦定理?
步骤1 记向量i ,使i垂直于AC于C,△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c ∴a+b+c=0 则i（a+b+c）=i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0 接着得到正弦定理 其他 步骤2.在锐角△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c.作CH⊥AB垂足为点H CH=a·sinB...
三角形内心的向量表示是怎么证明的
简单分析一下，答案如图所示
如何用向量方法证明三角形三条角平线交于一点
证明：设AD与BE交于点P，则要证CF过点P,也就是要证CP平分∠C，用向量知识分析，即要证存在λ，使得向量CP=λ(向量CA\/|CA|+向量CB\/|CB|)为简便起见，设|AB|=c,|BC|=a,|CA|=b.∵AP平分∠A,BP平分∠B ∴存在λ1,λ2,使得 向量AP=λ1(向量AB\/c+向量AC\/b),向量BP=λ2(向量BA\/...
用向量法证明P是三角形ABC重心的充要条件是向量Pa+向量PB+向量PC=向 ...
回答：设BC中点为M∵PA+PB+PC=0∴PA+2PM=0∴PA=2MP∴P为三角形ABC的重心。上来步步可逆、∴P是三角形ABC重心的充要条件是PA+PB+PC=0
如何用向量法证三角形的余弦定理?
设 在三角形abc中,a向量=b向量-c向量,所以a的平方=b的平方+c的平方-2bc的向量。 因为cos=bc的向量\/bc向量的模,结合两式即可的证
用向量方法证明三角形三条中线共点
由图可知，AD、BE、CF是△ABC的三条中线，用向量法求证：AD、BE、CF共点。证明如下：令BE、CF相交于O，且BO＝mOE、CO＝nOF，其中m、n为非零实数。则：向量BO＝m向量OE、向量CO＝n向量OF。∴向量BC＝向量OC－向量OB＝向量BO－向量CO＝m向量OE－n向量OF，向量FE＝向量OE－向量OF。显然有：...
三角形四心的向量表示
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，三边对应的向量分别为a、b、c，则三角形内心的向量表示为：I = (a|a| + b|b| + c|c|) \/ (|a| + |b| + |c|)其中，|a|表示向量a的模长。3. 重心：三角形重心是三角形三边中线的交点，它到三角形三点的距离相等。设三角形的三个顶点分别为...
如何用向量证明三角形形状
如果要证明三角形形状，一般这个三角形会具有特殊性，例如直角三角形，等腰，或等边等情况。。。直角的话，就利用两个向量相乘=0来证明。等腰，等边，就利用向量的模相等来证明。不知道你说的哪一种情况。
康毛新格：[答案] 方法1: 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),再设BC中点为D,我们知道,重心G是中线上的一个三等分点,所以AG=2 GD, D的坐标是((x2 + x3)/2,(y1 + y2)/2), 再设G(x,y),所以AG = (x - x1,y - y1),GD = ((x2 + x3)/2 - x,(y2 + y3)/2 - y),代入AG = 2...
永定县18294026898： 重心到三角形3个顶点距离平方的和最小.一定要用向量证法!求证明! - ？
康毛新格： 设 G 是三角形 ABC 的重心,P 是平面上任一点, 则 |PA|^2+|PB|^2+|PC|^2=|PG+GA|^2+|PG+GB|^2+|PG+GC|^2=3|PG|^2+(|GA|^2+|GB|^2+|GC|^2)+2(PG*GA+PG*GB+PG*GC)=3|PG|^2+(|GA|^2+|GB|^2+|GC|^2)+2PG*(GA+GB+GC)=3|PG|^2+(|...
永定县18294026898： 如何用向量的方法证明三角形的重心是三线合一的? - ？
康毛新格： 设 G1 是中线 AD 上一点,且 AG1=2/3*AD , 则由中线的向量表达式可得 OG1=OA+AG1=OA+2/3*AD=OA+2/3*1/2*(AB+AC)=OA+1/3*(OB-OA+OC-OA)=1/3*(OA+OB+OC) ,同理,若设 G2 是中线 BE 上一点,且 BG2=2/3*BE ,则可得 OG2=1/3*(OA+OB+OC) , 设 G3 是中线 CF 上一点,且 CG3=2/3*CF ,则可得 OG3=1/3*(OA+OB+OC) , 这说明 G1、G2、G3 重合 ,也就是三条中线交于一点. (顺便证明了:重心到顶点的距离等于到对边中点距离的 2 倍)
永定县18294026898： 重心到三角形3个顶点距离平方的和最小.一定要用向量证法!求证明!一定要用向量证法!求证明!不要解析几何法! - ？
康毛新格：[答案] 设 G 是三角形 ABC 的重心,P 是平面上任一点,则 |PA|^2+|PB|^2+|PC|^2=|PG+GA|^2+|PG+GB|^2+|PG+GC|^2=3|PG|^2+(|GA|^2+|GB|^2+|GC|^2)+2(PG*GA+PG*GB+PG*GC)=3|PG|^2+(|GA|^2+|GB|^2+|GC|^2)+2PG*(GA+GB+GC)=3|PG|^...
