4*(40+68)编成两道性质不同的数学问题

数学问题~

1.过两点有且只有一条直线
2 两点之间线段最短
3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9 同位角相等，两直线平行
10 内错角相等，两直线平行
11 同旁内角互补，两直线平行
12 两直线平行，同位角相等
13 两直线平行，内错角相等
14 两直线平行，同旁内角互补
15 定理 三角形两边的和大于第三边
16 推论 三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
18 推论1 直角三角形的两个锐角互余
19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21 全等三角形的对应边、对应角相等
22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等
26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）
31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
44 定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
45 逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称
46 勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2
47 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形
48 定理 四边形的内角和等于360°
49 四边形的外角和等于360°
50 多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°
51 推论 任意多边的外角和等于360°
52 平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
53 平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
54 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
55 平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
56 平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57 平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
58 平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
61矩形性质定理2 矩形的对角线相等
62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2
67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等
70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一
点平分，那么这两个图形关于这一点对称
74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等
75等腰梯形的两条对角线相等
76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
77对角线相等的梯形是等腰梯形
78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段
相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第
三边
81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它
的一半
82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的
一半 L=（a+b）÷2 S=L×h
83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc
如果ad=bc,那么a:b=c:d
84 (2)合比性质 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d
85 (3)等比性质 如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么
(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b
86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应
线段成比例
87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例
88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边
89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）
92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）
94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）
95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三
角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平
分线的比都等于相似比
97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比
98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等
于它的余角的正弦值
100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等
于它的余角的正切值
101圆是定点的距离等于定长的点的集合
102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
104同圆或等圆的半径相等
105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半
径的圆
106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直
平分线
107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距
离相等的一条直线
109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。
110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦
相等，所对的弦的弦心距相等
115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两
弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所
对的弦是直径
119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它
的内对角
121①直线L和⊙O相交 d＜r
②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d＞r
122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
127圆的外切四边形的两组对边的和相等
128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积
相等
131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的
两条线段的比例中项
132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割
线与圆交点的两条线段长的比例中项
133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
135①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)
④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)
136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
137定理 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n
140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
141正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长
142正三角形面积√3a／4 a表示边长
143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为
360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4
144弧长计算公式：L=n兀R／180
145扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2
146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
实用工具:常用数学公式


公式分类 公式表达式

乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理

判别式
b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根
b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根
b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根

三角函数公式

两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h
正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'
圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2
圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l

弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r

锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h
斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长
柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h
我认为都有用，收着吧

