极限求解： 请用最最基本的方法求极限，要解答的完整过程，图解优先
作者&投稿：莫封 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
若用洛毕达方法，本题极为简单。
若只用特殊极限计算，过程很繁，要做几次代换，解答见图。
点击放大，如果看不清楚，可以点击后复制下来，会非常清楚：
极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，是从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变的一种数学方法。同时，极限是微分的理论基础，研究函数的性质实际上就是研究各种类型的极限，如连续、导数、定积分等，由此可见极限的重要性。而如何求极限，怎样使求极限变得容易，这是绝大多数学生尤其是基础较差的中专学生较为头痛的问题。求极限不仅要准确理解极限的概念、性质和极限存在的条件，而且还要能准确地求出各种极限。求的方法很多，针对中专学生的实际情况，笔者从基本概念、基本思路和计算方法三个方面总结如下。
一．基本概念
要求函数的极限，首先而且必须要正确理解函数的极限以及与其有关的几个重要的基本概念。
⒈ ； .
以上两个充要条件不仅给出了判断极限是否存在的一个准则，而且指明了含义为两方面；的含义为两方面。
⒉无穷大和无穷小
无穷大和无穷小（除常数0外）都不是常数，而是两类具有特定变化趋势的变量，如果变量在某变化过程中，其绝对值无限制地增大，则称在该变化过程中，为无穷大；如果在某变化过程中变量以零为极限，则称在该变化过程中，为无穷小。笼统说某变量是无穷大或无穷小而没有指出变化趋势都是不正确的。
要求极限必须理解下面几个与无穷大或无穷小有关的重要关系，它们对求函数的极限非常有用。
⑴函数的极限与无穷小的关系：
⑵无穷小与无穷大的关系：在同一变化过程中，若为无穷大，则是无穷小；若是无穷小，则是无穷大。
⑶无穷小与有界函数的关系：无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小。
⒊函数连续与极限的关系
在某点处函数的连续性与极限既区别又联系。
区别是：函数在某点处连续不仅要求函数在这一点有极限，而且要求函数在这点处的极限值一定等于该点的函数值；而极限则是指函数在某点附近的变化趋势，而与函数在该点处是否有定义或该点处的函数值没有关系。
联系是：⑴函数在点连续的充要条件是：。由此充要条件在可以判断分段函数在分段点处的连续性。
⑵函数在点连续存在。
二． 求极限的基本思路
极限的计算题中分两大类：一类是确定型的极限，它包括以下几种情况：
⒈根据初等函数的连续性； ⒉直接利用极限运算法则；
⒊利用无穷大与无穷小的关系；⒋利用无穷小与有界函数乘积为无穷小。
另一类是未定型（也称未定式）的极限，它包括：、、∞—∞、1∞型。计算未定型限的基本思路是通过恒等变形等转化为确定型的极限进行计算，或利用两个重要极限，或罗必达法则进行计算。
三．求极限的方法
一．确定型的极限
⒈利用连续函数的连续性求极限——代入法
由函数在点连续定义知，。由于初等函数在定义区间内处处连续，所以求初等函数在定义区内任意点处的极限值，就是求其函数在该点处的函数值。
【例1】：求【解】∵是初等函数，在其定义域（全体实数）内连续∴所以用代入法求出该点的函数值就可。即=2·2＋2·2－5=3。
【例2】；求 【解】由于=在处连续，所以
⒉利用极限的四则运算法则求极限。
设= A，= B，则±=A±B； ·=A·B，特别地=C·A； 。
⒊利用“无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小”性质求极限。
利用“无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小”这一性质可以计算某些函数的极限，但在应用这一性质求极限时，要注意求解过程的写法。
【例3】求的极限 【解】当时，是无穷小，而是有界函数，因此利用无穷小与有界函数的乘积是无穷小很快就会得解。于是，=0
⒋利用无穷大与无穷小的关系求极限。
无穷大与无穷小的关系：无穷大的倒数是一个无穷小；反之，在变化过程中不为零的无穷小，其倒数为一个无穷大。
【例4】求极限
【解】因为=0。即是当时的无穷小，根据无穷大与无穷小的关系可知，它的倒数是当时的无穷大，即。
⒌分别利用左右极限求得函数极限
求分段函数在连接点处的极，要分别求左、右极限求得函数极限。它根据以下定理：。对于分段函数考察是否存在就要分别求与。
二．未定型（也称未定式）的极限
⒈可化为连续函数的函数极限
求函数极限时，有时常常会遇到，函数在点没有意义，即函数在点不连续，这时就不能直接利用代入法求函数的极限。这时要视具体情况对进行适当的恒等变形，转化为连续函数，再利用函数的连续性求出极限，该方法常用于“”型的极限。在进行变形时常用到因式分解、分子或分母“有理化”的运算以及三角函数的有关公式。其目的就是消去分母中的零因子。
【例5】求
【解】当时，，这时不能直接利用代入法求函数的极限，但对函数进行分母“有理化”的恒等变形以后，就可化为连续函数的函数极限，再用代入法求函数的极限，即：
⒉利用两个重要极限求极限
两个重要极限给出了求型、1∞型的极限的计算
⑴两个重要极限为：①②或
⑵由重要极限及替换可求下列极限：
① 若，则 ，极限过程改为其它情形也有类似的结论。
【例6】求
【解】
【例7】求
【解】
② 设，则利用重要极限有，其。
【例8】求极限
【解】=〔〕
⒊自变量趋向无穷大时有理分式求极限法则
⑴若分式中分子和分母的同次，则其极限等于分子和分母的最高次项的系数之比；
⑵若分式中分子的次数低于分母的次数，则该分式的极限是零；
⑶若分式中分子的次数高于分母的次数，则该分式的极限不存在（为无穷大）。
即当时有
⒋利用洛必达法则求未定式的极限
求型或型未定式更常用的方法是用洛必达法则。具体方法如下：
