数学竞赛题。已知关于x的方程x^4+kx^2+4=0有四个不相等的实根，则k的取值范围是？

若关于x的方程kx 2 +（k+2）x+ k 4 =0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______~

x的方程kx 2 +（k+2）x+ k 4 =0有两个不相等的实数根，∴△=b 2 -4ac=（k+2） 2 -k 2 ＞0，且k≠0，解得k＞-1且k≠0．

要求x≠-2
方程化为|x|=kx²(x+2)
显然x=0满足上述方程，是方程的一个根
若x≠0
则方程两边同除以|x|有1=k|x|(x+2)
若x>0，则方程变为1=kx(x+2),即kx²+2kx-1=0 (1)
若x<0，则方程变为1=-kx(x+2),即kx²+2kx+1=0 (2)
若k=0，(1)(2)均无解。显然x=0不是(1)(2)的解
若方程有四个不同的实数根，之前已得到x=0是原方程的根，则要求方程(1)(2)有3个根
对(1)若判别式△=4k²+4k≥0，则k≤-1或k≥0
对(2)若判别式△=4k²-4k≥0，则k≤0或k≥1
前已分析k≠0
若k≤-1，则(1)有两个不相等实根，两根之积为-1/k>0，两根之和为-2,说明两根均为负值，但(1)方程前提条件是x>0，因此k<-1时方程(1)在x<0前提下无解，原方程不可能有4个不同的实数根。
若-1<k<0，（1）方程无根，原方程不可能有4个不同的实数根。
若0<k<1，（2）方程无根，原方程不可能有4个不同的实数根。
若k≥1，方程(1)有两个不相等实根，两根之积为-1/k0前提下，只有一个正根，则要求(2)有两个不相等的负根。则k≠1,要求k>1
对于(2)此时判别式△>0，两根之和为-2, 两根之积=1/k>0，说明(2)有两个不相等的负根，之前要求x≠-2，对(2)，若x=-2，则4k-4k+1=0，显然x=-2不是方程的根。
综上所述，要求k>1

实际很简单！
令t = x^2 ,则 t≥0
x^4+kx^2+4=0变为 t^2 + kt +4 = 0
要使x^4+kx^2+4=0有四个不相等实数根,即等价于方程t^2 + kt +4 = 0
有两个不等的正实根。

则应该有
△ = b^2-4ac = k^2 - 4 > 0 (1)式
t1+t2 = -k >0 (2)式
t1*t2 = 4 >0 (3)式
（其中t1,t2为方程的两根）
解以上三式构成的不等式组，得
k<-4
所以，符合题意的k的取值范围是{k|k<-4}
参考：http://zhidao.baidu.com/question/28630958.html?si=1

k<-4

解:
令t = x^2 ,则 t≥0
x^4+kx^2+4=0变为 t^2 + kt +4 = 0
要使x^4+kx^2+4=0有四个不相等实数根,即等价于方程t^2 + kt +4 = 0
有两个不等的正实根。

则应该有
△ = b^2-4ac = k^2 - 4*4 > 0 (1)式
t1+t2 = -k >0 (2)式
t1*t2 = 4 >0 (3)式
（其中t1,t2为方程的两根）
解以上三式构成的不等式组，得
k<-4
所以，符合题意的k的取值范围是{k|k<-4}

....楼上的厉害啊..不是数学老师吧?

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大渡口区18845407349： 数学竞赛题.已知关于x的方程x^4+kx^2+4=0有四个不相等的实根,则k的取值范围是? - ？
羊璐谓你： 实际很简单!令t = x^2 ,则 t≥0 x^4+kx^2+4=0变为 t^2 + kt +4 = 0 要使x^4+kx^2+4=0有四个不相等实数根,即等价于方程t^2 + kt +4 = 0 有两个不等的正实根. 则应该有 △ = b^2-4ac = k^2 - 4 > 0 (1)式 t1+t2 = -k >0 (2)式 t1*t2 = 4 >0 (3)式 (其中t1,t2为方程的两根) 解以上三式构成的不等式组,得 k所以,符合题意的k的取值范围是{k|k参考:http://zhidao.baidu.com/question/28630958.html?si=1

大渡口区18845407349： 已知关于x的方程X^4+ax^3+bx^2+ax+1=0有实根(a,b为实数),求a^2+b^2的最小值 - ？
羊璐谓你： 解:如果x>0,则x+1/x≥2√(x*1/x)=2,如果x-x+1/(-x)≥2,那么x+1/x≤-2,所以有x+1/x≥2或≤-2.

大渡口区18845407349： 已知关于x的一元四次方程x^4+3x^3+(k+3)x^2+(k+2)x+k=0有实数根,(1)求k的取值范围(2)若方程所有实 - ？
羊璐谓你： 1)看成关于k的式子,得:k=-(x^4+3x^3+3x^2+2x)/(x^2+x+1)=-(x^4+x^3+x^2+2x^3+2x^2+2x)/(x^2+x+1)=-(x^2+2x)=1-(x+1)^2 2)方程化为:k(x^2+x+1)+(x^2+x+1)(x^2+2x)=0(x^2+x+1)(x^2+2x+k)=0 x^2+x+1=0没实根 所以实根只能为因式:x^2+2x+k=0 两根积为-4,即k=-4 m+n=-2, mn=-4 后面的式子加上描述不清,先加上括号之类的吧.

大渡口区18845407349： 已知关于x的方程 x4 - 6x3+ax2+6x+b=0 的左边能被x - 1整除,而被x+除余72,求方程的所有解 - ？
羊璐谓你： 方程左边能被x-1整除,说明方程有一个解x=1 把x=1代入方程,可得1-6+a+6+b=0,a+b=-1 方程左边被x+2除,余72,说明方程x^4-6x^3+ax^2+6x+b-72=0有一个解x=-2 再把x=-2代入,得16+48+4a-12+b-72=0,4a+b=20 解得a=7,b=-8 再把原方程左边x^4-6x^3+7x^2+6x-8分解因式,得 x^4-6x^3+7x^2+6x-8=(x^4+7x^2-8)-6x^3+6x=(x^2-1)(x^2+8)-6x(x^2-1)=(x^2-1)(x^2-6x+8)=(x+1)(x-1)(x-2)(x-4) 直接得出方程的解x1=1,x2=-1,x3=2,x4=4

大渡口区18845407349： 已知关于x的方程x的平方—4x—m=0,m为何值,方程有2 个实数根 - ？
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大渡口区18845407349： 已知关于x的方程4^x - 2^(x+1) - b=0若方程有解求b的取值范围 当方程有解时讨论实根个数,并求方程的解 - ？
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大渡口区18845407349： 已知关于x的方程x^2 - 4x+2a - 6=0有负数解,求实数a的取值范围 - ？
羊璐谓你： 首先方程必须有解,即判别式=(-4)²-4(2a-6)≥0 解得a≤5 设关于x的方程x^2-4x+2a-6=0的两根为x1 x2 由韦达定理x1+x2=4>0 所以x1和x2不全为负数 则x1<0 或 x2<0 则x1*x2<0 由韦达定理 x1*x2=2a-6<0 解得a<3 综上:a<3

大渡口区18845407349： 已知关于x的方程x^2+4xsinθ+atanθ=0(π/12<θ<π/3)有两个相等的实数根 ①求a的取值范围. ②当a=7/4时 - ？
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