40；
12；38
有什么疑问就问我

谈初中数学教学的问题设计和呈现方式
嘉兴市二十一世纪外国语学校 杨力军
以问答方式展开课堂教学活动,是当前数学课的常见形式,这种形式改变了传统教学中教师的满堂灌,激活了师生的双向活动,学生的主体地位被凸现出来.但以初中数学课堂中师生的问答方式为例,据上海的一项调查显示:目前课堂上教师提问的问题中大多数属于记忆性问题(占70%左右),其次是推理性问题(占20%)左右,较少有分析,判断,比较,发现,评价等价值的问题[1].我们应当意识到课堂教学中的问题设计对培养学生自主探索学习和创新意识有很大的影响.根据科学技术突飞猛进的时代特点,数学课堂中培养独立探索思考和创新精神的呼声日益高涨,随着近年来中考和高考试题中创新题的抬头,"数学高考命题理论正在起着变化" [2].我认为课堂教学中的问题设计和呈现方式是课堂教学改革的切入口,以问题方式所展开的教学可以较好地体现对学生认知活动的组织和对学生思维活动的激发,引导和创新,但只有在对学生的认知规律,学习心理和思维特点深入了解,才可能较好地提出问题并把握课堂.本人就课堂教学中如何激发学生尝试探索和自主学习的问题
设计和呈现方式谈谈自己的做法和想法.
一,体现数学思想方法的再创造问题
例如1:一元二次方程的教学及问题呈现
①一元二次方程是怎样产生的
设计一个简单的与生活实际联系的应用问题,让学生了解这种未知方程的产生,是人们在解决生活和劳动实践中所需要解决的数学问题之一.激发学生尝试列方程和解答问题的欲望.
②什么是一元二次方程 与一元一次方程有什么不同
通过教师指导和学生自学,了解一元二次方程与一元一次方程在次数,系数,方程解,表达形式的各种区别和联系,掌握一般方程的转化.
③如何解一元二次方程 它的原理是什么
由 ab=0 得 a=0 或 b=0 的转化的探索,或由 x2=a 直接开方,换元转化的探索,等等.
例如2:圆心角定理及推论的教学和问题呈现
①通过作圆(同圆或等圆)和作其中两个相等的圆心角,比较所对的弦,弧,弦心距的大小关系.
②通过作圆和作其中两条相等的弦,比较两个圆心角的大小关系.
③通过圆中作长度不同的弦,比较弦心距,圆心角的大小关系.
④对同圆和等圆中的两个圆心角和它所对应的两条弦,两条弧,两条弦心距这四对量之间存在怎样的关系 猜测和证明.
例如3:勾股定理的教学和问题呈现
① 勾股定理是怎么产生的
用自制的八块全等的直角三角形和三个小正方形(如图1)进行拼正方形的活动
② 在以上的拼图活动中,如何通过面积计算寻找直角三角形三边关系式 指导学生通过探索面积的不同计算方法,寻找等量关系,发现勾股定理.
③勾股定理证明方式的多样性探索
提供诸如美国总统伽菲尔德证明方法的素材.
例如4:二次函数最值问题的教学和问题呈现
每人发一根20cm长的铁丝,
①弯成一个矩形,相互比较矩形的形状是否
相同 为什么 问怎样弯可使矩形面积最大
通过这个实践活动,学习建立二次函数及讨
论最值问题的数学方法,得出正方形时面积最大.
② 弯成矩形的三边,另一边靠墙围成一个矩形, ( 图1 )
怎样围面积最大
通过这个实践活动,进一步熟悉二次函数最值问题数学思想方法的应用,得出此类问题不是正方形面积最大.(水平迁移)
③ 弯成直角三角形的一个直角和两条直角边,比较不同的弯法,问怎样的弯法可使铁丝的两端距离最短(斜边最短)
进一步形成数学思想方法的纵向迁移,从而掌握二次函数最值问题的应用技能.
再创造问题的设计是与课堂教学的观念紧密相联系的.要改变过去长期以来学生上课只会听教师讲课,只会照老师讲的公式,法则死记硬背,照搬照套例题,不会探究"为什么","从何而来"的教学模式.针对这一情况,课堂上设计的问题必须从激疑开始,体现知识的再创造过程.著名荷兰数学教育家弗赖登塔尔曾指出"学习数学唯一正确的方法是实行再创造,也就是学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来;教师的任务是帮助学生去进行这种再创造工作."[3] 遵循这一原则,我认为在初中的许多新知识课中,教师可以将要传授的新知识单元,按照知识的产生——新旧知识的联系——新的法则的形成——技能的形成和应用这个顺序来设计问题.再创造问题的设计显然体现了数学知识来源于生活,作用于生活的特点,与传统教学手法不同的是,设计的问题是完全要求学生去思考,去探索,去尝试的.首先应当引导学生在探究时及时地回顾,补全新知识认知时的原有知识结构体系.上例1中要求将一元二次方程与一元一次方程加以对比,就是为了便于将新的知识纳入到原有的知识体系中去,加快同化过程.