已知a、b、c均为正整数，且满足a²+b²=c²，又a为质数

已知a、b、c为正整数，且a²+b²=c²,a为质数，试说明：2（a+b+1)是完全平方数~

a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b)
因为a是质数，那么a^2只有约数1，a，a^2
因为不可能是c+b=c-b=a
所以c+b=a^2,c-b=1
b=a^2-c=c-1
c=(a^2+1)/2
b=(a^2+1)/2-1=(a^2-1)/2

2（a+b+1）=2[a+(a^2-1)/2+1]=2a+a^2-1+2=(a+1)^2
所以：2（a+b+1)是完全平方数

反证法。设a+b+c+d为质数
∵a²+b²=c²+d²
不妨设a≥c,d≥b
∴(a+c)(a-c)=(d+b)(d-b)
分类讨论：
1.若a=c，则b=d，
那么a+b+c+d=2(a+b)是合数
2.若a≠c，则b≠d。
此时，若a+c不整除d-b，则
存在素数p，使得p整除a+c
而p不整除d-b
那么，p整除b+d，故a+b+c+d
为合数，矛盾
故a+c整除d-b
同理，d+b整除a-c
那么，a+c≤d-b<d+b≤a-c
矛盾。
故a+b+c+d为合数

证明（1）：若a=2，则4+b²=c²，4= c²- b²=(c-b)(c+b),三种情况c-b=1， c+b=4；c-b=2， c+b=2； c-b=4，c+b=1；后两种舍去，因为c>b.可得c=2.5，b=1.5，不满足，所以a是大于2的质数,很显然b、c都大于1。
若a=2k+1 (其中k>1)，则(2k+1)²+b²=c²，又若b是奇数，设b=2m+1；
(2k+1)²+（2m+1）²=c²，4k²+4m²+4k+4m+2=c²，左边为偶数，所以右为偶数，即有c为偶数。若b是偶数，设b=2m；(2k+1)²+4m²=c²，4k²+4m²+4k+1=2(2k²+2m²+2k)+1=c²,左边为奇数，所以右为奇数，即有c为奇数。（奇数x奇数=奇数，奇数x偶数=偶数，偶数x偶数=偶数）
综上结论得证.
（2） 首先一个数是完全平方数的必要条件是:尾数为:0,1,4,5,6,9
由结论（1），不妨设b=2m+1，c=2n；a为质数，不妨设a=2k+1，
又因2（a+b+1）是偶数，所以2（a+b+1）的尾数肯能为0、4、6.
2（a+b+1）=4(m+k)+6,（m、k>=1）；又a²+b²=c²，所以2（a+b+1）的尾数必
为0、4、6之一，得证

证明：（1）a²=c²-b²=(c+b)(c-b)若b、c奇偶性相同，则c+b与c-b均为偶数。设c
+b=2m，c-b=2n （m、n为正整数）则a²=(c+b)(c-b)=4mn （*），故a必为偶数，又已知a为质数，所以a=2，代入（*）式，得m=n=1，所以c+b=c-b，即b=0，与题设矛盾。故b与c两数必为一奇一偶。
（2）
a²=(c+b)(c-b)且a为质数，c+b>c-b，故c+b=a²，c-b=1 两式相减可得2b=a²-1。
2（a+b+1）=2a+2b+2=2a+a²-1+2=a²+2a+1=(a+1)² 证毕。

因为 a为质数，则a²=c²-b²则aa=(c-b)(c+b)又因为偶加偶=偶，奇+奇=奇，奇+偶=奇且为质数，
奇-偶=质数或偶-奇=质数，所以b与c两数必为一奇一偶
2（a+b+1）是不为完全平方数，a为质数 假设a=7 由1知b与c两数必为一奇一偶,设b=3
2（a+b+1)=22,设b=4,2（a+b+1）=24,所以由反例知2（a+b+1）是不为完全平方数

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桐柏县13976289910： 已知a,b,c均为正整数,且满足a的平方,b的平方,c的平方,有a为质数,求证2(a+b+1)是完全平方式已知a,b,c均为正整数,且满足a的平方加上b的平方等... - ？
贸面苦参：[答案] a^2+b^2=c^2 a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b) 因为a为质数 a=c-b=c+b b=0不符合条件 a^2=c+b c-b=1 b=(a^2-1)/2 2(a+b+1)=2(a+(a^2-1)/2+1)=(a+1)^2

