数学有那些悖论问题？对它们有什么养的认识与思考

什么是悖论?简述你对数学勃论的认识~

悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”,意思是“多想一想”.这个词的意义比较丰富,它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论,那些结论会使我们惊异无比.
悖论是自相矛盾的命题.即如果承认这个命题成立,就可推出它的否定命题成立；反之,如果承认这个命题的否定命题成立,又可推出这个命题成立
如果承认它是真的,经过一系列正确的推理,却又得出它是假的；如果承认它是假的,经过一系列正确的推理,却又得出它是真的.
古今中外有不少著名的悖论,它们震撼了逻辑和数学的基础,激发了人们求知和精密的思考,吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力.解决悖论难题需要创造性的思考,悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念.
　　最早的悖论被认为是古希腊的"说谎者悖论".
原理
　　同时假定两个或更多不能同时成立的前提,是一切悖论问题的共同特征.
形式
　　悖论有三种主要形式.
　　1．一种论断看起来好像肯定错了,但实际上却是对的（佯谬）.
　　2．一种论断看起来好像肯定是对的,但实际上却错了（似是而非的理论）.
　　3．一系列推理看起来好像无懈可击,可是却导致逻辑上自相矛盾.
类型
　　悖论主要有逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等.
求采纳

“……古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了食粮。”
——N·布尔巴基

什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：由它的真，可以推出它为假；由它的假，则可以推出它为真。由于严格性被公认为是数学的一个主要特点，因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性的怀疑。如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人们认识上的普遍危机感。在这种情况下，悖论往往会直接导致“数学危机”的产生。按照西方习惯的说法，在数学发展史上迄今为止出现了三次这样的数学危机。


希帕索斯悖论与第一次数学危机

希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。因此，我们从勾股定理谈起。勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国，最早的一部天文数学著作《周髀算经》中就已有了关于这一定理的初步认识。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。

在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。


毕达哥拉斯






毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。


欧多克索斯






二百年后，大约在公元前370年，才华横溢的欧多克索斯建立起一套完整的比例论。他本人的著作已失传，他的成果被保存在欧几里德《几何原本》一书第五篇中。欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一“逻辑上的丑闻”，并保留住与之相关的一些结论，从而解决了由无理数出现而引起的数学危机。但欧多克索斯的解决方式，是借助几何方法，通过避免直接出现无理数而实现的。这就生硬地把数和量肢解开来。在这种解决方案下，对无理数的使用只有在几何中是允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。一直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根。无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。


贝克莱悖论与第二次数学危机

第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。


贝克莱主教



1734年，贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》。在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。例如他指责牛顿，为计算比如说 x2 的导数，先将 x 取一个不为0的增量 Δx ，由 (x + Δx)2 - x2 ，得到 2xΔx + (Δx2) ，后再被 Δx 除，得到 2x + Δx ，最后突然令 Δx = 0 ，求得导数为 2x 。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。

数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。


牛顿与莱布尼兹






针对贝克莱的攻击，牛顿与莱布尼兹都曾试图通过完善自己的理论来解决，但都没有获得完全成功。这使数学家们陷入了尴尬境地。一方面微积分在应用中大获成功，另一方面其自身却存在着逻辑矛盾，即贝克莱悖论。这种情况下对微积分的取舍上到底何去何从呢？

“向前进，向前进，你就会获得信念！”达朗贝尔吹起奋勇向前的号角，在此号角的鼓舞下，十八世纪的数学家们开始不顾基础的不严格，论证的不严密，而是更多依赖于直观去开创新的数学领地。于是一套套新方法、新结论以及新分支纷纷涌现出来。经过一个多世纪的漫漫征程，几代数学家，包括达朗贝尔、拉格朗日、贝努力家族、拉普拉斯以及集众家之大成的欧拉等人的努力，数量惊人前所未有的处女地被开垦出来，微积分理论获得了空前丰富。18世纪有时甚至被称为“分析的世纪”。然而，与此同时十八世纪粗糙的，不严密的工作也导致谬误越来越多的局面，不谐和音的刺耳开始震动了数学家们的神经。下面仅举一无穷级数为例。

无穷级数S＝1－1＋1－1＋1………到底等于什么？

当时人们认为一方面S＝（1－1）＋（1－1）＋………＝0；另一方面，S＝1＋（1－1）＋（1－1）＋………＝1，那么岂非0＝1？这一矛盾竟使傅立叶那样的数学家困惑不解，甚至连被后人称之为数学家之英雄的欧拉在此也犯下难以饶恕的错误。他在得到

1 + x + x2 + x3 + ..... = 1/(1- x)

后，令 x = －1，得出

S＝1－1＋1－1＋1………＝1／2！

由此一例，即不难看出当时数学中出现的混乱局面了。问题的严重性在于当时分析中任何一个比较细致的问题，如级数、积分的收敛性、微分积分的换序、高阶微分的使用以及微分方程解的存在性……都几乎无人过问。尤其到十九世纪初，傅立叶理论直接导致了数学逻辑基础问题的彻底暴露。这样，消除不谐和音，把分析重新建立在逻辑基础之上就成为数学家们迫在眉睫的任务。到十九世纪，批判、系统化和严密论证的必要时期降临了。


