如何确定连续函数在x=0处是否可导？

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看各分段函数的函数式是不是连续（这就是一般的初等函数是否连续的做法） 然后看分段函数的分段点，左右极限是否相等并等于函数值。 分段点处的左极限用左边的函数式做， 分段点处的右极限用右边的函数式做。

通需判断段点左边及右边函数值否相等且等于该点函数值即：

比如：

x>=0，f(x)=x^2 1。

x<0，f(x)=sinx。

x=0 ，(即0点右边)，f(0 )=0 1=1。

x=0-，(即0点左边)，f(0-)=sin0=0。

两者等所x=0处连续。

也可以用导数极限进行判断。导数极限定理: 设函数f(x)在点a的某邻域U(a)内连续，在U(a)的空心邻域内可导，且当x--->a时,导函数的极限存在，那么：f(x)在点a处可导，且等于[x-->a时，f(x)的导函数的极限]。

扩展资料：

连续函数的性质定理：

闭区间上的连续函数具有一些重要的性质，是数学分析的基础，也是实数理论在函数中的直接体现。下面的性质都基于f(x)是[a,b]上的连续函数得出的结论。

1、有界性

闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。

所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。

)在[a,b]上有界 [1]  。

2、最值性

闭区间上的连续函数在该区间上一定能取得最大值和最小值。

所谓最大值是指，[a,b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值。最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反向即可。

证明：利用确界原理：非空有上（下）界的点集必有上（下）确界。

由于已经证明了f(x)在[a,b]上有界，因此由确界原理可知，f(x)的值域f([a,b])必有上确界和下确界。

3、介值性

若f(a)=A，f(b)=B，且A≠B。则对A、B之间的任意实数C，在开区间(a,b)上至少有一点c，使f(c)=C。

这个性质又被称作介值定理，其包含了两种特殊情况：

（1）零点定理。

也就是当f(x)在两端点处的函数值A、B异号时（此时有0在A和B之间），在开区间(a,b)上必存在至少一点ξ，使f(ξ)=0。

（2）闭区间上的连续函数在该区间上必定取得最大值和最小值之间的一切数值。

也就是设f(x)在[a,b]上的最大值、最小值分别为M、m（M≠m），并且f(x1)=M，f(x2)=m，x1、x2∈[a,b]。在闭区间[x1,x2]或[x2,x1]上使用介值定理即可。

证明：零点定理可以利用闭区间套定理：如果{[an,bn]}是一个闭区间套，那么存在唯一实数ξ属于所有的闭区间。详细证法参考相应词条。

介值定理可以构造辅助函数来证明。

令g(x)=f(x)-C，其中C是A和B之间的任一实数，则g(x)在[a,b]上连续。

不妨设A<C<B，则g(a)=f(a)-C=A-C<0，g(b)=f(b)-C=B-C>0，即g(x)在两端点处的函数值异号。根据零点定理，在开区间(a,b)上至少存在一点c，使g(c)=f(c)-C=0。∴f(c)=C，c∈(a,b)。

对于B<C<A的情况有完全相同的证法。

4、一致连续性

闭区间上的连续函数在该区间上一致连续。

所谓一致连续是指，对任意ε>0（无论其多么小），总存在正数δ，当区间I上任意两个数x1、x2满足|x1-x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就称f(x)在I上是一致连续的。

证明：利用有限覆盖定理：如果H是闭区间[a,b]的一个无限开覆盖，那么能从H中选择有限个开区间来覆盖[a,b]。

参考资料来源：百度百科-连续函数

参考资料来源：百度百科-分段函数

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那坡县19332075574： 判断函数在x=0处的连续性和可导性! - ？
彤肩迪凡： 连不连续就看极限和函数值关系.x趋近于0,xsin(1/x)会趋近于0的,因为-1≤sin(1/x)≤1,所以x>0时0≤xsin(1/x)≤x,x、0在x趋近于0+的时候都是0,由夹逼原理可知x→0+时xsin(1/x)极限是0.完全类似可以证x<0的时候极限x→0-也是0.所以在0这一点x左右极限相等,均等于函数值0,所以连续. 看可不可导就列出定义式.f'(0)=[f(△x+0)-f(0)]/[△x-0](△x→0)=sin(1/△x)(△x→0) 显然(△x→0)时候sin(1/△x)值不定,可以在[-1,1]之间震荡,越来越快,所以没有极限,也就是导数不存在,这一点不可导.