传统的教学过程中将复习旧知识作为每一堂讲授新课的第一环节,我认为至少有两个弊端,一是复习旧知识作为一堂课的开端,往往无法激起学生的学习积极性,而一堂课的开头是否吸引学生,我认为是十分重要的事;其次是许多课,新旧知识之间并没有非常清楚的界限,在实践中经常发生的事是当人们在遇到无法解决的问题时,才会想到如何与以往经验建立起联系,在课堂上为什么不能再现这一过程呢 人为地设置新旧知识的界限,并不符合人类的认知规律,也不利于学习能力的提高.所以,我在备课中往往将所传授的知识设想成为一项有意义的活动,围绕教学目标,将整个教学过程转化为,让学生发现问题——要求学生从自己已的经验(原有知识体系)中寻找联系,进行比较和辨别——发现规则及这一规则的作用——形成迁移.再创造问题的设计正是体现了这一过程,也即体现了这一堂课的教学过程.再创造问题设计的目的,不是为了让教师围绕这些问题作讲解用的,而是为了让学生围绕这些问题进行思考,探索,自主学习和讨论用的,教师仅仅起引导方向,激励思考,暴露学生思维过程并加以评价的作用.
二,培养学生思维品质,训练技能的问题
例如1:一元二次方程解方程教学中的问题呈现方式
1,因式分解法解方程中的问题序列
ab=0 则 a= b=
① (x-2)(x-3)=0 则 x=
② 2x(x+5)=0 则 x=
③ 2x2+10x=0 则 x=
④ x2-5x+6=0 则 x=
⑤ 2x2+7x-4=0 则 x=
⑥ (2x-3)2=2x-3 则 x=
⑦ (3x+1)2-7(3x-1)+12=0 则 x=
2,配方法引入时的问题序列
① x2=9 则 x=
② 3x2-27=0 则 x=
③ (x+3)2=3 则 x=
④ x2+6x+9=3 则 x=
⑤ x2+6x+5=0 则 x=
⑥ x2-8x+10=0 则 x=
⑦ 3x2+6x-1=0 则 x=
每个问题间,既相互联系又相互区别,适合学生自主探索求解.
例如2:二次函数图像的复习教学中的问题序列
对抛物线的图形特点的归纳探索,如何归纳
①抛物线顶点在原点的函数解析式的特点如何
②抛物线顶点在X轴上的函数解析式的特点如何
③抛物线顶点在Y轴上的函数解析式的特点如何
④抛物线图象经过原点的函数解析式的特点如何
⑤抛物线与坐标轴有三个交点的函数解析式的特点如何
⑥抛物线与X轴无交点的函数解析式的特点如何
在同一水平上的问题,较容易引导学生自主归纳探索规律.
例如3:平行线分线段成比例定理教学中的问题呈现方式
①对一组平行线(三条)截两条直线,可画出几种不同的位置关系 请同学探索,并画出图形.
②在以上各种不同情况下写出成比例的线段关系式.
③平行于三角形一边的直线与三角形的另两边(可两边延长线)相交,能否用平行线分线段成比例定理得到线段成比例
由于受教学的时间和条件的限制,在形成技能及熟练技能的过程中,应当避免在缺乏教师引导作用下完全让学生自由尝试的现象.组织得良好的问题序列不仅有利于学生趣味盎然地去发现规律,也有利于在有限的时间内更快更好的形成技能,创造较高的教学效果.但这并不是说可由教师的讲解来代替学生的思维和探索,只是教师必须将这些相互关联的问题串起来作为素材提供给学生,让他们来一次尝试和再创造.作为培养学生学习能力的要求,这样组织起来的问题,自然带有很大的人为因素,这也是一种学习.教师设计的这些问题序列,目的不仅仅在于让学生比较容易形成知识和技能的同化,更重要的也许在于给学生一种榜样,当我们在学习过程中,经常需要在形成新技能时寻找与原有技能之间的结合点,或者为更好地记忆和运用知识和技能,必须对它们进行归纳和整理(如图书馆的书籍整理).我认为在教学过程中设计这些问题序列,是为了再现人们学习和认识的过程:从简单到复杂,从已知到未知,从零碎到完整,从具体运算到心理运算.
三,指导学生自主学习的问题
例如1,在学习比例这一课时,要求学生通过阅读课本解决的问题序列为:①-4与6的比是多少 10,2 ,5,1 是否成比例
②什么是比 什么是四个数成比例 A
两者有什么区别
③如何用字母表示四个数成比例 E
这四个数的名称有什么规定
④如图2:图中的四条线段AC,AB, 300
ED,EB的长度是否成比例 C D B
⑤什么是线段成比例 ( 图2 )
⑥若有a ,b ,c,d 满足 a b=c d 则 它们是否成比例
例如2:在一元二次方程公式法求解的教学中,为使学生能通过阅读掌握公式法的推导过程,所设计的问题序列是:
①一元二次方程:2X2+3X-5=0 与X2+3/2X-5/2=0 解是否相同
② 配方填空:X2 + 3/2X+( )= (X + )2,X2+pX+( )=( X + )2
③ 配方法解方程:2 X2+3X-5=0 的步骤有那些
④ 配方法解方程 aX2+bX+c=0 的步骤有那些
⑤ 配方填空X2+b/aX+( )=(X + )2
⑥方程 (X + b/2a)2=(b2-4ac)/4a2 中b2-4ac的符号对方程的解有什么影响
⑦ 一元二次方程的求根公式是什么 请用公式写出方程 3x2+5x-3=0 的两个解
