直角三角形斜边中线等于斜边一半的证明方法求大神给个详细步骤!急!

怎么证明定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半~

直角三角形斜边中线等于斜边的一半。
设在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC的中线，求证：AD=1/2BC。
【证法1】
延长AD到E，使DE=AD，连接CE。
∵AD是斜边BC的中线，
∴BD=CD，
又∵∠ADB=∠EDC（对顶角相等），
AD=DE，
∴△ADB≌△EDC（SAS），
∴AB=CE，∠B=∠DCE，
∴AB//CE（内错角相等，两直线平行）
∴∠BAC+∠ACE=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠BAC=90°，
∴∠ACE=90°，
∵AB=CE，∠BAC=ECA=90°，AC=CA，
∴△ABC≌△CEA（SAS）
∴BC=AE，
∵AD=DE=1/2AE，
∴AD=1/2BC。

【证法2】
取AC的中点E，连接DE。
∵AD是斜边BC的中线，
∴BD=CD=1/2BC，
∵E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB（三角形的中位线平行于底边）
∴∠DEC=∠BAC=90°（两直线平行，同位角相等）
∴DE垂直平分AC，
∴AD=CD=1/2BC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。

拓展资料：
逆命题1
原命题1：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
逆命题1:如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。
逆命题1是正确的。以该条边的中点为圆心，以中线长为半径作圆，则该边成为圆的直径，该三角形的另一个顶点在圆上，该顶角为圆周角。因为直径上的圆周角是直角，所以逆命题1成立。
逆命题2
原命题2：如图，如果BD是直角三角形ABC斜边AC上的中线，那么它等于AC的一半。
逆命题2：如果线段BD的一端B是直角三角形ABC的顶点，另一端D在斜边AC上，且BD等于AC的一半，那么BD是斜边AC的中线。
逆命题2是不成立的。举一个反例。设直角三角形三边长分别为AB=3，BC=4，AC=5。斜边的一半长为2.5,斜边上的高BE=（3*4）/5=2.4,在线段AE上上必能找到一点D，使BD=2.5，但BD并不是AC边的中线，因为AC边的中点在线段EC上。
逆命题2的反例证法：
ΔABC是直角三角形，作AB的垂直平分线n交BC于D∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）以DB为半径，D为圆心画弧，与BC在D的另一侧交于C'∴DC’=AD=BD∴∠BAD=∠ABD ∠C’AD=∠AC’D （等边对等角）又∵∠BAD+∠BDA+∠C’AD+∠AC’D =180°（三角形内角和定理） ∴∠BAD+∠C’AD=90° 即：∠BAC’=90°又∵∠BAC=90° ∴∠BAC=∠BAC’ ∴C与C’重合（也可用垂直公理证明 ：假使C与C’不重合 由于CA⊥AB，C’A⊥AB 故过A有CA、C’A两条直线与AB垂直 这就与垂直公理矛盾 ∴假设不成立 ∴C与C’重合）∴DC=AD=BD∴AD是BC上的中线且AD=BC/2这就是直角三角形斜边上的中线定理。

取AC的中点E，连接DE。取BC的中点D
∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=1/2BC，∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB（三角形的中位线平行于底边）∴∠DEC=∠BAC=90°（两直线平行，同位角相等）∴DE垂直平分AC，∴AD=CD=1/2BC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。

设在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC的中线，求证：AD=1/2BC。

证明：

延长AD到E，使DE=AD，连接CE。

∵AD是斜边BC的中线

∴BD=CD

又∵∠ADB=∠EDC，AD=DE

∴△ADB≌△EDC（SAS）

∴AB=CE，∠B=∠DCE

∵∠BAC=90°

∴∠B+∠ACB=90°

∴∠DCE+∠ACB=90°

即∠ACE=90°

∵AB=CE，∠BAC=∠ACE=90°，AC=CA

∴△BAC≌△ECA（SAS）

∴BC=AE

∵AD=1/2AE

∴AD=1/2BC

对角相等

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润州区13999269165： 如何证明直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 - ？
茌刷阿尔： 如图:CD是直角三角形ABC的斜边AB上的中线. 取AC的中点E,连结DE, 因为 D是AB中点, 所以 DE是中位线,DE//BC, 因为 角ACB是直角, 所以 DE垂直于AC, 又因为 E是AC的中点, 所以 DE是AC的垂直平分线, 所以 AD=CD(线段的垂直平分线上的任意一点到线段两端的距离相等), 同理: DF是BC的垂直平分线,BD=CD, 所以 CD=AD=BD=AB/2.

