怎样用向量法证线面平行

高中数学如何用向量法证线线，线面平行？~

①已知ABCD四点 A（x1，y1，z1）B（x2，y2，z2）C（x3，y3，z3）D（x4，y4，z4）
AB向量=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）CD向量=（x4-x3，y4-y3，z4-z3）
若（x4-x3）/（x2-x1）=（y4-y3）/（y2-y1）=（z4-z3）/（z2-z1）则AB∥CD
②面α法向量为n向量=（x5，y5，z5）
若n向量·AB向量=0即n向量⊥AB向量 （x2-x1）*x5+（y2-y1）*y5+（z2-z1）*z5=0，则AB平行于面α

待定系数法求出面的法向量（任找平面上两个不平行向量用待定系数法求出法向量）,如果垂直于直线的方向向量则线面平行（相乘等于零……）

定理1

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

已知：a∥b，a⊄α，b⊂α，求证：a∥α

 反证法证明：假设a与α不平行，则它们相交，设交点为A，那么A∈α

∵a∥b，∴A不在b上

在α内过A作c∥b，则a∩c=A

又∵a∥b，b∥c，

∴a∥c，与a∩c=A矛盾。

∴假设不成立，a∥α

向量法证明：设a的方向向量为a，b的方向向量为b，面α的法向量为p。

∵b⊂α

∴b⊥p，即p·b=0

∵a∥b，由共线向量基本定理可知存在一实数k使得a=kb

那么p·a=p·kb=kp·b=0
即a⊥p

∴a∥α

定理2

平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。

已知：a⊥b，b⊥α，且a不在α上。求证：a∥α

证明：设a与b的垂足为A，b与α的垂足为B。

假设a与α不平行，那么它们相交，设a∩α=C，连接BC由于不在直线上的三个点确定一个平面，因此ABC首尾相连得到△ABC

∵B∈α，C∈α，b⊥α

∴b⊥BC，即∠ABC=90°

∵a⊥b，即∠BAC=90°

∴在△ABC中，有两个内角为90°，这是不可能的事情。

∴假设不成立，a∥α

扩展资料

法向量，是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。法向量适用于解析几何。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。

计算

对于像三角形这样的多边形来说，多边形两条相互不平行的边的叉积就是多边形的法线。

用方程ax+by+cz=d表示的平面，向量(a,b,c)就是其法线。

如果S是曲线坐标x(s,t)表示的曲面，其中s及t是实数变量，那么用偏导数叉积表示的法线为

如果曲面S用隐函数表示，点集合(x,y,z)满足 F(x,y,z)=0，那么在点(x,y,z)处的曲面法线用梯度表示为

如果曲面在某点没有切平面，那么在该点就没有法线。例如，圆锥的顶点以及底面的边线处都没有法线，但是圆锥的法线是几乎处处存在的。通常一个满足Lipschitz连续的曲面可以认为法线几乎处处存在。

参考资料来源：百度百科-线面平行

参考资料来源：百度百科-法向量

这条线的向量平行于平面内某一直线的向量就可以了，这比较常用，另外如果证明这条线的向量垂直于平面法向量且这条线不在平面内，那也可以证明。

①已知ABCD四点 A(x1，y1，z1)B(x2，y2，z2)C(x3，y3，z3)D(x4，y4，z4)；

AB向量=(x2-x1，y2-y1，z2-z1)CD向量=(x4-x3，y4-y3，z4-z3)；

若(x4-x3)/(x2-x1)=(y4-y3)/(y2-y1)=(z4-z3)/(z2-z1)则AB∥CD。

②面α法向量为n向量=(x5，y5，z5)；

若n向量·AB向量=0即n向量⊥AB向量 (x2-x1)*x5+(y2-y1)*y5+(z2-z1)*z5=0，则AB平行于面α。

扩展资料：

如果证明线面垂直：找出面上两条不平行直线的向量m，n，已知直线的向量y与m，n分别相乘等于0即可。

待定系数法求出面的法向量（任找平面上两个不平行向量用待定系数法求出法向量），如果垂直于直线的方向向量则线面平行（相乘等于零）。

向量证明线面平行：求出面的法向量m，在将线的向量n与法向量m垂直(即二者相乘等于0)即可。

参考资料来源：百度百科——线面平行

证明面的法向量和线正交，同时线不在面上。

• 对平面ax+by+cz+d = 0, 其法向量为(a,b,c).

• 对方向向量为(u,v,w)的直线，应该有(a,b,c)与(u,v,w)点积为0，即便au+bv+cw=0.

