提醒：中考数学无图几何题不要漏解

~ 二、几何题方面

　　(一)无图的几何题不要漏解

　　近年中考试题中，有些几何题没有直接给出图形，由于受思维习惯的影响，没有周密地考虑题目所提供的条件，缺少对数学事实的准确理解，往往只考虑符合条件的常见的一种图形，从而造成漏解。这类题目重在考查同学们对基础知识的掌握与运用情况，这有利于培养严谨的逻辑思维能力。如果解题时考虑不严密，形成思维定式，就会漏解。因此考虑问题要全面，如：

　　1.两圆相切的位置关系包括两圆内切和外切。

　　2.两圆内切时，不知道两圆半径 r1、r2的大小，应考虑圆心d=｜r1-r2｜。

　　3.相交两圆的半径已知，公共弦长已知时，两圆圆心与公共弦有两种位置关系：(1)两圆心在公共弦的两旁；(2)两圆心在公共弦的同旁。

　　4.直角三角形的边，可能是直角边也可能是斜边。

　　例1.已知直角三角形的两边长分别为3、4，第三边长=_____

　　分析：一般学生习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5。但这一理解的前提是3、4为直角边。而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，但也可能为直角边。

　　解：(1)当两直角边为3和4时，第三边长为-＝-＝5；

　　(2)当斜边为4，一直角边为3时，第三边长为-＝-。

　　例2.直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于______

　　分析：8这条边既可看作直角边也可看作斜边，所以这个直角三角形的斜边有两种可能性分别为8或10，所以外接圆半径有两种可能性4或5。答：4或5

　　例3.矩形ABCD中，AB=5，BC=12，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围是

　　分析：对“相切”条件考虑不周，就出现漏解现象。

　　解：设圆C的半径为r'，则由题意得5

　　∴5<13-r<12，得1

　　当圆A与圆C内切时，r-r'=13

　　∴5

　　故r的取值范围是1

　　例4.过平面上的三点能画几条直线？

　　分析：由于思维定式的原因，画三点时通常把它们画在不同的直线上，忽视了三点在同一直线上的情形。

　　正确答案：过平面上的三点能画一条或三条直线

　　例5.在同一平面内，点P到⊙O的最长距离为8cm，最短距离为2cm，则⊙O的半径为_______

　　解：由于点P与⊙O的位置关系有如图两种可能

　　∵AB为⊙O的直径，PB＝2cm，P A＝8cm ∴OA＝OB＝-(PA-PB)＝3cm或OA＝OB＝-(PB+PA)＝5cm，所以⊙O的半径应为5cm或3cm。

　　例6.⊙O的直径为6cm，如果直线a上的一点C到点O的距离为3cm，则直线a与⊙O的位置关系是_____

　　解：题中只涉及点C到圆心的距离，并非是圆心到直线的距离，有如图2两种可能，所以直线a与⊙O的位置关系是相切或相交。

　　例7.⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，求AB与CD之间的距离。

　　分析：此题没有明确AB、CD与圆心的位置关系，由于AB、CD位置不确定，考虑圆心在两平行弦之间求解和圆心在两平行弦外的情况。

　　解：过点O作直线OE⊥AB ，垂足为E，交CD于点F，则OF⊥CD, AE＝AB＝3，连结OA、OC，在Rt△AOE中，OE＝-=-=4，同理可求得OF＝3

　　∴EF＝OE+OF＝7或4-3=1

　　所以AB与CD之间的距离为1cm或7cm

　　例8.⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，⊙O1的半径为10，⊙O2的半径为17，公共弦AB=16，求两圆的圆心距。

　　解：对两圆相交问题，同学们往往只考虑两圆的圆心在公共弦两侧的情况，即图(1)的情况，很容易遗漏图(2)的情况，所以正确答案是O1O2=21或O1O2=9。

　　例9.⊙O的半径为1cm，弦AB=-cm，AC=-cm，则∠BAC=___

　　解：由于弦AB和CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧，有如图两种可能。根据垂径定理及解直角三角形知识可求出∠CAO=45°和∠BAO=30°，从而可知∠BAC=15°或∠BAC=75°。

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