润州区13999269165： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这个定理求证明! - ？
茌刷阿尔：[答案] 证法1: ΔABC是直角三角形,作AB的垂直平分线n交BC于D ∴ AD=BD(线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等) 以DB为半径,D为圆心画弧,与BC在D的另一侧交于C' ∴DC'=AD=BD∴∠BAD=∠ABD ∠C'AD=∠AC'D (等边...

润州区13999269165： 证明:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(要求画图并写出已知、求证以及证明过程) - ？
茌刷阿尔：[答案] 已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线, 求证:CD= 1 2AB; 证明:如图,延长CD到E,使DE=CD,连接AE、BE, ∵CD是斜边AB上的中线, ∴AD=BD, ∴四边形AEBC是平行四边形, ∵∠ACB=90°, ∴四边形AEBC是矩...

润州区13999269165： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如何求证? - ？
茌刷阿尔：[答案] 直角三角形内切于圆 斜边为圆的直径(圆周角=圆弧度数/2) 则斜边中点为圆心 斜边上的中线为半径=斜边/2 得证

润州区13999269165： 如何证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 - ？
茌刷阿尔： 证法1:ΔABC是直角三角形,作AB的垂直平分线n交BC于D ∴ AD=BD(线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等) 以DB为半径,D为圆心画弧,与BC在D的另一侧交于C' ∴DC'=AD=BD∴∠BAD=∠ABD ∠C'AD=∠AC'D (等...

润州区13999269165： 怎么证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 - ？
茌刷阿尔： 直角三角形斜边中线等于斜边的一半.设在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC的中线,求证:AD=1/2BC.【证法1】 延长AD到E,使DE=AD,连接CE.∵AD是斜边BC的中线,∴BD=CD,又∵∠ADB=∠EDC(对顶角相等), ...

润州区13999269165： 证明:直角三角形斜边中线等于斜边一半 - ？
茌刷阿尔： 证明:如图所示,△ABC是直角三角形 AE是Rt△ABC斜边BC的中线 倍长AE于点D 连接BD AE=DE ∠AEC=∠BED CE=BE ∴△AEC≌△DEB(SAS) ∴AC=BD 不难发现Rt△ABD≌Rt△BAC(SAS) ∴AD=BC ∴AE=½BC

润州区13999269165： 求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 - ？
茌刷阿尔：[答案] 在三角形ABC中,∠A=90°,AD为BC边上的中线,做AB、AC的中点E、F,连接ED、DF, 因为BE=EA,BD=DC, 所以ED∥AC, 又因为,∠A=90°, 所以∠BED=90°, ∠BED=∠AED=90°,BE=AE,ED=ED(三角形全等:边角边) ...

润州区13999269165： 如何证明直角三角形斜边的中线是斜边的一半 - ？
茌刷阿尔： 用作圆的方法证明,严谨的方法是:以斜边BC为直径作圆,设BA延长线交圆于D点,则根据直径所对的角为直角,可知角BDC为直角; 而角DBC=角ABC, BC=BC,所以三角形ABC与三角形DBC全等,于是A与D实为一点. 这样才可说明中线AE是该圆的一条半径,因而等于斜边的一半

润州区13999269165： 关于证直角三角形的问题啊能用斜边中线等于斜边一半来证这是直角三角形? - ？
茌刷阿尔：[答案] 可以 你可以这么理解 斜边为圆的直径 斜边的中点为圆心 那么三角形的中线长就是半径 圆的直径与圆上的点所围成的三角形都在该圆内 都是直角三角形