永定县18294026898： 求证三角形外心垂心重心三点共线,用向量证 - ？
康毛新格：[答案] 不妨设三角形的外接圆半径为1(如果不是1,就把定点坐标乘以半径).设3个顶点为 A(cosa,sina) B(cosb,sinb) C(cosc,sinc) 由重心坐标公式,三角形重心为 G( (cosa+cosb+cosc)/3 ,(sina+sinb+sinc)/3 ) 设 H'(cosa+cosb+c...
永定县18294026898： 向量法证明三角形重心与顶点连线的三个三角形的面积比 - ？
康毛新格： 设:△ABC,重心为G,作CD‖BG,BD‖CG,GD,BC相交于O, 则BDCG为平行四边形,BO=CO,GO=DO,向量GB+向量GC=向量GD=2向量GO 又∵向量GB+向量GC=-向量GA (∵G为重心) ∴向量GA=-2向量GO, ∴A,G,O三点共线, |AG|=2|GO| ∴S△AGC=2S△GOC, S△AGB=2S△GOB, 又S△GOC=S△GOB, ∴S△AGC=S△AGB=S△BGC ∴三角形重心与顶点连线的三个三角形的面积比=1:1:1
永定县18294026898： 三角形重心的性质证明 - ？
康毛新格： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1. 例:已知:△ABC,E、F是AB,AC的中点.EC、FB交于G. 求证:EG=1/2CG 证明:过E作EH∥BF交AC于H. ∵AE=BE,EH//BF ∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理) 又∵ ...
永定县18294026898： 证明三角形的重心与其三个顶点的连线的向量之和为零向量 - ？
康毛新格： 设,三顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) 则重心O[(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3] 向量OA=[x1-(x1+x2+x3)/3,y1-(y1+y2+y3)/3] 向量OB=[x2-(x1+x2+x3)/3,y2-(y1+y2+y3)/3] 向量OC=[x3-(x1+x2+x3)/3,y3-(y1+y2+y3)/3] 则,向量OA+向量OB+向量OC=[x1-(x1+x2+x3)/3,y1-(y1+y2+y3)/3]+[x2-(x1+x2+x3)/3,y2-(y1+y2+y3)/3]+[x3-(x1+x2+x3)/3,y3-(y1+y2+y3)/3]=(0,0) 即得证
永定县18294026898： 求证重心到三顶点的向量和为零 - ？
康毛新格： 让我来. 设 AM 是三角形 ABC 的中线 ,G 在 AM 上,且 AG=2GM , 则 M 为 BC 的中点,G 为三角形 ABC 的重心 , 因此 GA+GB+GC=GA+2GM=GA+AG=0 . 上面的证明用到两个结论:一是重心到顶点的距离等于到对边中点距离的 2 倍,二是中点的向量表达式:M 为 BC 的中点,则 GM=1/2*(GB+GC) .
永定县18294026898： 三角形重心是什么?怎样证明三点共面和共线,用空间向量又怎么证? - ？
康毛新格： 重心:在三角形中,三条中线交于一点,该点叫做这一三角形的重心.性质:三角形的重心把每一条中线分成两部分,这两部分之比为2:1,即重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的二倍.外心:三角形的三边的垂直平分线交于一点,该点叫做三角形的外心.也是三角形外接圆的圆心 .性质:三角形的外心到各顶点的距离相等.垂心:在一个三角形中,三条边上的高(或其延长线)交于一点,该点叫做这一三角形的垂心. 内心:三角形的三内角平分线交于一点,该点叫做三角形的内心.也是三角形内切圆的圆心.性质:内心到两边的距离相等. 旁心:三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.旁心就是三角形旁切圆的圆心.
