若函数f(x)是以T为周期的连续函数,试证:(1)∫(a,a+T)f(x)dx=∫(0,T)f(x)dx=∫(-T/2,T/2） f(x)dx

设f(x)是以T为周期的连续函数，证明:∫(a为下限，a+T为上限）f（x）dx=∫f（x）dx~

证明过程如下：
证明：∫(a～a+T） f(x)dx＝∫(0～T) f(x)dx
∫(a～a+T）f(x)dx＝∫(a～0）f(x)dx ＋ ∫(0～T）f(x)dx ＋ ∫(T～a+T）f(x)dx
对∫(T～a+T）f(x)dx，令x＝t＋T，则∫(T～a+T）f(x)dx＝∫(0～a）f(t+T)dt＝∫(0～a）f(t)dt
所以，∫(a～a+T）f(x)dx
＝∫(a～0）f(x)dx ＋ ∫(0～T）f(x)dx ＋ ∫(T～a+T）f(x)dx
＝∫(a～0）f(x)dx ＋ ∫(0～T）f(x)dx ＋ ∫(0～a）f(x)dx
＝∫(0～T）f(x)dx
扩展资料证明函数极限的方法：
利用函数连续性，直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0。
当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，因式分解，通过约分使分母不会为零。若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。
如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）
采用洛必达法则求极限，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。符合形式的分式的极限等于分式的分子分母同时求导。

这个式子是对的，由于f(x)是以T为周期，因此在一个周期内函数所围的曲边梯形面积肯定是相同的所以你得出这个结论并不奇怪，只是这样可能证不出结论。

本题如果用换元法，应该这样证明
∫[a→a+T] f(x)dx
=∫[a→0] f(x)dx + ∫[0→T] f(x)dx + ∫[T→a+T] f(x)dx
然后通过换元证明第一项和第三项正好抵消。

下面提供一个更简单的证法：
将a看作变量，令g(a)=∫[a→a+T] f(x)dx
则：g'(a)=f(a+T)-f(a)=0，因此g(a)与a无关，则g(a)=g(0)
即∫(a→a+T)f(x)dx=∫(0→T）f(x）dx

【数学之美】团队为你解答。

1，∫(0,T)f(x)dx=T/n(f(T/n)+f(2T/n).................f(nT/n))当n趋向于无穷的的极限
∫(a,a+T)f(x)dx=T/n(f(a+T/n)+f(a+2T/n)................f(a+nT/n))当n趋向于无穷的的极限
下面对第二个化简
因为周期是T所以f(a+kT/n)=f(kT/n)
所以T/n(f(a+T/n)+f(a+2T/n)................f(a+nT/n))=T/n(f(T/n)+f(2T/n).................f(nT/n))
所以)∫(a,a+T)f(x)dx=∫(0,T)f(x)dx，代入a=-T/2
可得∫(0,T)f(x)dx=∫(-T/2,T/2）f(x)dx
所以的证原命题

2，就是求∫(-T/2,T/2）f(x)dx根据区间可拆分性质
∫(-T/2,T)f(x)dx=
∫(0,T/2)f(x)dx+∫(-T/2,0)f(x)dx，分别用上面的式子展开
再利用奇函数f(x)=-f(-x)的性质
相加之后便可得到结果

希望有所帮助

(1)∫(a,a+T)f(x)dx=∫(0,T)f(x)dx=∫(-T/2,T/2） f(x)dx
对于上式，先证明左侧等式 ∫(a,a+T)f(x)dx=∫(0,T)f(x)dx
令 F(x) = ∫(a,a+T)f(x)dx - ∫(0,T)f(x)dx
= [∫(a,T)f(x)dx + ∫(T,a+T)f(x)dx] - [∫(0,a)f(x)dx +∫(a,T)f(x)dx]
= ∫(T,a+T)f(x)dx - ∫(0,a)f(x)dx
= ∫(0,a)f(y+T)dy [令y=x-T ] - ∫(0,a)f(x)dx
= ∫(0,a)f(x+T)dx [仅替换变量字母不改变原式 ] - ∫(0,a)f(x)dx
= ∫(0,a)[f(x+T) - f(x)] dx
因为 函数f(x)是以T为周期的连续函数，所以 f(x+T) = f(x)，所以f(x+T) - f(x)=0
所以 ∫(0,a)[f(x+T) - f(x)] dx =0，也即 F(x) = ∫(a,a+T)f(x)dx - ∫(0,T)f(x)dx = 0
由此得证 ∫(a,a+T)f(x)dx = ∫(0,T)f(x)dx