那坡县19332075574： 如何证明函数在x=0处的可导性与连续性 - ？
彤肩迪凡： 1. 首先求出x在0出的左极限与右极限; 2. 若左极限或右极限不存在,则函数在零处既不连续也不可导; 3. 若左极限和右极限都存在,但左右极限其中一个不等于该点函数值时,函数在零处既不连续也不可导; 4. 若左右极限相等且等于该点函数值时,则函数在零处连续,此时求出函数在零处的左右导数; 5. 当左右导数不相等时,则函数在零处不可导,此时函数在零处连续但不可导; 6. 当左右导数相等时,则函数在零处可导,此时函数在零处即连续也可导.7. 拓展资料:函数连续性与可导性的关系: (1)连续的函数不一定可导.; (2)可导的函数一定是连续的函数; (3)越是高阶可导函数曲线越是光滑; (4)存在处处连续但处处不可导的函数.

那坡县19332075574： 已知函数 ,利用定义讨论函数在 x = 0处是否连续?是否可导? - ？
彤肩迪凡：[答案] 答案: 解析: ∵ ,, ∵ f(0)=0 ∴ 函数f(x)在x=0处连续的. ,又,由于左、右两个极限值相等, ∴ 函数f(x)在x=0处可导的.

那坡县19332075574： 请问如何证明函数在某点是否可导?？
彤肩迪凡： 首先判断函数在这个点x0是否有定义,即f(x0)是否存在;其次判断f(x0)是否连续,即f(x0-), f(x0+), f(x0)三者是否相等;再次判断函数在x0的左右导数是否存在且相等,即f'(x0-)=f'(x0+),只有以上都满足了,则函数在x0处才可导.函数可导的条件...

那坡县19332075574： 求证明函数在X=0的连续性与可导性 - ？
彤肩迪凡： 第一个 x→0时 lim |sinx|=0=|sin0| 所以在0点连续 x→0+时 lim |sinx|/x=lim sinx/x=1 x→0-时 lim -sinx/x= -lim sinx/x= -1 左右导数不等,所以在0点不可导 lim (x^2sin 1/x-0)/(x-0)= lim (x^2sin 1/x)/x =lim x sin 1/x =0 之所以为0,是因为是无穷小量乘有界量 所以在0点可导,当然也连续

那坡县19332075574： 讨论函数在x=0处的连续性和可导性 - ？
彤肩迪凡： 如图利用连续和可导的定义可说明f(x)在x=0处连续可导且导数为0,其中要用到一个性质:无穷小量乘有界量是无穷小量.

那坡县19332075574： 讨论函数在x=0处的连续性与可导性,如图 - ？
彤肩迪凡： 首先,由于 故 f(x)在x=0处连续;其次,再由 从而,f(x) 在x=0处可导,且导数为0.

那坡县19332075574： 如何判断一个函数在某点可导不可导?？
彤肩迪凡： 没有具体的公式,对一般的函数而言,在某一点出不可导有两种情况.1,函数图象在这一点的倾斜角是90度.2,该函数是分段函数,在这一点处左导数不等于右导数.就这个例子而言 f(x)=x的绝对值,但当x<0时,f(x)的导数等于-1,当x>0是,f(x)的导数等于1.不相等,所以在x=0处不可导.

那坡县19332075574： 判断函数y=|sinx|在x=0处的连续性和可导性. - ？
彤肩迪凡：[答案] ∵y=sinx在x=0处连续, ∴y=|sinx|在x=0处也连续; ∵ lim x→0+ |sinx| x=cos0=1, lim x→0− |sinx| x=-cos0=-1, ∴y=|sinx|在x=0处不可导.

那坡县19332075574： 高数.若函数f(x)在点X=0处连续,且其极限f(x)/x存在,试问函数f(x)在点X=0处是否可导 - ？
彤肩迪凡：[答案] 这个题有点学问的. 应该是可导的. 证明: (1)首先f(x)在点X=0处连续,连续是可导的必要条件,因此我们可以继续往下讨论. (2)题目告诉我们lim{x-->0} f(x)/x存在.但是没有告诉我们f(0)是多少.如果诉我们f(0)=0的话,那就是lim{x-->0} [f(x)-f(0)]/[x...