高数课本说∫上（π）下（ -π） cos（kx）cos（nx）dx=0 怎么算出来的？

高数问题计算下列定积分:∫π到0(1-cos³θ)dθ2~

提供方法，不保证结果准确.

积区域圆内部点表示（rθ）
0≤r≤1,0≤θ≤2π
该点微面积dS=rdθdr（代替dxdy）
x=rcosθy=rsinθ
dx=cosθdr-rsinθdθdy=sinθdr+rcosθdθ
dxdy=sinθcosθ（dr）2+rcos2θdrdθ-rsin2θdrdθ-r2sinθcosθ（dθ）2
=0.5sin2θ（dr）2-0.5r2sin2θ（dθ）2+rcos2θdrdθ
∫∫f（arcosθ+brsinθ+c）rdθdr
=∫∫f（r√（a2+b2）[a/√（a2+b2）.cosθ+b/√（a2+b2）.sinθ]+c）rdθdr
设a/√（a2+b2）=sinφb/√（a2+b2）=cosφ0≤φ≤2π数
=∫∫f（r√（a2+b2）[sinφcosθ+cosφsinθ]+c）rdθdr
=∫∫f（r√（a2+b2）sin（θ+φ）+c）rdθdr
令u=rsin（θ+φ）
=∫∫f（u√（a2+b2）+c）rdθdr
du=sin（θ+φ）dr+rcos（θ+φ）dθ
=（u/r）dr+r√（1-u2/r2）dθ
rdθ=[du-（u/r）dr]/√（1-u2/r2）
=[du-sin（θ+φ）dr]/cos（θ+φ）
=sec（θ+φ）du-tan（θ+φ）dr
rdθdr=sec（θ+φ）dudr-tan（θ+φ）drdr

不是算出来的，而是因为cos（kx）cos（nx）是周期函数，周期函数在一个完整周期内积分后为0。明显2π，必然是cos（kx）和cos（nx）的周期，所以2π是cos（kx）cos（nx）的周期。 至于周期函数在一个完整周期内积分后为0，你结合积分定义和画图就会明白

利用配导数乘法组
cos(kx)cos(nx)=cos(kx)cos(nx)-[sin(kx)/k][nsin(nx)]+[sin(kx)/k][nsin(nx)] 加减同一项

={cos(kx)cos(nx)-[sin(kx)/k][nsin(nx)]}+[sin(kx)/k][nsin(nx)]-[cos(kx)/k²][n²sin(nx)]+[cos(kx)/k²][n²sin(nx)] 再加减同一项

然后求积分
∫(-π~π){cos(kx)cos(nx)-[sin(kx)/k][nsin(nx)]}+{[sin(kx)/k][nsin(nx)]-[cos(kx)/k²][n²cos(nx)]}+[cos(kx)/k²][n²cos(nx)]
=(-π~π)[{-(sin(kx)/k) * cosnx}+{-(cos(kx)/k² )* nsin(nx)}](-π~π)+ (n²/k²)∫(-π~π)cos(kx)cos(nx) dx
所以

∫(-π~π)cos(kx)cos(nx) dx={-(sin(kx)/k) * cosnx}+{-(cos(kx)/k² )* nsin(nx)}](-π~π) + (n²/k²)∫(-π~π)cos(kx)cos(nx) dx

∫(-π~π)cos(kx)cos(nx) dx=[1-(n²/k²)]{-(sin(kx)/k) * cosnx}+{-(cos(kx)/k² )* nsin(nx)} ](-π~π)

然后算出得0

lz你学到什么地方了我不知道，但是我就是给你个可以算任何定义域这个积分的方法
这道题的话看一眼就知道是区间内有一个峰两头两个半谷，就用不到高数了了

只有当k,n都是自然数并且k≠n的时候才成立，这个是三角函数系的正交性。
在高数下册傅里叶级数那一章有介绍，并且证明了楼主给出的式子

∫cos(kx)(cos(nx)dx
=∫[cos(kx+nx)+cos(kx-nx) ]/2dx
∫[-π,π]cos(kx)cos(nx)dx
=(1/2)∫[-π,π] cos(kx+nx)dx +(1/2)∫[-π,π]cos(kx-nx)dx
k≠n时
=(1/(k+n))sin(k+n)π+(1/(k-n))sin(k-n)π
k,n都是整数时, sin(k+n)π=sin(k-n)π=0
k=n时
∫(cosnx)^2dx=∫(1+cos2x)dx/2=x/2+sin2x/4
∫[-π,π](cosnx)^2dx=π

可以用积化和差啊··~~~

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江都市13283592723： 定义C[-π,π]的内积为(f,g)=∫[ - π->π]f(x)g(x)dx,证明函数簇{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,Lcosnx,sinnx,L}是正交函数簇. - ？
依奚盐酸：[答案] 法一,你给的这个函数族就是傅里叶变换的基!傅里叶变换理论就是建立在这组基是正交的基础上的,找本高数书,翻到“... cosx,cos2x... ∫[-π->π]f(x)g(x)dx =∫[-π->π]1*sin(nx)dx =-[cos(nx)]/n | 上π,下-π =0 . 再证明1和cosnx,sinnx和sinmx,cosnx和...

