数学分析（11）第九章 数项级数

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数学分析（11）：揭秘数项级数的奥秘
在数学分析的世界中，数项级数是一道迷人的风景线，它像一座桥梁，连接着无穷序列与实数的奇妙世界。让我们一同探索这个领域中的关键概念和判别方法，以陈纪修的《数学分析》为指南，揭开数项级数的神秘面纱。（p）

1. 数项级数的基石

数项级数，就是那列无穷实数的总和，它涵盖了两个重要的分支：正项级数与一般项级数。收敛性是衡量级数是否稳定的试金石，我们有比较法、Cauchy准则、D'Alembert判别法、Raabe准则和积分法等工具来检验其稳定性。（p）

2. 判定的准则

级数的收敛性并非空中楼阁，部分和数列的收敛性至一有限数值是基础。对于非负级数，上界的存在是其收敛的关键。而对于正项级数，部分和有界的性质更是决定其收敛性的核心。（p）

3. 正项级数的探索

正项级数有其独特的魅力，比较法如同一把锐利的尺子，而Abel和Dirichlet判别法则揭示了单调性和有界性的力量。它们在级数的世界中，犹如灯塔，照亮了探索的路径。（p）

4. 收敛性的深入理解

级数收敛的定义，以及收敛的必要与充分条件，为我们揭示了数列变化的规律。极限运算的性质，如同数学的魔法，使我们能够更深入地理解收敛的实质。（p）

5. Leibniz级数的瑰宝

作为特殊级数的代表，Leibniz级数以其恒定的收敛性，如同一颗璀璨的明珠，闪烁着数学的魅力。（p）

6. 绝对收敛与条件收敛的区分

级数的绝对收敛与条件收敛，就像加法的两种不同诠释，它们之间的关系，如同数学逻辑中的辩证法，既独立又紧密。（p）

7. 无穷乘积与级数的交融

无穷乘积与级数的交汇点，展现了一个全新的视角，绝对收敛的保证，交换律的微妙，都在其中交织出美妙的数学旋律。（p）

通过Cauchy的直观定义、Leibniz判别的交错级数应用，以及Abel和Dirichlet法则的洞察力，我们一步步深入理解了数项级数的丰富内涵。（p）
让我们继续在数学的海洋中航行，探寻更多关于数项级数的秘密，感受这个领域无尽的美丽与深邃。（p）

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临渭区18321716848： 数项级数是什么?？
弥闵血必： 在数学分析中,级数那里

临渭区18321716848： 函数项级数在数学分析中的地位与作用 - ？
弥闵血必： 级数 series 将数列un的项 u1,u2,…,un,…依次用加号连接起来的函数.数项级数的简称.如:u1+u2+…+un+…,简写为un称为级数的通项,记称之为级数的部分和.如果当m→∞时 ,数列Sm有极限S,则说级数收敛,并以S为其和,记为否则就...

临渭区18321716848： 数项级数？
弥闵血必： ∑(n=1,∞) (1/3^n) 是公比为 q=1/3 <1 的等比级数,故收敛,其和为:(1/3)/(1-1/3) =1/2 ∑(n=1,∞) (1/5^n) 是公比为 q=1/5 <1 的等比级数,故收敛,其和为:(1/5)/(1-1/5) =1/4 ∑(n=1,∞) (1/3^n+1/5^n) 是两个收敛级数 ∑(n=1,∞) (1/3^n) 的 ∑(n=1,∞) (1/5^n) 和, 从而根据 收敛级数 的和收敛,且和为 各级数的和: ∑(n=1,∞) (1/3^n+1/5^n) =∑(n=1,∞) (1/3^n)+ ∑(n=1,∞) (1/5^n) =1/2 + 1/4 =3/4

临渭区18321716848： 大学数学分析 高等数学 数项级数 如图1到2,2到3是怎么得来的呢?求大神解答,谢谢 - ？
弥闵血必： 补充一点,题主给的图后面提到“从而部分和数列有界”,这一论断对 x 的取值范围是有要求的,不知原题是否有限制,否则,当 x 取使得 sin(π/2+x)=0,即x=π/2+kπ时,最终的放缩结果的值为无穷(题目应该有给 x属于(0,π/2)之类的条件吧?).

临渭区18321716848： 数项级数求和 - ？
弥闵血必： 列项求和: n/(n+1)! = (n+1)/(n+1)!-1/(n+1)! = 1/n!-1/(n+1)!. 因此级数的和 = (1/1!-1/2!)+(1/2!-1/3!)+... = 1/1!-1/2!+1/2!-1/3!+1/3!-... = 1/1! = 1.

临渭区18321716848： 判断数项级数的敛散性 - ？
弥闵血必： 此级数发散. 数项级数收敛的必要条件是通项是无穷小量.即通项的极限必须是零. 但当n趋于无穷时,cos(1/n)趋于1,所以此级数发散.

临渭区18321716848： 数项级数哪本数学讲了?是高二吗 - ？
弥闵血必： 大一 微积分 数学系在数学分析里 .其他系在高数 或者 微积分里就有了. 级数其实本质是序列加和的极限,级数的收敛本质上也是一个序列的收敛(其部分和序列的收敛) 数项级数是指数列的无穷加和(序列的每一项都是常数) 而函数项级数...

临渭区18321716848： 数学分析关于级数狄利克莱判别法的疑问?数项级数中的an一定要单调减少吗?单调增加不行吗? - ？
弥闵血必： 狄利克莱判别法要求的是 {a[n]} 单调趋于 0(正项的递减,负项的递增,正负项相交是不存在的),这样回答了你的问题了吗?

临渭区18321716848： 数学分析,判断正项级数的收敛性ln(1+n)/(n^2) - ？
弥闵血必： Sn=ln2/1+ln2/2^2+ln3/3^2+... =ln(n+1)!/(n!)^2 =ln(n+1)/n! =ln[1/(n-1)!+1/n!] Sn为减函数,有最大值ln2.根据正项级数的和有上界,所以SN收敛.