计算行列式
1.递推法
例1 求行列式的值：
（1）
的构造是：主对角线元全为；主对角线上方第一条次对角线的元全为，下方第一条次对角线的元全为1，其余元全为0；即为三对角线型。又右下角的（n）表示行列式为n阶。
解 把类似于，但为k阶的三对角线型行列式记为。
把（1）的行列式按第一列展开，有两项，一项是
另一项是
上面的行列式再按第一行展开，得乘一个n – 2 阶行列式，这个n – 2 阶行列式和原行列式的构造相同，于是有递推关系：
（2）
移项，提取公因子β：
类似地：
（递推计算）
直接计算
若；否则，除以后移项：
再一次用递推计算：
∴， 当β≠α （3）
当β = α，从
从而。
由（3）式，若。
∴
注 递推式（2）通常称为常系数齐次二阶线性差分方程.
注1 仿照例1的讨论，三对角线型的n阶行列式
（3）
和三对角线型行列式
（4）
有相同的递推关系式
（5）
（6）
注意
两个序列
和
的起始值相同，递推关系式（5）和（6）的构造也相同，故必有
由（4）式，的每一行都能提出一个因子a ，故等于乘一个n阶行列式，这一个行列式就是例1的。前面算出，故
例2 计算n阶范德蒙行列式行列式
解:
即n阶范德蒙行列式等于这n个数的所有可能的差的乘积
2．拆元法
例3：计算行列式
解
①×（x + a）
②×（x – a）
3．加边法
例4 计算行列式
分析：这个行列式的特点是除对角线外,各列元素分别相同.根据这一特点,可采用加边法.
解
4．数学归结法
例5 计算行列式
解：
猜测：
证明
（1）n = 1, 2, 3 时，命题成立。假设n≤k – 1 时命题成立,考察n=k的情形：
故命题对一切自然数n成立。
5.消去法求三对角线型行列式的值
例6 求n阶三对角线型行列式的值：
（1）
的构造是：主对角线元全为2，主对角线上方第一条次对角线与下方第一条次对角线的元全为1，其余的元全为0。
解 用消去法，把中主对角线下方第一条次对角线的元1全部消成0：首先从第二行减去第一行的倍，于是第二行变为
其次从第三行减去第二行（指新的第二行，以下同）的倍，则第三行变为
再从第四行减去第三行的倍，则第四行变为
类似地做下去，直到第n行减去第n – 1行的倍，则第n行变为
最后所得的行列式为
（2）
上面的行列式是三角型行列式，它的主对角线元顺次为
93）
又主对角线下方的元全为0。故的值等于（3）中各数的连乘积，即。
注3 一般的三对角线型行列式
（4）
也可以按上述消去法把次对角线元全部消去，得到一个三角型行列式，它的值等于该三角型行列式的主对角线元的连乘积。
6 乘以已知行列式
例7 求行列式的值：
称为循环行列式，各行自左到右均由循环排列而得，并使主对角线元全为
解 设1的立方根为，即
其中i是虚数单位，又
右乘以行列式
则
（1）
用，得
故（1）的行列式的第一列可由提出公因子，提后的元顺次为，类似地，（1）的行列式的第二列和第三列可提出公因子
和
于是
因互不相等，帮它们所构成的凡德蒙行列式的值不为零，可以从上式的左右两边约去，得
。
注4 在n阶的一般情形，设1的n次方根为
则得行列式的值为
这里的是由构成的n阶循环行列式：
7 利用线性代数方程组的解
例8 求n阶行列式的值：
（1）
的构造是：第i行的元顺次为
又第n行的元顺次为。
解 （1）的行列式与凡德蒙行列式
（2）
的比值可以看成线性代数方程组
（3）
的解。如能解出，乘以凡德蒙行列式（2），即是原行列式
但方程组（3）又可以看成n次多项式方程
（4）
（t是未知数，看作系数）有n个根
用根与系数的关系，即得
∴
8 递推方程组方法
例9 求行列式的值：
（1）
是n阶行列式（在右下角用（n）表示），其结构是：主对角线元全为x ；主对角线上方的元全为y , 下方的元全为z 。
解 从 （1）的行列式的第一列减第二列，第二列减第三列，…，第n – 1列减第n列，得
（2）
上面的行列式按第一行展开，有两项，一项是（x – y）乘一个n – 1阶行列式，这个n – 1阶行列式和（2）中的n阶行列式的构造相同，即上述展开的第一项可表示为；展开的另一项是
故递推式
（3）
若z = y，则上式化为
（4）
类似地有
又
故可对（4）式递推计算如下：
上面得到原行列式当z = y时的值。下面讨论z≠y的情形。
把（1）的行列式的y与z对调，这相当于原行列式的行与列互换，这样的做法，行列式的值不变。于是y和z对调后，的值不变，这时（3）式变为
（5）
从（3）与（5）（递推方程组）消去，即（3）式乘以（x – z），（5）乘以（x – y），相减得
∴
注5 当z = y时，行列式也可以用极限计算：
又行列式当z = y时可以用余式定理来做。
解: c1+c2+...+cn [所有列加到第1列]
n(n+1)/2 2 3 ... n-1 n
n(n+1)/2 3 4 ... n 1
n(n+1)/2 4 5 ... 1 2
... ...