自学能力是人们打开知识宝库的一把钥匙,它属于工具性能力,是现代人应该具有的重要素质之一.以上这些问题的设计目的是想通过让学生自学来获得知识,从而代替教师的讲解.学生的自学能力的形成不可能一躇而就,教师所设计的问题代替了教师的引导,也使自学过程成为可控的过程.让学生带着问题自学,无疑是课堂教学的一种形式,它的依据是学生有能力在教师的引导下逐步实现依靠教材和教学参考材料完成新知识的学习,但必须是由教师提出的问题作为过渡,这些问题的设计应当是从小步子逐渐到大步子,具有较强的阶梯性.正如"自学教学法"创立者卢仲衡先生所指出的那样,思维是认识过程中最复杂最困难的一环,学生解决数学问题往往不知从何着手.要解决如何思维的问题,最好的方法就是按步思维,这也不会妨碍思维的灵活性[5].自学能力的形成过程应是:带着问题学——在自学过程中发现问题——在自学过程中解决问题——形成自学能力.为引导学生自学而设计的问题,基本思路是:以新带旧,以旧迎新——架桥铺路,穿针引线——注意变式,面向全体——加强反馈,快慢自主.
四,有利于培养学生创新能力的开放式问题
例如1:在教因式分解的十字相乘法时,可设计如下的问题:
x2-7x+( )=( )( )
x2+( )x-12=( )( )
其目的是为了让学生探索一次项系数与常数项在分解时的关系.
例如2:在学习二次函数 y=ax2+bx+c的图像时,可设计如下的问题:抛物线 y=2x2-x+k 当k取不同的值时, 可使抛物线的位置有什么不同的变化 共同的特点是什么 若是抛物线y=2x2+kx-1呢
其目的是为了让学生探索系数的变化与图象的位置关系.
例如3:在学习三角形性质"两边之和大于第三边"时,提出这样的问题:A离学校10公里,B离A有3公里,问B离学校几公里 没有说明A,B,学校成一直线,破除学生的定向思维). A D
例如4:在学习全等三角形的判定方法时
可以设计如下的问题: 如图3,请同学们添上
适当的已知条件,使△ABC ≌△DEF.
其目的是为了让学生能灵活运用所学知识, B E C F
开阔思路. (图3)
例如5:在几何中学习梯形的性质时可设计如下的练习题:
剪一刀将一个梯形拼成三角形,平行四边形,矩形的方法探索 其目的是为了让学生增强对图形等积变化的探索和体验.
正如华师大张奠宙教授在"数学教育'创新'工程大纲"一文中所说,改造我们的"数学题",开放式,情景式,应用式,老式的编题方法,只是条件和结论的逻辑互动,条件不能多余,结论只有一个,"掐头去尾烧中段",应当跳出这种单一模式.[6]开放式的问题,给学生留下了思维创新和探索的空间,这给数学课堂沉闷的空气中注入了清新剂,是数学教学改革的活力所在.每当教师围绕课堂教学设计出较好的开放题时,学生的思维和情绪容易调动起来,课堂的气氛常常为之改变.从以上例题中可以看出,开放题的设计并不是很难的事,只要教师有意识地选择和改造,开放题的素材是容易得到的.数学学习是一种艰苦的劳动,教师的教学艺术应当表现在让学生能真切地体会这种劳动带来的精神上的乐趣,不仅仅是成功的快乐,还有创造的快乐,享受数学美的快乐.教师的责任不仅仅是传授数学知识,还应当肩负起培养人的责任,具有创新精神的人是一个民族有能力参与世界竞争的基础,国家需要创新精神,数学教学呼唤创新精神,作为数学教育工作者应当在课堂中努力培养学生的创新精神.
人是否能适应社会,关键在于其能否发现,识别和处理各式各样的问题.人毕生中所面临的种种实际问题绝大多数是不能简单地照搬照抄书本知识便可解决的.数学教育中的"问题"是教学的心脏,但是如何在课堂教学中让问题教学真正能使学生的思维能力和实践能力得到发展,关键还是要改变传统的教学理念."要提高学生的分析性思维,就应多给他们提供分析,评价,解释和比较事物的机会;要提高其创造性思维,就应多提供创新,发明,想象和猜想的机会;要提高其实践性思维,就应多提供运用所学,利用条件解决实际问题的机会."[7] 初中数学教育以问题为核心的教学,需要教师在这种新的教学理念的指导下,精心设计问题,在教学中鼓励学生与教师,学生与学生对话.教师要营造一个相对宽松的环境条件.从时间上,要加大学生的自己支配和独立思考的时间;从活动上,既要有让学生表达的机会,也要有让学生自主学习,独立思考的机会,还要有让学生讨论和质疑的机会.课堂教学中的问题设计,围绕问题所展开的教学活动,教师要在钻研教材和教学方法上有所创新,放手让学生在课堂中进行学习的自主探索,可能会产生各种意想不到的结果,从而对教师素质提出了较高的要求.在课堂教学中以问题作为主线,以学生探索学习作为主体,教师引导的时机,方式,方法等都值得重视,例如当学生的思考遇到障碍时,当学生不按教师的本意活动时,教师应当如何来引导 都是十分关键的问题.本人从以上四个方面所谈的问题设计方法是自己实践的初浅体会,课堂教学中的问题设计—— 一个重要而庞大的课题,本身就需要教师具有创新精神去开拓去探索.

