四种命题和充要条件的具体概念？

充分条件、必须条件和充分必须条件的定义是什么？~

大家都知道，长方形的面积等于长乘宽，用字母可以表示为S＝ab。笔者在听课中发现，有些老师在引导学生得出这个长方形面积公式之后，提醒学生说：“要求出一个长方形的面积，那么就必须知道它的长和宽。”这样的表达其实是错误的。如果我们能弄清四种命题的关系以及充分条件、必要条件和充要条件的含义，就能找到错误的原因。

从结构上分析，每个几何命题都由两部分组成，即条件部分与结论部分，它表明条件与结论之间的某种因果关系，形式上可以表达为“如果……（条件）那么……（结论）”。用A表示条件，B表示结论，就可以写成：

如果有A，那么有B; 或A?圯B。

用“如果……（条件）那么……（结论）”这种形式，对长方形的长和宽与面积之间的关系进行表达，可以有以下一些表达方式：

（1）如果已知一个长方形的长和宽，那么就可以求出（或确定）这个长方形的面积；

（2）如果已知一个长方形的面积，那么就可以求出（或确定）这个长方形的长和宽；

（3）如果不知道一个长方形的长和宽，那么就不能求出（或确定）这个长方形的面积；

（4）如果不知道长方形的面积，那么就不能求出（或确定）这个长方形的长和宽。

在上面的这些命题中，有肯定语气的命题和否定语气的命题。一个肯定语气的命题，以否定语气叙述时就得到了另一个命题；再把这两个命题的条件和结论交换位置又可以得到两个不同的命题。所以命题有四种形式，即原命题、逆命题、否命题和逆否命题。上面列举的四个命题（1）～（4）依次可称为原命题、逆命题、否命题和逆否命题。

如果不管命题的具体内容，只从它的结构形式来研究，上述四种命题可以简单表述为：

原命题：如果有A，那么有B；或A?圯B。

逆命题：如果有B，那么有A；或B?圯A。

否命题：如果没有A，那么没有B；或A?圯B。

逆否命题：如果没有B，那么没有A；或B?圯A。

这四种命题之间存在着下面的关系：

……

由上面的例子可知：成互逆或互否关系的两个命题，不一定同真同假；但互为逆否关系的两个命题，真则同真、假则同假。这种真则同真、假则同假的两个命题叫做等价命题。因此，原命题与它的逆否命题是等价的，原命题的逆命题与否命题也是等价的。利用命题的这种等价关系，要证明一个数学命题时，可以用证明和它等价的命题来代替，这样，数学命题的证明就多了一条思路。

弄清了四种命题及它们的关系后，我们可以进一步研究充分条件、必要条件和充要条件。

一个命题表示条件与结论之间的某种关系。某一事物的发生与存在，会促使另一个事物的发生与存在，或某一事物的不发生与不存在，也会促使另一事物的不发生或不存在。事物之间的这种关系，叫做条件关系。其中有充分条件、必要条件和充要条件等关系。

如果A成立，那么B成立，即A?圯B，这时我们说条件A是B成立的充分条件。“充分”的含义是：为使B成立，具备条件A就足够了。用日常语言表达充分条件的含义就是“有之必然”。例如：

命题：如果知道一个长方形的长和宽，那么就可以求出（或确定）这个长方形的面积。

这个命题的条件和结论分别是：

条件：知道一个长方形的长和宽；

结论：可以求出（或确定）这个长方形的面积。

显然，上面的条件是结论成立的充分条件。

如果A不成立，那么B也不成立，这时条件A是B的必要条件，即：A?圯B。必要条件的特征是“无之必不然”。由命题之间的等价关系可知，命题A?圯B与命题B?圯A等价。也就是说，我们要判断条件A是不是结论B成立的必要条件时，只要把B作为条件，A变为结论，判断条件B是不是结论A成立的充分条件即可。

综上所述，我们可以得出：如果A?圯B，那么A是B成立的充分条件。如果B?圯A，那么A是B成立的必要条件。

如果既有A?圯B又有B?圯A，那么A既是B成立的充分条件，又是B成立的必要条件。这时，我们就说A是B成立的充分而且必要条件，简称充要条件。充要条件的特征是“有之必然，无之必不然”。