• 直线方向向量完全取决于直线的表达方式，如果是直线方程或参数方程那么方向向量可以直接知晓，如果是过A，B两点式，直接用A-B即可。

• 对线不在面上的问题，任取线上一点代入平面公式即可。
  

这条线的向量平行于平面内某一直线的向量就可以了，这比较常用，另外如果证明这条线的向量垂直于平面法向量且这条线不在平面内，那也可以证明

这条线的向量平行于平面内某一直线的向量就可以了，这比较常用，另外如果证明这条线的向量垂直于平面法向量且这条线不在平面内，那也可以证明

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晋安区18234893477： 如何用向量法证明线面平行? - ？
郯祝威凡：[答案] 待定系数法求出面的法向量(任找平面上两个不平行向量用待定系数法求出法向量),如果垂直于直线的方向向量则线面平行(相乘等于零……)

晋安区18234893477： 立体几何如何用向量法证线面平行?是求出平面法向量然后证那条线与法向量垂直? - ？
郯祝威凡：[答案] 这位同学你好, 向量证明线面平行:求出面的法向量m,在将线的向量n与法向量m垂直(即二者相乘等于0)即可. 如果证明线面垂直:找出面上两条不平行直线的向量m,n,已知直线的向量y与m,n分别相乘等于0即可.

晋安区18234893477： 在向量中怎样证明一条直线平行于一个平面 - ？
郯祝威凡： 一条直线平行于一个平面,则直线的方向向量与这个平面的法向量垂直.故只要证明直线的方向向量与这个平面的法向量的数量积为0即可.

晋安区18234893477： 请问:证明一直线与一平面平行如果用向量证怎么证? - ？
郯祝威凡：[答案] 一直线与一平面平行,即该直线与平面的法向量垂直. 记直线的方向向量为l(向量),平面的法向量为n(向量),则要证明直线与一平面平行,只需证l(向量)▪n(向量)= 0(两向量的内积为0)

晋安区18234893477： 怎样用向量法证明直线跟平面平行了啊?麻烦告诉我 - ？
郯祝威凡： a‖b<==>a=λb<==>x1x2-y1y2=0 直线与面,面与面之间的垂直,平行,可用下述方法的特例来解决: 直线与面的夹角:先求出面的法向量和直线的向量,然后用两向量的数量积的公式就可以求出两直线的夹角,线面角就是它的余角. 二面角:求出两个面的法向量 ,可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积 .如过在两面的同一边可以看到两向量的箭头或箭尾相交 ,那么二面角就是上面求的两法向量的夹角的补角 ;如果只能看到其中一个的箭头和另一个的箭尾相交 ,那么上面两向量的夹角就是所求. 两直线的夹角:用两向量的数量积的公式就可以求出.空间向量的夹角公式:cos夹角=a向量点乘b向量/(a向量的模*b向量的模

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郯祝威凡：[答案] 设:向量a=(x1,y1),向量b=(x2,y2),b≠0 a⊥b(a≠0)a*b=0x1x2+y1y2=0 a‖ba=λbx1x2-y1y2=0 直线与面,面与面之间的垂直,平行,可用下述方法的特例来解决:直线与面的夹角:先求出面的法向量和直线的向量,然后用两向量的数...

晋安区18234893477： 如何用向量法证明线和面平行以及四点共面 - ？
郯祝威凡： 只要证明任意两点连线的一个向量能被其余三个向量唯一表示,且系数不全为0,那么证明四点共面,一条线的方向向量与平面内的一个向量平行

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郯祝威凡： 证明如下:以OB为x轴,OC为y轴,OP为z轴建立空间直角坐标系, 因为△ABC为等腰直角三角形,AC=16,所以OB=OC=8,OG=4, 又因为PA=PC,所以△PAC为等腰三角形,O为AC中点,所以PO⊥AC,PO=6 有题可知,面PAC⊥面ABC,...

晋安区18234893477： 空间向量怎么证明线面平行 - ？
郯祝威凡：[答案] 直线上任取两点计算向量,作为直线的方向向量m. 平面内任取两个不共线向量,设平面的法向量n,由n和面内两个向量的数量积为0,能够取得一个平面的法向量n. 如果m与n的数量积为0,则线面平行(线在面外)

晋安区18234893477： 如何用空间向量知识求证直线与平面平行? - ？
郯祝威凡： 解题的基本方法: 1)在立体几何图形中,选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系 中 2)若问题中没有给出坐标计算单位,可选择合适的线段设置长度单位; 3)计算有关点的坐标值,求出相关向量的坐标; 4)求解给定问题 证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量,分别与已知直线向量求数积,只要分别为零,即可说明结论. 证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量.这样就转化为证明二个向量平行的问题,只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍,即可