再次证明等式右边 ∫(0,T)f(x)dx=∫(-T/2,T/2) f(x)dx
∫(-T/2,T/2) f(x)dx =∫(0,T)f(x)dx
将上面证明中的a替换成 -T/2，证明方法一模一样。

（2）、利用第（1）题中得等式 ∫(0,T)f(x)dx=∫(-T/2,T/2) f(x)dx
对于 ∫(-T/2,T/2) f(x)dx，被积函数f(x)是奇函数，且积分区间是关于y轴对称，有定积分的对称性原理可知：∫(-T/2,T/2) f(x)dx = 0
因此 ∫(0,T)f(x)dx = 0

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清水县17739602947： 设f(x)是以T为周期的连续函数,证明:∫(a为下限,a+T为上限)f(x)dx=∫f(x)dx (上限是T,下限是0) - ？
饶厘升白：[答案] 设F(a)=:∫(a为下限,a+T为上限)f(x) 则F'(a) = f(a+T)-f(a) =f(a)-f(a)=0 这说明F(a)=∫(a为下限,a+T为上限)f(x) 是一个常数函数 所以F(a)=F(0)=∫f(x)dx (上限是T,下限是0)

清水县17739602947： 设f(x)是以T为周期的连续函数,∫(下限a,上限x)f(t)dt以T为周期,求∫(下限0,上限T)f(x)dx=? - ？
饶厘升白：[答案] 设f(x)的原函数是F(x),∫(下限a,上限x)f(t)dt=F(x)-F(a)=F(x+T)-F(a) F(x+T)=F(x),F(T)=F(0) ∫(下限0,上限T)f(x)dx=F(T)-F(0)=0

清水县17739602947： 设f(x)是以T为周期的连续函数,即f(x+T)=f(x),则,对于任意a,有∫(a,a+T)f(x)d(x)=∫(T,0)f(x)d(x),如何证明啊, - ？
饶厘升白：[答案] ∫(a,a+T)f(x)d(x)=∫(a,0)f(x)d(x)+∫(0,T)f(x)d(x)+∫(T,a+T)f(x)d(x)上式右边最后一个积分中,令x=T+t,有∫(T,a+T)f(x)d(x)=∫(0,a)f(T+t)d(t)=∫(0,a)f(t)d(t)=-∫(a,0)f(x)d(x)代入得证...

清水县17739602947： 设f(x)是以T为周期的连续函数,证明F(x)=(x0→x)∫f(t)dt或是以T为周期的周期函数 - ？
饶厘升白： 因为f(x)是以T为周期的奇连续函数,所以f(x)=f(x+T)=f(x-T):,设g(x)=∫[a→x]f(t)dt,g(x+T)=∫[a→x+T]f(t)dt,设t=u+T所以g(x+T)=S[a-T,x]f(u)du=S[a-T,a]f(u)du+S[a,x]f(u)du,因为f(x)是以T为周期的周期函数,所以S[a-T,a]f(u)du=0,所以g(x+T)=S[a,x]f(u)du=g(x),所以 ∫[a→x]f(t)dt是以T为周期的周期函数.

