初中几何一道奥数难题(高分悬赏)
如图
作AH垂直于BC,AI//BE,EF垂直于BC,FG=BF,连EG。
设BC=3a,IH=b,AH=h,角ACH=2A,角ABH=A。
易证EF=AH=h,FG=BF=IH=b,BD=DI=IC=a
tan2A=h/(a-b),tanA=h/(2a+b),
将以上两式代入tan2A=2tanA/(1-tan^2(A))
可解得a、b、h的关系为h^2=3b(2a+b),变形为h^2+b^2=2b(3a+2b)
容易发现:EG^2=GF^2+EF^2=h^2+b^2,GB=2b,GC=3a+2b
于是EG^2=GB*GC,即GC/GE=GE/GB,由此可证三角形BGE与三角形EGC相似,可得
角ECB=角BEG=2角BEF=2(角EBC-90)
将上式整理即为结论。
x*3+2*x-3*2=(2x^2-3*3^2+3x-2*3)+(2*2^2-3x^2+3*2-2x)-(2*3^2-3*2^2+3*3-2*2)=-x^2+x-30
x*2-2(1*x)=(2x^2-3*2^2+3x-2*2 )-2(2*1^2-3x^2+3*1-2x)=8x^2+7x-26=38+7x
x=正负二倍根号2
证:1:对于线段AR,QC已定时,存在B、R、P三点共线,根据此三点共线条件知线段BR斜率等于BP斜率。
2:由此作出平面坐标系,以B点为原点,BC为X轴,与BC垂直的直线y(未画图)为y轴,设BC=AB=AC=2m,设 FQ=x,由此可导出Q、R、P三点坐标。
#思路##若导出x与m的关系,以及证明x是否与RD相等,即证出△RPQ是否为等边三角形###
3:明显Q纵坐标为 根号3倍m。横坐标x+(m/2),即Q(x+(m/2),根号3倍m)
延长QR交BD于S(下面回答有图,借用),则BS=2x(中位线定理)→SD=m-2x,根据△FQR相似于△DSR,过R分别向FQ,SD作高,两条高分别记作h1,h2,
则h1/h2=x/m-2x,可推知R纵坐标为h2=2分之根号3×m × (m-2x) /m-x=根号3倍m × (m-2x) /2(m-x),
设R对SD作高时交SD于K,则可求BK,即R横坐标。
∵KD=RD×COS60°,RD=m×(m-2x) /m-x,→KD=m×(m-2x) /2(m-x )→BK=m-KD
∴ R坐标{m-[m×(m-2x) /2(m-x )],根号3倍m × (m-2x) /2(m-x)
,}
同理分析:求出点P坐标,此时QE=m-x,过Q作BC垂线,交BC于T,前面求得BT=x+(m/2),
CT=BC-BT=(3m/2)-x,
求出PC,PC纵坐标为 2分之根号3×m × m/2m-x,横坐标为 BC-(CT×m/2m-x),
设P,R点 纵坐标 为Y,横坐标为X, 则 :
Yp/Xp=Yr/Xr......(1), 由(1) 推出 x与RD的关系,
重点:由上分析有:只需证明x=RD=m×(m-2x) /m-x , 即证明 FQ=RD,
若 △RPQ是等边三角形,也必然存在此关系。一旦 FQ=RD,由图形对称性质知转换X,Y轴,又可以证明RD=PE,从而证明△RPQ是等边三角形。反之,则不是。
为使证明计算简便,我令的m=2(正式的证明不建议这样做,不严密),由(1)推得x^2-6x+4=0.
而若x=RD=m×(m-2x) /m-x成立,(此处m也令作2),也刚好推出x^2-6x+4=0.
故 命题得证。
至于接下来的求比值,在知道小三角形形状后,不难求。底下也有参考。
你之前的方法算出的结果若自己觉得不怎么对,可以试试我的这种:令m=2求出s△ABC,然后求出x,即FQ,也就求出了FR,再求s△QFR,那就很简单。s△QFR=FR·FQ·sin60°,求出这个,内部的正三角形面积就简单了(此时已证明△RPQ是等边三角形)。
若有什么问题,或是什么疑惑,请尽管找我。
以D为原点,BC为X轴,DA为Y轴建立直角坐标系
为了书写方便,设DC长为1
则可知坐标A(0,根号3)B(-1,0)C(1,0)
EF:y=根号3 /2
DF:y=-根号3*x
DE:y=根号3*x
设如下直线
AR:y=k1x+根号3
BP:y=k2x+k2
CQ:y=k3x-k3
他们分别与EF,FD,DE联立解得
P(k3/(k3-根号3),根号3*k3/(k3-根号3))
Q(-根号3/(2*k1),根号3/2)
R(-k2/(k2+根号3),根号3*k2/(k2+根号3))
分别代入BP,CQ,AR,整理如下
根号3k3=2k2k3-根号3k2
根号3k1=-2k1k3-根号3k3
k1k2=3
联立求解得
k1=根号15+2根号3
k2=根号15-2根号3
k3=-根号15/5
所以
P((根号5-1)/4,(根号15-根号3)/4)
Q((2-根号5)/2,根号3/2)
R((根号5-3)/4,(3根号3-根号15)/4)
计算可知PQ,QR,PR相等,为根号(7-3根号5)
S△ABC:S△PQR=4/(7-3根号5)
13.7082
设EP=a,FQ=b,RD=c
不妨设a≥b≥c
调整b,变大为a(即FQ增加),将导致RD即c变小,进一步EP即a变大
但将△ABC逆时针旋转60°,即EP旋转到FQ的位置,此时FQ旋转到了RD的位置,即RD位置变成了b。
两种方法得到的RD位置长度不一样,故矛盾。
所以a=b=c
即FQ=RD=EP,那么FR=DP=EQ
而△EFD为等边三角形,可证△FQR,△DRP,△EPQ全等
所以QP=QR=PR,即△PRQ为等边△
有了这个,也可知P为ED的黄金分割点,Q为EF的黄金分割点,R为FD的黄金分割点
这样求面积比也容易了
已经做出来了,证明中间三角形是正三角形的完整过程如下图(由于一次只能贴一张图本题求解过程请你追问,我再贴一张上去)。
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