有了上面的这些逻辑知识，我们就可以判断本文开头时一些老师在课堂上说的命题是否正确。“要求出一个长方形的面积，那么就必须知道它的长和宽。”显然，知道长方形的长和宽并不是求出长方形面积的必要条件。也就是说，要求出一个长方形的面积，不是必须要知道它的长和宽。如我们要求出长方形M的面积，而知道长方形N的面积是10平方米，长方形M的面积是长方形N的2倍，显然我们就可以求出长方形M的面积是20平方米。而如果知道一个长方形的长和宽，当然就可以求出这个长方形的面积。就是说条件“知道长方形的长和宽”是结论“求出长方形面积”的充分条件，但并非必要条件。

笔者在听课中也曾发现，一个老师在梯形的面积计算公式S＝（a+b）×h÷2的教学中，也说成：“要求出梯形的面积就必须知道它的上底、下底和高。”在这个老师上完课后，笔者对他所教班级的学生进行测查与访谈，用了以下三个题目：

1．已知一个梯形的上底是6米，下底是9米，高是4米，求这个梯形的面积。

2．已知一个梯形的上底与下底的和是15米，高是4米，求这个梯形的面积。

3．有一个梯形的菜园（如图），一面靠墙，其余三面用篱笆围成。篱笆总长是19米，求这个菜园的面积。

……

全班正好50个人，测查结果是第1题49人对，1人错（这个学生在运用梯形面积计算公式时，忘记除以2），这样全班的正确率是98%；第2题做对的学生是9人，正确率是18%；第3题只有2人做对，正确率是4%。我们对做对第1题但不会做第2题的学生进行访谈，学生的回答基本上都是：“只知道上底与下底的和，不知道上底与下底分别是多少，因此，不能用公式求出这个梯形的面积。”对做对第2题的9个学生进行访谈，其中有4个学生说了这样的意思：“我开始也不知道怎么做，不能求出上底与下底到底是多少，但我再看数据与公式，发现知道上底与下底的和，也可以直接用公式。做完以后，我发现知道上底与下底的和更好，不需要再做加法。”其余的5个学生能够根据公式的特点，直接求出面积。从上面的数据和访谈中可以看出，学生还是受到了“要求出梯形的面积，就必须知道它的上底、下底和高”这样的命题的影响。

一个命题的条件对于结论来说是充分条件、必要条件还是充要条件这个问题，不但在空间与图形知识的教学中会遇到，在其他领域中，如数与代数的教学中也有这样的问题。

例如，我们常常让学生用交换加数位置的方法，也就是运用加法交换律来进行验算。如计算5437＋1738，即用下面的格式：

……

这时教师常说：如果两次计算的结果相等，那么计算就正确。其实这个命题是一个假命题，也就是说老师这样的说法是错误的。

事实上，根据加法交换律可以得出：如果两次计算都正确，那么两次计算的结果相等。这个命题是正确的，但它的逆命题不正确。即我们不能由“如果两次计算的结果相等”，来推出“两次计算都正确”。我们设想如果一个学生总是忘记进位，即遇到进位时他总是不进，这样他的计算如下：

……

显然两次计算的结果也相等，但结果都是不正确的。由此可见，条件“两次计算的结果相等”是结论“计算正确”的必要条件，但并不是充分条件。这种验算方法并不是一种“可靠”的方法。

在小学数学中，有一些命题的条件对于结论来说是充分而不必要的，也有一些命题的条件对于结论来说是必要而不充分的。如，“一个三角形的两边相等”是“这个三角形是等边三角形”的必要但不充分条件。还有一些命题的条件对于结论来说是充要条件。如，“一个自然数各个数位上数的和是3的倍数”是“这个数是3的倍数”的充要条件。小学数学教师只有明确条件与结论间的各种关系，才能更好地实施数学教学。

充分必要条件：也称充要条件，一种数学概念

1．命题(proposition):可以判断真假的语句

2、推出关系：

一般地，如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号α⇒β表示，读作“α推出β”。换言之，α⇒β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题。

3、α与β等价：

如果α⇒β，β⇒α，那么记作 ，叫做α与β等价

4、传递性：α⇒β，β⇒γ，则α⇒γ

5.四种命题的形式及其之间的关系：

原命题：  

逆命题：  

否命题：   

逆否命题： 

并在四种命题之间的相互关系如下：

6.等价命题：如果 , 是两个命题， ，那么 , 叫做等价命题。

（1）①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题 逆命题.

②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题 逆否命题.

例：①若 ，则 应是真命题.

解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.