⑴设的空心邻域可导，，其中A可以是极限数也可以是。将改为或等也有相应的洛比达法则。
⑵应用上述法则是应注意：①若不存在，也不为，不能说明不存在。例如，不存在。
②必须验证应用法则的条件，必须是型或型未定式方可利用洛比达法则。例如，以下计算是错误的： 。事实=，这里不是型也不是型未定式。
③若是型或型，可连续用洛比达法则，只要符合条件，一直可用到求出极限为止。
<求极限十法 >
1、利用定义求极限。
2、利用柯西准则来求。
柯西准则：要使{xn}有极限的充要条件使任给ε>0,存在自然数N，使得当n>N时，对于
任意的自然数m有|xn-xm|<ε.
3、利用极限的运算性质及已知的极限来求。
如：lim(x+x^0.5)^0.5/(x+1)^0.5
=lim(x^0.5)(1+1/x^0.5)^0.5/(x^0.5)(1+1/x)^0.5
=1.
4、利用不等式即：夹挤定理。
5、利用变量替换求极限。
例如lim (x^1/m-1)/(x^1/n-1)
可令x=y^mn
得：＝n/m.
6、利用两个重要极限来求极限。
（1）lim sinx/x=1
x->0
(2)lim (1+1/n)^n=e
n->∞
7、利用单调有界必有极限来求。
8、利用函数连续得性质求极限。
9、用洛必达法则求，这是用得最多的。
10、用泰勒公式来求，这用得也很经常。
解极限的16种方法
极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致
1 极限分为 一般极限 ， 还有个数列极限， （区别在于数列极限时发散的， 是一般极限的一种）
2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）
1 等价无穷小的转化， （只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者 （1+x）的a次方-1等价于Ax 等等 。 全部熟记
（x趋近无穷的时候还原成无穷小）
2落笔他 法则 （大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法）
首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！
必须是 X趋近 而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件
（还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷！）
必须是 函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导， 直接用无疑于找死！！）
必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！
当然还要注意分母不能为0
落笔他 法则分为3中情况
1 0比0 无穷比无穷 时候 直接用
2 0乘以无穷 无穷减去无穷 （ 应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了
3 0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方
对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ， （ 这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）
3泰勒公式 (含有e的x次方的时候 ，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意 ！！！！）
E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开
对题目简化有很好帮助
4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法
取大头原则 最大项除分子分母！！！！！！！！！！！
看上去复杂处理很简单 ！！！！！！！！！！
5无穷小于有界函数的处理办法
面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！
6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）
这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式 ，放缩和扩大。
7等比等差数列公式应用（对付数列极限） （q绝对值符号要小于1）
8各项的拆分相加 （来消掉中间的大多数） （对付的还是数列极限）
可以使用待定系数法来拆分化简函数
9求左右求极限的方式（对付数列极限） 例如知道Xn与Xn+1的关系， 已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化
10 2 个重要极限的应用。 这两个很重要 ！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值 。 地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式
（地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式 ）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）
11 还有个方法 ，非常方便的方法
就是当趋近于无穷大时候
不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！
x的x次方 快于 x！ 快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数 （画图也能看出速率的快慢） !!!!!!