优化数学课堂教学发展学生思维能力

教学过程既是一个可控的信息流通过程，对教学过程中各种结构形成的优化制控与调节，则是大面积提高小学数学教学质量的关键。因此，作为在教学过程中起主导作用的教师， 应特别注重以下几点。
一、激发动机，培养学生思维意向品质
动机是直接推动人进行活动的内部动因和动力，心理学家布鲁纳把“动机原则”作为一个重要教学原则， 认为教学必须激发学生的学习积极性和主动性。儿童是有个性的人，他的活动受兴趣支配，一切有成效的活动 须以某种兴趣作先决条件。兴趣可以产生学习动机，是学生学习的重要动力源之一，有了兴趣，教学才能取得 良好的效果。如教学“相遇问题”时，为了扫清学习障碍，上课开始，教师可创设这样的情境：先由两位同学从教室的两端面对面地行走，设问：“①这两位同学行走的方向怎样？②两位同学行走的结果如何？……”这样通过生活实际的直观演示，丰富学生的感性认识，使学生理解“相向”、“相遇”、“相距”、“同时”等 抽象概念，积极主动地参与对新知识的探求。其次是加强思维方法的指导。小学生对程式化的教学方法感到枯燥，要注意把学生熟悉的事物同所学知识联系起来，变抽象为直观。如，通过“座号是质数、合数的学生分别站起来”的游戏，使学生形象地领悟质数与合数的区别，又如，教学圆柱的侧面积时，让学生把纸筒沿竖向剪开，展示出长方形，学生通过直观操作，很快推导出圆柱侧面积计算公式。三是通过变换那些用来说明概念的直观材料或事例的形成，使其中的本质属性保持恒定，而非本质属性时有时无。作这样的变式练习，能使学生思维活动从偏见与谬误中解脱出来，从而灵活地应用一般的原理、原则。例如题组：
（1）一桶油漆，第一次用去1／5千克，第二次用去这桶油漆的4／5，刚好用完，这桶油漆有多少千 克？
（2）一桶油漆，第一次用去4／5千克，第二次用去这桶油漆的1／5刚好用完。两次一共用去多少千 克？
（3）一桶油漆，第一次用去1／5，第二次用去4／5千克，刚好用完，这桶油漆重多少千克？
这种变换叙述形式的练习，尽管问题叙述不同，但学生通过仔细审题，很快便能理解这几道题的实质都是求这桶漆油的重量，从而培养了积极思维的意向品质。
二、增加含熵信息，提高思维密度
如果信息本身一部分已被认知，还有一部分不确定性（熵）不能消除，这类信息就称为“含熵信息”。学生学习就是接收信息——消除不确定性的过程。如果教师在课堂上处处“讲深讲透”，学生得不到“生疑—— 解疑——省悟”的一波三折，那么充斥这节课的便是“饱和信息”，便无法激起学生学习的热情，使其产生内 驱力，学生的思维就得不到发展。思维的是一个信息传递、接收和贮存、加工的过程。因此，要激发思维活动 ，必须对教学过程进行有效控制，有计划，有目的地传递含熵信息，从而提高思维密度。
1．以内部言语培养学生的独立思考能力。数学课堂教学，要让学生能充分发挥学习的主动性，这就要求 教师对学生提出思维要求，而且要留有一定的空间，让学生独立思考。在教学中，让学生先想一想再去做。使学生言语与行动逐步起着自觉调控作用，促进思维的“内化”，从而发展学生的独立思考能力。例如：“五（ 1）班现有学生49人，男女生人数的比是4∶3，五（1）班男生、女生各有多少人？”对这样的应用题，可先让学生独立思考，再试着做，而不是由教师直接教给解法。学生通过认真的思考，可以找出多种解法。
解法一：4＋3＝7 49×4／7＝28（人）……男生
49×3／7＝21（人）……女生
解法二：4＋3＝7 49÷7＝7（人）
7×4＝28（人）……男生
7×3＝21（人）……女生
解法三：先求出女生是男生的几分之几，再求男、女生各多少人。
3÷4＝3／4 49÷（1＋3／4）＝49×4／7＝28（人）……男生
28×3／4＝21（人）……女生