江都市13283592723： 高数积分求救∫上限π下限0xsin3xdx - ？
依奚盐酸：[答案] 用分部积分方法做啊 ∫上限π下限0xsin3xdx =-1/3∫xdcos3x =-1/3[xcos3x-∫cos3xdx] =-1/3[xcos3x-1/3*sin3x] =-1/3*xcos3x+1/9*sin3x =-π/3π (上下限带入得)

江都市13283592723： 高等数学级数敛散性？
依奚盐酸： 1.由lim (n→∞) an/bn=1故:上面两个结论正确. 2.令:f(x)=∫(上限x,下限0) sintdt/(1+t)→ f'(x)=sinx/(1+x)当00→f(x)单调递增,且f(x)>0.由此可得:∑(n:1→∞) (-1)^(n-1)*∫(上限π/n,下限0) sinxdx/(1+x)为交错级数.令:Un=∫(上限π/n,下限0) sinxdx/(1+x)易证:1.Un>U(n+1)2.lim(n→∞) Un=0故:级数:∑(n:1→∞) (-1)^(n-1)*∫(上限π/n,下限0) sinxdx/(1+x)收敛.你的两种思路都是错误的.

江都市13283592723： 高数定积分 设k l为正整数,且k不等于l 证明∫π _π coskxsinlxdx=0 ∫π？
依奚盐酸： 提问者题 ”π -π ”指的应该是积分上限为＂π”,下限为＂-π＂吧.这三个公式是三角函数系的一部分,体现的是正交性.第一个式子是奇函数,积分域关于原点对称,∫π -π coskxsinlxdx=0 .第三个式子可以用积化和差公式∫π -π sinksinlxdx = (1/2) ∫π -π {cos[(k-l)x]-cos[(k+l)x]}dx =(1/2) ∫π -π cos[(k-l)x]dx - (1/2) ∫π -π cos[(k+l)x]dx .积分区间的长度等于 2π,是cos[(k-l)x]和cos[(k+l)x]的周期的整数倍,所以两项的积分都为零,命题得证.

江都市13283592723： 求比较∫lnsinxdx和∫lncosxdx的大小,∫上限π/4下限0 - ？
依奚盐酸： 很显然在0到π/4的范围内, sinx小于cosx, 而 ln 函数在定义域内是单调递增的 因此在0到π/4 lnsinx <lncosx 所以二者在0到π/4范围上的定积分也是 ∫lnsinxdx < ∫lncosxdx

江都市13283592723： 请教一位高数高手来解答这三道求定积分题:1.∫(上面0,下面 - 2)1/(x^2+2x+2)dx.2.∫(上面π,下面0)(1 - sin^3x)dx.3.∫(上面π,下面0)[(sinx - sin^3x)^1/2]... - ？
依奚盐酸：[答案] 1.∫(-2,0) 1/(x²+2x+2) dx=∫(-2,0) 1/[(x+1)²+1] d(x+1)=arctan(x+1)|(-2,0)=arctan1 - arctan(-1)=π/22.∫(0,π) (1-sin³x)dx=∫(0,π) dx - ∫(0,π) sin³xdx=π + ∫(0,π) sin²xdco...

江都市13283592723： 高数积分问题 连续函数f(X)=sinx+∫f(X)dx上面的积分是定积分,上限是π 下限是0求f(x),是分部做吗? - ？
依奚盐酸：[答案] 前面的步骤和上面两位一样,设∫(π)(0)f(X)dx = c 得c=∫(π)(0)(sinx+c)dx 解之c=-cosx+cx|(π)(0)=2/(1-π) 所以f(x)=sinx+2/(1-π)

江都市13283592723： 高数定积分,这个π/2是怎么换出来的,蒙了？
依奚盐酸： 已知f(x)=f(π-x),设x=π-y,y(0)=π,y(π)=0.∫xf(x)dx=∫(π-y)f(π-y)d(π-y)=-π∫f(y)dy+∫yf(y)dy因为变换x=π-y,积分限倒置,恢复积分限,需要改变符号.在区间[0,π]定积分,∫xf(x)dx=π∫f(x)dx-∫xf(x)dx=(π/2)∫f(x)dx就是这样的.别懵了.

江都市13283592723： 高数题 定积分∫上限是PI/2,下限是 - PI/2((sinx)∧2/(1+e∧x))dx - ？
依奚盐酸：[答案] 这个定积分,应该属于可积,但无法用数字或表达式来表示的类型. 其实,这种类型的定积分占定积分的绝大多数. 我们目前只能应用数值积分方法得出它的近似值.

江都市13283592723： 高数,求定积分,问一下:(6) 第二行前面的π/2是怎么来的,谢谢! - ？
依奚盐酸： 利用公式 ∫xf(sinx)dx=π/2∫f(sinx)dx, x从0到π的定积分.此结论高数课本上有的.