n(n+1)/2 n 1 ... n-3 n-2
n(n+1)/2 1 2 ... n-2 n-1
第1列提出公因子 n(n+1)/2, 然后
ri-r(i-1), i=n,n-1,...,2 [从最后一行开始,每一行减上一行]
1 2 3 ... n-1 n
0 1 1 ... 1 1-n
0 1 1 ... 1-n 1
... ...
0 1 1-n ... 1 1
0 1-n 1 ... 1 1
按第1列展开
1 1 ... 1 1-n
1 1 ... 1-n 1
... ...
1 1-n ... 1 1
1-n 1 ... 1 1
c1+c2+...+cn-1 [所有列加到第1列]
-1 1 ... 1 1-n
-1 1 ... 1-n 1
... ...
-1 1-n ... 1 1
-1 1 ... 1 1
ci+c1, i=2,3,...,n-1
-1 0 ... 0 -n
-1 0 ...-n 0
... ...
-1 -n ... 0 0
-1 0 ... 0 0
行列式 = n(n+1)/2 * (-1)^[(n-2)(n-1)/2]*(-1)^(n-1)*n^(n-2)
= (-1)^[n(n-1)/2]*[n^n+n^(n-1)]/2.
行列式的计算公式是什么?
行列式A= i j k a b c d e f 行列式B= 1 1 1 a b c d e f
行列式计算公式是什么?
行列式计算公式是：D=A＝detA=det（aij）。行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或| A |。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。性质：1、行列式A中某行（或列）用同...
行列式计算方法
行列式的计算方法：就是右斜的乘积之和减去左斜乘积之和其结果就是要求的结果。也可以利用行列式定义直接计算，利用行列式的七大性质计算，化为三角形行列式；若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。行列式运算法则：1、三角形行列式的值，等于对角线元素的乘积。计算...
行列式有什么计算方法呢
四、利用范德蒙行列式 根据行列式的特点，适当变形、利用行列式的性质，如：提取公因式；互换两行或列；一行乘以适当的数加到另一行或列去；把所求行列式化成已知的或简单的形式。其中范德蒙行列式就是一种。这种变形法是计算行列式最常用的方法。五、数学归纳法 当与是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法...
如何计算行列式?
1、利用行列式定义直接计算： 行列式是由排成n阶方阵形式的n个数aij(i,j=1,2,...,n)确定的一个数，其值为n项之和。2、化为三角形行列式计算： 若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。 化三角形法是将原...
什么是行列式?如何计算?
行列式的定义计算方法是由排成n阶方阵形式的n²个数aij（i，j=1，2，...n）确定的一个数，其值为n项之和，利用行列式的性质计算。行列式依列展开是计算行列式的一种方法，设a1j，a2j，…，anj (1≤j≤n)为n阶行列式D=|aij|的任意一列中的元素。而A1j，A2j，…，Anj分别为它们在...
行列式如何计算?
根据行列式的性质可以如下计算：基本方法是加到同一行或同一列，之后提取出来，再利用降阶或者是性质计算。各列加到第一列上，再把第一行乘-1加到各行上，就化成了上三角行列式。
行列式的值怎么计算
第一行为主元，(行列式中，把某一行的所有对应元素乘以某一个数加到另一行上面去，行列式值不变)然后把第一列化成0同理。可以把左下角的数字全部化成0.。比如1-1020-1-12-12-102110-》1-1020-1-1201-12031-4-》1-1020-1-1200-2400-22-》1-1020-1-1200-24000-2然后变成三角形行列式，直接...
行列式是怎样计算的?