再让学生把思考的过程和方法说出来：解法一是用按比例分配的方法；解法二是用归一法；解法三是用分数解。这样的教学，学生有充分思考的机会，在“想一想”的过程中，内部言语得到了发展，从而培养了学生独立思考的能力。
2．以内部言语促进学生逻辑思维能力的提高。现代教育观认为，数学教学是数学活动的教学，即思维活动的教学。语言是思维的外壳……思维通常是以语言为载体表现出来。俄罗斯心理学家加里培林关于智力形成 的学说提到，智力活动始源于物质活动，以语言为中介，内化为“人脑”的内部言语。根据学生的认知规律， 学生在操作学具时，要把动手操作，动脑思考，动口表达结合起来，也就是从“外化”到“内化”，在操作中 使“操作”与“思维”紧密结合，从而发展学生的内部言语，提高逻辑思维能力。
例如在进行三角形面积计算公式推导的教学中，可以安排三个层次的操作，即三个层次的思维训练。第一层，操作后问：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形分别和拼成的平行四边形的面积有什么关系？为教学公式中“除以2”奠定基础；第二层，让学生抽象出“任何三角形的面积都是平行四边形面积的一半”；第三层 ，进一步引导学生观察、比较认识三角形的底和高分别与平行四边形的底和高的关系。在此基础上，要求学生 自己推导出三角形的面积计算公式，并讲出是如何推导的，公式中“底×高”是什么意思，为什么要除以2。 这样引导学生紧扣操作活动中的“想一想”进行独立思考，不仅发展了内部语言，而且使学生的抽象概括能力 和演绎推理能力得到了较好的训练和培养。
三、训练主体思维，优化思维品质
数学既能锻炼人的形象思维能力，又能锻炼人的逻辑思维能力。主体思维善于在事物的不同层次上向纵、 横两个方面发展，向问题的深度和广度发展，达到对事物全面的认识。为此，教师应重视在数学教学过程中， 揭示数学问题的实质，帮助学生提高思维的凝练能力。在解决问题的过程中，先对问题作整体分析，构建数学 思维模型，再由表及里，揭示问题的实质。当问题趋于解决后，由此及彼，系统地研究相关的问题，做到解决 一题就可解一类题，即触类旁通。以对应用题的训练为例，教师要善于从横向、纵向、逆向、系统等多层次、 多方向上进行演变、扩展、加深，才能提高数学课堂教学的密度和容量。也只有这样，才能达到既不增加学生 负担，又能提高教学质量之目的。
1．纵向延伸。要引导学生深入思考，沟通前后联系，弄清知识由浅入深，逐步深化的递进层次
当解答完题目后再纵向延伸：如果改变题目的条件，怎样解答，如果改变题目中的 问题，又怎样解答。
2．横向展开。学生解题后，还可以横向展开，引导学生从多种角度、多种途径进行解题（此种方法多适应于练习课与复习课）。例如：“修一条1800米的路，3天修了120米，照这样计算，修完这条路共用 多少天？”可以这样引导学生：①以1天修的路程数表示效率；②以修1米所用的时间表示效率；③以修12 0米所用的时间，或以3天修的路程表示效率等方法进行解答。
3．逆向回转，理解结论。训练学生从顺、逆两个方向思考问题，有利于提高思维的深刻性、敏捷性和灵 活性。例如：甲乙两车从A、B两地相向开出，乙车每小时行60千米，比甲车多行1／4，求甲、乙两车一 小时共行多少千米？解答之后，再把解题结果作为已知条件，引导学生逆向编题。如：甲乙两车一小时共行1 08千米，乙车每小时比甲车多行1／4，求甲、乙两车每小时各行多少千米？显然，这道题的难度要高于前 一题。
4．一题带一类，构建小系统。例如教完简单工程问题后，可以将工程问题与工作问题及相遇的行程问题 三者联系起来，这样就能用“同一知识统一解决不同问题”的方法。构建知识的小系统。
优化数学课堂教学，发展学生思维能力，必须做到教学目标明确、教学重点突出、教学方法合理，教学效 果才能得以保证，减轻学生过重负担也才能落到实处。