清水县17739602947： 设f(x)是以T为周期的连续函数,证明:∫(a为下限,a+T为上限)f(x)dx=∫f(x)dx - ？
饶厘升白： 证明过程如下: 证明:∫(a~a+T) f(x)dx=∫(0~T) f(x)dx ∫(a~a+T)f(x)dx=∫(a~0)f(x)dx + ∫(0~T)f(x)dx + ∫(T~a+T)f(x)dx 对∫(T~a+T)f(x)dx,令x=t+T,则∫(T~a+T)f(x)dx=∫(0~a)f(t+T)dt=∫(0~a)f(t)dt 所以,∫(a~a+T)f(x)dx =∫(a~0)f(x)dx + ∫(0~T)f(x)dx + ∫(T~a+T)f...

清水县17739602947： 微积分第一章习题1、设f(x)是以T为周期的函数,则函数f(x)+f(2x)+f(3x)+f(4x)的周期是多少?2、设f(x)=sin2x+tan0.5x,则f(x)的周期是多少? - ？
饶厘升白：[答案] f(x)周期为T,f(2x)周期为T/2,f(3x)为T/3,f(4x)为T/4 所以它们之和的函数周期为T(它是上面所有周期的整数倍,类似于最小公倍数) sin2x周期为π,tan0.5x周期为2π 所以周期为2π

清水县17739602947： 设f(x)是以T为周期的连续函数,证明:∫(a为下限,a+T为上限)f(x)dx=∫f(x)dx - ？
饶厘升白： 证明:∫(a~a+T) f(x)dx=∫(0~T) f(x)dx∫(a~a+T)f(x)dx=∫(a~0)f(x)dx + ∫(0~T)f(x)dx + ∫(T~a+T)f(x)dx对∫(T~a+T)f(x)dx,令x=t+T,则∫(T~a+T)f(x)dx=∫(0~a)f(t+T)dt=∫(0~a)f(t)dt所以,∫(a~a+T)f(x)dx=∫(a~0)f(x)dx + ∫(0~T)f(x)dx + ∫(T~a+T)f(x)dx=∫(a~0)f(x)dx + ∫(0~T)f(x)dx + ∫(0~a)f(x)dx=∫(0~T)f(x)dx

清水县17739602947： 一个函数若为周期函数,其周期为T,那么这个函数的导函数是否为周期函数?若是,则周期为多少? - ？
饶厘升白：[答案] 应该是,证明如下: 设f(x)是一个以T为周期的函数,则有: f(x)=f(x+T) 两边同时求导,则有 f'(x)=f'(x+T) 可知f(x)的导函数仍然是周期函数. 当然,函数能求导则必然连续,如果不连续当然不成立.

清水县17739602947： 请高手帮我看看这个微积分证明题如果f(x)是以T 为周期的函数,证明定积分f(x)dx(积分上限是a+T 积分下限是a)的值与a无关! - ？
饶厘升白：[答案] 根据积分的可加性∫f(x)dx(积分上限是a+T 积分下限是a)=∫f(x)dx(积分上限是T 积分下限是0)+∫f(x)dx(积分上限是a+T 积分下限是T)-∫f(x)dx(积分上限是a 积分下限是0)而因为f(x)是以T 为周期的函数所以∫f(x)d...

清水县17739602947： 以T为周期的连续函数f(x)证明:∫(a+T,a)f(x)dx=∫(T,0)f(x)dx, - ？
饶厘升白： 这个式子是对的,由于f(x)是以T为周期,因此在一个周期内函数所围的曲边梯形面积肯定是相同的所以你得出这个结论并不奇怪,只是这样可能证不出结论.本题如果用换元法,应该这样证明 ∫[a→a+T] f(x)dx=∫[a→0] f(x)dx + ∫[0→T] f(x)dx + ∫[T→a+T] f(x)dx 然后通过换元证明第一项和第三项正好抵消.下面提供一个更简单的证法:将a看作变量,令g(a)=∫[a→a+T] f(x)dx 则:g'(a)=f(a+T)-f(a)=0,因此g(a)与a无关,则g(a)=g(0) 即∫(a→a+T)f(x)dx=∫(0→T)f(x)dx 【数学之美】团队为你解答.