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论。行列式计算注意：行列式的展开性质因为行列式就是计算不同行不同列的项的乘积并有反对称的性质，所以这种线性的展开是可以的。行列式初等变换是最基本的，还有逐行相加凑零元...
行列式的计算技巧
1、直接计算——对角线法。标准方法是在已给行列式的右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式的左上角到右下角的对角线称为主对角线，把右上角到左下角的对角线称为次对角线。这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的对角线上的三个数的积的和减去次对角线...
尉迟审华素： 对于较低阶的行列式 ,其计算一般采用下面的几种方法 :(1)按行 (或列 )展开 (可按 1行或几行 )将高阶行列式化为若干个低阶行列式来计算 ;(2 )三角化法 :利用行列式的性质 ,对行 (或列 )施行消法变换 ,换法变换可将原行列式主对角线一侧的元素化为零 (即上三角形或下三角形 ) .这时主对角线上元素的乘积即为原行列式的值 ;(3)按行列式的性质及按行 (或列 )展开成 1块用来计算行列式的值 .而对于n阶行列式来说 ,由于其题型变化较多 ,因此除使用以上 3种方法外 ,还要依据行列式元素间的规律来计算
农安县17199947826： 计算行列式D=? - ？
尉迟审华素：[答案] 如果没有算错的话是160
农安县17199947826： 行列式怎么计算的 - ？
尉迟审华素： 1*4*9+3*6*8+5*2*4-1*6*4-3*2*9-5*4*8=-18 3条主对角线上的数乘积之和减去3条副对角线上的数的乘积之和,此方法只适用于3阶和2阶行列式计算,通用的方法是按行或按列展开逐次降阶计算,最好是变换后再计算
农安县17199947826： 行列式怎么计算 - ？
尉迟审华素： 第1行的-1倍加到第2、3、4行: 1 1 1 1 0 1 2 3 0 2 5 9 0 3 9 19 第2行的-2、-3倍加到第3、4行: 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 1 3 0 0 3 10 第3行的-3倍加到第4行: 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 1 3 0 0 0 1 ∴ 行列式的值=1.
农安县17199947826： 行列式是如何计算的? - ？
尉迟审华素： 1、利用行列式定义直接计算: 行列式是由排成n阶方阵形式的n²个数aij(i,j=1,2,...,n)确定的一个数,其值为n!项之和. 2、利用行列式的性质计算: 3、化为三角形行列式计算: 若能把一个行列式经过适当变换化为三角形,其结果为行列...
农安县17199947826： 行列式的计算 - ？
尉迟审华素： (1)这是一个普通4阶的行列式,计算这种行列式常用的方法就是:初等变换法,边把某行(列)划成只有一个非零元素,边按该行(列)展开;c4+c2(第4列加第2列)r1-5r2(第1行减5倍的第2行)展开得 -7 1 39 (-1)1 -1 2 -2 3 -2 r1+r2 ,r3+3r2,得65 (2)还有一些特殊行列式,即n阶行列式,计算方法就灵活去了.
农安县17199947826： 计算行列式 1+x 1 1 1,1 1+x 1 1,1 1 1+x 1,1 1 1 1+x - ？
尉迟审华素：[答案] 若y=0, 行列式1,2行相等, 此时行列式 = 0当y≠0时r2-r1,r3-r1,r4-r11+x 1 1 1 -x x 0 0 -x 0 y 0 -x 0 0 yc1+c2+(x/y)c3+(x/y)c42+x+2x/y 1 1 1 0 x 0 0 0 0 y 0 0 0 0 y行列式 = x*y*y*(2+x+2x/y) = x^2y^2 + 2x^2y + 2xy^2可见, 当y=0时, 上式=0.故行列式 = x^2y^...
农安县17199947826： 怎样用递推法计算行列式 - ？
尉迟审华素：[答案] 使用递推法计算行列式,一般分三个步骤,首先找出递推关系式,然后算出结果,最后用数学归纳法证明结果正确.
农安县17199947826： 行列式的计算方法有哪些 - ？
尉迟审华素： 1、行列式的定义2、按照行列式的性质把行列式化为上(下)三角形行列式3、按行(列)展开法则4、数学归纳法5、递推
农安县17199947826： 如何计算3行4列的行列式 - ？
尉迟审华素：[答案] 无法计算 行列式都是行维数和列维数相等的 矩阵行维和列维可以不等,但不能计算,不表示一个数,而只是一组有联系的数的一个表示方法,矩阵和矩阵,矩阵和向量的计算有一定的规则