应用题十种检验方法例析

福建省安溪县官桥中心学校 廖延芳

在”人教版”九年义务教育六年制小学数学教材中，重视培养学生应用题检验的习惯，分别为学生介绍了三种应用题检验的方法。除此之外，教师可根据应用题内容和需要，结合解答题和计算，教给学生有关应用题检验的其它方法，进一步培养学生检查和验算的习惯，树立认真负责的科学态度。本文结合教材内容，试就如何教给学生应用题的检验方法谈点具体的做法。
1、另解法。即采用两种不同的解法来说明如果解答正确，那么这两种解答方法的结果应该相同（”人教版”六年制数学教材（下同）第六册第99页例1所采用）。用”另解法”要有一定的条件，适用于检验具有两种或多种不同解法的题目。
2、复算法。即按原来的题意，依此检查每一步列式和计算，看是不是正确（第八册第9页例2采用）。这种方法，由于学生审不出原题意，检验时只是对题目所列出的算式重复算一遍，故只能检查计算是否正确，检查不出解题方法是否正确。
3、代入法。即检验时，可以按原来的题意，依此检查列式和计算是不是正确；也可以把得数当作已知数，按题意倒着一步一步地计算，看结果是不是符合原来的一个已知条件（第九册第45页例1采用）。
4、估算法。即对应用题审题，后大致推算出得数的范围，如计算结果在估算范围内，便说明得数的正确性较大。
例1、工人们修一条路。如果每天修12米，10天修完。现在每天比原来多修3米，现在几天修完？（第九册第49页例3）
根据题意，在修一条路的工作量不变的前提下，工作效率越高，完成工作量所需的时间越少，可以估算出现在修的时间应少于10天。若列式计算为：12×10÷3=40（天），得数超出估算范围，说明解答错误，要重新列式计算。
5、画图法。即根据应用题题意，按一定比例画出表示题意的线段图，可直观地看出该题的答案是多少。若与列式计算的结果一致，说明该得数正确。（举例略）
6、还原法。即结合题意，从最后一个解答步骤的算式开始，逐步向前逆推，最后还原到最前面一个步骤的算式为止。
例2、新丰农具厂赶制540件农具。前10天平均每天制32件，余下的要在5天完成，平均每天要制多少件？（第九册第50页练习十二第2题）
分步列式计算为：① 32 × 10=320（件） ② 540-320=220（件）
③ 220 ÷ 5=44（件）
检验：① 44 × 5=220（件）——后5天做的
② 540－220＝320（件）——前10天做的
③ 320÷10＝32（件）——前10天平均每天做的
结果与原已知数据相同，说明得数正确。
7、编题法。即把算出的结果作为条件，把原题中的一个条件作为问题，改编原应用题，再解答改编后的题目，看结果与原题的数据是否相符。