当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了
12 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中
13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法 ，当然也是夹杂其中的
14还有对付数列极限的一种方法，
就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。 一般是从0到1的形式 。
15单调有界的性质
对付递推数列时候使用 证明单调性！！！！！！
16直接使用求导数的定义来求极限 ，
（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式， 看见了有特别注意）
（当题目中告诉你F(0)=0时候 f（0）导数=0的时候 就是暗示你一定要用导数定义！！！！）
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罗巩丽泉： 一、利用极限四则运算法则对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则,法则本身很简单,但为了能够使用这些法则,往往需要先对函数做某些恒等变形或化简,采用怎样的变形和化简,要根据具体的算式确定,常用的...
南平市19162765331： 求函数极限的具体方法 - ？
罗巩丽泉： 函数极限的概念 函数极限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,,而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中.掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益.以x→Xo 的极限为例,f(x) 在点Xo 以A为极限的定义是: 对于任意给定...
南平市19162765331： 总结求极限的方法 - ？
罗巩丽泉： 大学里用到的方法主要有: 1、四则运算法则(包括有理化、约分等简单运算); 2、两个重要极限(第二个重要极限是重点); 3、夹逼准则,单调有界准则; 4、等价无穷小代换(重点); 5、利用导数定义; 6、洛必达法则(重点); 7、泰勒公式(考研数学1需要,其它考试不需要这个方法); 8、定积分定义(考研); 9、利用收敛级数(考研) 每个方法中可能都会有相应的公式,全总结就太多了,你自己去看吧.希望可以帮到你,不明白可以追问,如果解决了问题,请点下面的＂选为满意回答＂按钮,谢谢.
南平市19162765331： 求函数的极限值,一般有哪些方法 - ？
罗巩丽泉： 你好,求函数的极限,一般有以下方法: 直接代值法,等价无穷小,重要极限法,分子有理化,分母有理化,洛必达法则,泰勒公式,通分法,等.
南平市19162765331： 求极限的方法? - ？
罗巩丽泉： 1、利用定义求极限: 例如:很多就不必写了! 2、利用柯西准则来求! 柯西准则:要使{xn}有极限的充要条件使任给ε>0,存在自然数N,使得当n>N时,对于 任意的自然数m有|xn-xm|0 (2)lim (1+1/n)^n=e n->∞ 7、利用单调有界必有极限来求! 8、利用函数连续得性质求极限 9、用洛必达法则求,这是用得最多得. 10、用泰勒公式来求,这用得也十很经常得.
南平市19162765331： 求极限的方法大全 - ？
罗巩丽泉： 1、利用函数的连续性求函数的极限(直接带入即可) 如果是初等函数,且点在的定义区间内,那么,因此计算当时的极限,只要计算对应的函数值就可以了. 2、利用有理化分子或分母求函数的极限 a.若含有,一般利用去根号 b.若含有,一般利用,去根号 3、利用两个重要极限求函数的极限 4、利用无穷小的性质求函数的极限 性质1:有界函数与无穷小的乘积是无穷小 性质2:常数与无穷小的乘积是无穷小 性质3:有限个无穷小相加、相减及相乘仍旧无穷小 5、分段函数的极限 求分段函数的极限的充要条件是: 6、利用抓大头准则求函数的极限 其中为非负整数.
南平市19162765331： 求函数的极限 - ？
罗巩丽泉： 求函数极限的方法:1、代入后如果能算出具体数值,或判断出是 无穷大,就直接带入.2、如果代入后发现是0/0,或∞/∞,或 化简,或用用罗毕达法则求导.直到能计算出 具体数或判断出结果为止.3、无穷小代换法,此法在国内甚嚣尘上,用...
南平市19162765331： 求数学高手:求极限的七种方法,最好有例子？
罗巩丽泉： 您好! 1、利用定义求极限. 例如:很多就不必写了! 2、利用柯西准则来求! 柯西准则:要使{xn}有极限的充要条件使任给ε>0,存在自然数N,使得当n>N时,对于任意的自然数m有|xn-xm|<ε. 3、利用极限的运算性质及已知的极限来求...
南平市19162765331： 求函数极限有什么简便方法 - ？
罗巩丽泉： 1、【直接计算】 能直接计算,而又不出现不定式的情况,就直接代入计算;2、【罗必达方法】 如果出现七种不定式之一,就不可以直接代入计算,如果是连续函数,就必须把七种不定式,统统化成无穷大比无穷大的形式,或无穷小比 无穷小...
南平市19162765331： 求数列极限的几种方法 - ？
罗巩丽泉：[答案] 摘要:本文介绍了计算极限的几种方法,讨论如何用定积分、幂级数、微分中值定理、O-Stolz公式、泰勒展式等方法计算极限.关键词:计算极限;定积分;幂级数;泰勒展式1. 引言极限思想是许多科学领域的重要思想之一. 因为极限的重要性,从而...