桐柏县13976289910： 已知a,b,c都是正整数,且满足a²+c²=10,c²+b²=13,试判断以a,b,c为三边的长能否构成三角形.已知a,b,c都是正整数,且满足a²+c²=10,c²+b²=13,... - ？
贸面苦参：[答案] 10分成两个正整数的平方和只有1²和3² 13分成两个正整数的平方和只有2²和3² 所以a=1,b=2,c=3 又1+2≯3 所以以a,b,c为三边的长不能构成三角形

桐柏县13976289910： 已知a,b,c都是正整数,且满足a的平方 c的平方=10,a的平方 b的平方=13,求a,b,c值! - ？
贸面苦参：[答案] A的平方+C的平方=10 C的平方+B的平方=13 式子相减得到(B-A)(B+A)=3, 又ABC都是正整数,那么B-A=1,B+A=3,解得B=2,A=1, 代入解得C=3; ∴B=2,A=1 C=3

桐柏县13976289910： 已知a、b、c均为正整数,且满足a^2+b^2=c^2,又a为质数.证明:(1).b与c两数必为一奇一偶 (接下) - ？
贸面苦参： 1. 根据已知假设a=2,则按照最差的情况c至少为3和b为2,那么c方-b方=5>a方=4,因此a不可能为2,所以a必为奇数,且最小值为3. 已知奇+偶=奇,奇+奇=偶,根据排除法b与c两数必为一奇一偶. 2.若满足结论,a+b必为奇数(否则带有根号2,这时就成了无理数的完全平方),则由条件a为奇数,b必为偶数. 反证法,若a为质数,b为奇数,则c为偶数,能否推出条件矛盾,不知道该如何证明了,举例子3,4,5和5,12,13满足结论,但具体该如何操作,我进行不下去了.

桐柏县13976289910： 已知a、b、c均为正整数,且满足a²+b²=c²,又a为质数 - ？
贸面苦参： 证明:(1)a²=c²-b²=(c+b)(c-b)若b、c奇偶性相同,则c+b与c-b均为偶数.设c+b=2m,c-b=2n (m、n为正整数)则a²=(c+b)(c-b)=4mn (*),故a必为偶数,又已知a为质数,所以a=2,代入(*)式,得m=n=1,所以c+b=c-b,即b=0,与题设矛盾.故b与c两数必为一奇一偶.(2) a²=(c+b)(c-b)且a为质数,c+b>c-b,故c+b=a²,c-b=1 两式相减可得2b=a²-1.2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a²-1+2=a²+2a+1=(a+1)² 证毕.

桐柏县13976289910： 已知正整数a,b,c满足a扫码下载搜索答疑一搜即得 - ？
贸面苦参：[答案] 若a > 3, 则a ≥ 4, b ≥ a+1 ≥ 5, c ≥ b+1 ≥ 6.1/(a-1)+1/(b-1)+1/(c-1) ≤ 1/3+1/4+1/5 1/(a-1) = 1.故只有a = 3.代回得1/(b-1)+1/(c-1) = 1/2, 整理得bc-...

桐柏县13976289910： 已知正整数a、b、c满足a - ？
贸面苦参：[答案] 变形解方程比较烦一点,不如用逼近的方法 首先可以确定,a=2 否则a≥3,则有1/a+1/b+1/c≤1/3+1/4+1/5

桐柏县13976289910： 已知a,b,c都是正整数.且满足a的平方加c的平方等于10,c的平方加b的平方等于13,求abc的值 - ？
贸面苦参：[答案] a²+c²=10 c²+b²=13 a=1,c=3,b=2 abc=6

桐柏县13976289910： 已知a、b、c均为正整数,且满足axa +cxc=10,cxc +bxb=13求a、b、c的值 - ？
贸面苦参：[答案] 正整数平方小于13,所以a,b,c只能取1,2,3中选取 满足题意的只能a=1,b=2,c=3

桐柏县13976289910： 已知a,b,c都是整数,且满足√((a - b)∧2)+√((c - a)∧2)=1,则|c - a|+|b - c|的值有几个 - ？
贸面苦参： √((a-b)∧2)+√((c-a)∧2)=1等价于|a-b|+|c-a|=1,因为已知a,b,c都是整数,所以|a-b|和|c-a|也都是正整数,那么只有一个是1一个是0,分情况讨论如下:【1】假如|a-b|=0且|c-a|=1 那么可以得到a=b,则|c-a|=|c-b|=1,故题目要求的|c-a|+|b-c|=1+1=2 【2】假如|a-b|=1且|c-a|=0 那么可以得到a=c,则|b-a|=|b-c|=1,故题目要求的|c-a|+|b-c|=0+1=1 综上是所有的可能,仅有2个,选B