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应县17870514593： 小红买了一些4分和8分的邮票,共花6元8角,已知8分比4分的邮票多40张,小红两种邮票个买了多少张?列式 - ？
阮婕清热： 设4分的邮票x张0.4x+(x+40)X0.8=68

应县17870514593： 数字推理:0,4,16,40,80,( )答案:160,128,136,140？
阮婕清热： D.140 4-0=4=4*1 16-4=12=4*3=4*(1+2) 40-16=24=4*6=4*(1+2+3) 80-40=40=4*10=4*(1+2+3+4) 140-80=60=4*15=4*(1+2+3+4+5)

应县17870514593： (7X+70):(3X+70)=7:4 要有思路和方法 - ？
阮婕清热： 根据比例的基本性质,两内项的积=两外项的积 (7X+70):(3X+70)=7:4 解:7*(3x+70)=4*(7x+70) 21x+490=28x+280 28x-21x=490-280 7x=210 x=210÷7 x=30

应县17870514593： 68*56+68*40的简便算法 - ？
阮婕清热： 解:68*56+68*40 =68*(56+40) =68*96 =68*(100-4) =68*100-68*4 =6800-272 =6800-300+28 =6500+28 =6528

应县17870514593： 现定义一种新运算:★,对于任意整数a、b,有a★b=a+b - 1,求4★[(6★8)★(3★5)]的值 - ？
阮婕清热： ∵a★b=a+b-1 ∴4★[(6★8)★(3★5)] =4★[(6+8-1)★(3+5-1)] =4★(13★7) =4★(13+7-1) =4★19=4+19-1=22.

应县17870514593： 35ⅹ68+68+68ⅹ4简算? - ？
阮婕清热： 简便计算过程方法如下 解:35*68+68+68*4 =(35+1+4)*68 =40*68 =2720

应县17870514593： 4*(25*65+25*28)等于多少? - ？
阮婕清热： 4*(25*65+25*28) =4*25*(65+28) =100*93 =9300

应县17870514593： 解方程:1. 40%X=24 2. X+五分之一X=36 3. X - 75%X160 4. 50%X - 30%X=18 5. 80X - 40X=200 6. X+120%X=152 - ？
阮婕清热： 1. 40%X=24 0.4x24x=24÷0.4x=602. X+五分之一X=36 1.2x=36x=36÷1.2x=303. X-75%X=160 0.25x=160x=160÷0.25x=6...

应县17870514593： 买一些4角与8角的邮票共花了68元,以知8角比4角的多40张,那么8角的邮票有几张?提示要有算式,否则不加分 - ？
阮婕清热： 设4角的邮票X-40张,那么8角的X张 得到0.4*(X-40)+0.8X=68,得出X=70张.

应县17870514593： 学校购买每支价格为4角和8角的两种铅笔,共花了68元,已知8角一支铅笔比4角一支的铅笔多40支.两 - ？
阮婕清热： 解:设购买4角一支的铅笔X支,则8角一支的铅笔(X+40).0.4X+0.8(X+40)=681.2X=36 X=30 X+40=30+40=70 答:购买4角一支铅笔30支,8角一支铅笔70支.