7. 充分必要条件：

一般地，用α、β分别表示两件事，如果α这件事成立，可以推出β这件事也成立，即α⇒β，那么α叫做β的充分条件（Sufficient Condition）。β叫做α的必要条件（Necessary Condition）。

经常可以分成以下四种情况：

（1）α是β的充分不必要条件，即α⇒β,而β⇏α;

(2) α是β的必要不充分条件，即α⇏β,而β⇒α;

(3) α是β的既充分又必要条件，即α⇒β，又有β⇒α;

(4) α是β的既不充分也不必要条件，即α⇏β，又有β⇏α。

小范围推出大范围；大范围推不出小范围

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会宁县15281096863： 四种命题和充要条件的具体概念? - ？
诺奚赛比： 1.命题(proposition):可以判断真假的语句 2、推出关系: 一般地,如果命题α成立可以推出命题β也成立,那么就说由α可以推出β,并用记号α⇒β表示,读作“α推出β”.换言之,α⇒β表示以α为条件,β为结论的命题是真命题. 3、α与β等价...

会宁县15281096863： 充要条件的概念是什么? - ？
诺奚赛比：[答案] 充分必要条件也即充要条件,意思是说,如果能从命题p推出命题q,则也能从命题q推出命题p . 如果有事物情况A,则必然有事物情况B;如果没有事物情况A,则必然没有事物情况B,A就是B的充分必要条件(简称:充要条件)

会宁县15281096863： 充分条件,必要条件,充要条件的定义 - ？
诺奚赛比： 充分条件:如果A能推出B,那么A就是B的充分条件.其中A为B的子集,即属于A的一定属于B,而属于B的不一定属于A,具体的说若存在元素属于B的不属于A,则A为B的真子集;若属于B的也属于A,则A与B相等. 必要条件:如果没有A,...

会宁县15281096863： 命题的四种形式是什么? ？
诺奚赛比： 命题的四种形式是原命题、逆命题、否命题和逆否命题.1、原命题和逆命题:如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,则这样的两个命题互称为原命...

会宁县15281096863： 逻辑学中假言命题的充分条件和含义? - ？
诺奚赛比：[答案] 假言命题有充分条件假言命题、必要条件假言命题和充分必要条件假言命题三种. 充分条件假言命题:如果A,那么B.意味着只要条件A是真的,那么B一定是真的.

会宁县15281096863： 关于充要条件的概念.“已知命题p和q,如果p能推出q,那么p是q的充分条件,q是p的必要条件;如果p能推出q,q也能推出p,那么p是q的充要条件,q也是p... - ？
诺奚赛比：[答案] 如果p能推出q,那么p是q的充分条件,q是p的必要条件; p=>q 真命题,该命题的逆命题为真,逆命题为如果p是q的充分条件,q是p的必要条件,那么p能推出q如果p能推出q,q也能推出p,那么p是q的充要条件,q也是p的充要条件; pq ...

会宁县15281096863： 必要条件与充分条件的定义是什么? - ？
诺奚赛比： 必要条件:如果能从命题p推出命题q,条件q是条件p的必要条件 如果无A必无B,有A可能有B也可能没有B,则A是B的必要条件. 例如,没有电,电灯就不会亮.有电,电灯可能亮也可能不亮,所以,电是电灯亮的必要条件. 充分条件: 如果有甲必有乙,无甲则可能无乙也可能有乙,那么甲就是乙的充分条件.例如,一个人如果会生孩子,那就必然是女的;如果不会生孩子,那就可能不是女人但也可能是女人.因此,会生孩子是女人的充分条件. 充分必要条件:简称为充要条件. 就是既充分,又必要的条件. 如a成立,则b成立,如a不成立,则b也不成立.那a就是b的充要条件.

会宁县15281096863： 名词解释 充要条件 - ？
诺奚赛比： 当命题为真时,A称为B的充分条件. 当命题为真时,即是,B称为A的必要条件. 当命题和都为真时,A是B的充分必要条件,同时,B也是A的充分必要条件. 充分必要条件,亦可以简称为充要条件. ...................... A-->B:A为充分条件,B为必...

会宁县15281096863： 谁有高中数学选修1 - 2的公式,文科的 - ？
诺奚赛比：[答案] 第一部分 简单逻辑用语 1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句. 2、“若,则”形式的命题中的称为命题的条件,称为命题的结论. 3、原命题:“若,则” 逆命题: “若,...

会宁县15281096863： 命题的概念是什么啊…(高二数学选修2 - 1) - ？
诺奚赛比： 一、命题 1、对事物做出判断的语句叫做命题,正确的命题叫做真命题,错误的命题叫做假命题. 2、“若p,则q”形式的命题中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论. 二、四种命题 1、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另外一...