我想找一个初中数学关于Log的知识点,我现在已经全忘 了,希望大家能够把这个详细的说一下。
没有,高中人教版必修一才有对数函数log
1.loga+logb=logab
2.loga-logb=log(a/b)(底数必须相同)
3.loga b=1/logb a 前面是底数,后面是真数
如果a^n=b,那么logab=n。其中,a叫做“底数”,b叫做“真数”,n叫做“以a为底b的对数”。
相应地,函数y=logaX叫做对数函数。对数函数的定义域是(0,+∞)。零和负数没有对数。底数a为常数,其取值范围是(0,1)∪(1,+∞)。
编辑本段
对数的性质及推导
定义
若a^n=b(a>0且a≠1)
则n=log(a)(b)
基本性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
1、a^log(a)(b)=b
2、log(a)(a)=1
3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);
第5条的公式写法5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
6、log(a)[M^(1/n)]=log(a)(M)/n
(注:下文^均为上标符号,例:a^1即为a)
推导
1、因为n=log(a)(b),代入则a^n=b,即a^(log(a)(b))=b。
2、因为a^b=a^b
令t=a^b
所以a^b=t,b=log(a)(t)=log(a)(a^b)
令b=1,则1=log(a)(a)
3、MN=M×N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N)
由指数的性质
a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}
两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)
4、与(3)类似处理
M/N=M÷N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)
5、与(3)类似处理
M^n=M^n
由基本性质1(换掉M)
a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n
由指数的性质
a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
基本性质4推广
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推导如下:
由换底公式(换底公式见下面)[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]
log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
换底公式的推导:
设e^x=b^m,e^y=a^n
则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y
x=ln(b^m),y=ln(a^n)
得:log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
由基本性质4可得
log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}
再由换底公式
log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] --------------------------------------------(性质及推导 完)
编辑本段
函数图象
1.对数函数的图象都过(1,0)点.
2.对于y=log(a)(n)函数,
①,当0<a<1时,图象上函数显示为(0,+∞)单减.随着a 的增大,图象逐渐以(1,0)点为轴顺时针转动,但不超过X=1.
②当a>1时,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的减小,图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动,但不超过X=1.
3.与其他函数与反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称.
编辑本段
其他性质
性质一:换底公式
log(a)(N)=log(b){N}÷log(b){a}
推导如下:
N = a^[log(a){N}]
a = b^[log(b){a}]
综合两式可得
N = {b^[log(b){a}]}^[log(a){N}] = b^{[log(a){N}]*[log(b){a}]}
又因为N=b^[log(b){N}]
所以 b^[log(b){N}] = b^{[log(a){N}]*[log(b){a}]}
所以 log(b){N} = [log(a){N}]*[log(b){a}]...... [这步不明白或有疑问看上面的]
所以log(a){N}=log(b){N} / log(b){a}
公式二:log(a){b}=1/log(b){a}
证明如下:
由换底公式 log(a){b}=log(b){b}/log(b){a} ----取以b为底的对数
log(b){b}=1 =1/log(b){a} 还可变形得: log(a){b}×log(b){a}=1
在实用上,常采用以10为底的对数,并将对数记号简写为lgb,称为常用对数,它适用于求十进制整数或小数的对数。例如lg10=1, lg100=lg10^2=2, lg4000=lg(10^3×4)=3+lg4,可见只要对某一范围的数编制出对数表,便可利用来计算其他十进制数的对数的近似值。在数学理论上一般都用以无理数e=2.7182818……为底的对数,并将记号 loge。简写为ln,称为自然对数,因为自然对数函数的导数表达式特别简洁,所以显出了它比其他对数在理论上的优越性。历史上,数学工作者们编制了多种不同精确度的常用对数表和自然对数表。但随着电子技术的发展,这些数表已逐渐被现代的电子计算工具所取代。
1.如果 a^x=N (a>0,且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x=logaN ,其中 a 叫做
对数的底数,N 叫做真数。
2.以 10 为底的对数叫做常用对数,并把 log(10)N 记为 lgN 。以无理数e=2.71828…为底数的对数称为自然对数,并把 logeN 记为 lnN 。
3.指对互换:当a>0,a≠1时,a^x=N 等价于 x=logaN 。
4.负数和零没有对数。
5. loga1=0 ,logaA=1 。
6.如果 a>0,且 a≠1 ,M>0 ,N>0 ,那么:
(1)loga(M·N)= logaM + logaN ;
(2)loga(M/N)= logaM - logaN ;
(3)logaM^n=nlogaM (n∈R)。
7.log(a)b=log(c)b/log(c)a(a>0,且a≠1 ;c>0,且c≠1;b>0)
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