柯西






使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。柯西于1821年开始出版了几本具有划时代意义的书与论文。其中给出了分析学一系列基本概念的严格定义。如他开始用不等式来刻画极限，使无穷的运算化为一系列不等式的推导。这就是所谓极限概念的“算术化”。后来，德国数学家魏尔斯特拉斯给出更为完善的我们目前所使用的“ε-δ ”方法。另外，在柯西的努力下，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在了较坚实的基础上。不过，在当时情况下，由于实数的严格理论未建立起来，所以柯西的极限理论还不可能完善。

柯西之后，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究，都将分析基础归结为实数理论，并于七十年代各自建立了自己完整的实数体系。魏尔斯特拉斯的理论可归结为递增有界数列极限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托尔提出用有理“基本序列”来定义无理数。1892年，另一个数学家创用“区间套原理”来建立实数理论。由此，沿柯西开辟的道路，建立起来的严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作。数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性，从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。重建微积分学基础，这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力而胜利完成了。微积分学坚实牢固基础的建立，结束了数学中暂时的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。


罗素悖论与第三次数学危机

十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”


康托尔






可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。

罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。


罗素






其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。如1897年，布拉利和福尔蒂提出了最大序数悖论。1899年，康托尔自己发现了最大基数悖论。但是，由于这两个悖论都涉及集合中的许多复杂理论，所以只是在数学界揭起了一点小涟漪，未能引起大的注意。罗素悖论则不同。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。如G.弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心地说：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”戴德金也因此推迟了他的《什么是数的本质和作用》一文的再版。可以说，这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。

危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”1908年，策梅罗在自已这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。

以上简单介绍了数学史上由于数学悖论而导致的三次数学危机与度过，从中我们不难看到数学悖论在推动数学发展中的巨大作用。有人说：“提出问题就是解决问题的一半”，而数学悖论提出的正是让数学家无法回避的问题。它对数学家说：“解决我，不然我将吞掉你的体系！”正如希尔伯特在《论无限》一文中所指出的那样：“必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。人们试想：在数学这个号称可靠性和真理性的模范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至于数学思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展，这或许就是数学悖论重要意义之所在吧。
参考资料：http://www.szjt.org/fjwh/contents/kexue28.htm

从字面上讲就是自相矛盾，讲不通，说不明的荒谬理论。但悖论并非无稽之谈，它在荒诞中蕴含着哲理，给人以启迪。沿着它所指引的推理思路，你会感到走上了一条繁花似锦的羊肠小道，开始觉得顺理成章，而后会不知不觉陷入自相矛盾的泥潭。一旦将矛盾揭破，又令人回味无穷，感到滑稽可笑。经过认真的思考，又提高了人们认识问题的能力。

有人把悖论分为两类。一类是逻辑和数学型悖论，是由逻辑和数学中的概念构成的。另一类是语文学悖论，是由命名和真、假等概念构成的。在数学研究中更注重第一类悖论。这类悖论的通常形式是：如果承认某命题正确，就会推出它是错误的；如果认为不正确，就会推出它是正确的。

现在用一个最简单的“说谎者悖论”作例子，这是公元前4世纪希腊哲学家欧几里得提出来的。

原命题为：“我正在说的这句话是谎话。”

如果你认为他说的话是一句真，那么根据这句话本身的内容来分析，他说的就是一句谎话。如果你认为他的话是谎话，那么既然说的是谎话，分析的结果他所说的就应该是真话。到底他说的是真话还是谎话，谁也说不清了。

类似的悖论早在公元前6世纪就有人提出来了，那是一位克里特岛的哲学家埃皮曼尼克斯提出的命题。他说：“克里特岛的人每一句话都是谎话”。试问这句话本身是真话还是谎话？如果我们认为它是真话，那么埃皮曼尼克斯本人就是克里特岛人，他的话应该是谎话。如果我们认为它是谎话，说明克里特岛人是有人讲真话的，当然这个命题就应该被否定。所以无论怎么看，都难以自圆其说。不过这个悖论与前一个的不同之处在于，它只能从肯定的前提推出否定的结果，却不能从否定的前提推出肯定的结果，因此算不上一个最典型的悖论。

悖论读来有趣，却常令科学家们感到苦恼。因为严密的科学都应该是真实可靠的。特别是数学，以严密的逻辑推理为基础，更容不得任何自相矛盾的命题或结论。例如“不在同一直线上的3点决定一个平面”的论断是正确的，那么只用两点词或同一直线上的3点或不在同一直线上的4点都不能决定一个平面。但悖论却破坏了这种严密性，它反映了数学科学并不是铁板一块，在它大厦中还存在着裂缝。它的一些概念和原理之中还存在着矛盾和不完善、不准确之外，有待于科学家们进一步探讨和解决。数学正是在不断发现和解决矛盾的过程中发展起来的。尽管从古希腊到今天，悖论给许多人带来了快乐，人们通常把它列入“趣味数学”的范畴，但那些伟大的科学家和数学家们却总是极其严肃地对待它。事实上，现代逻辑学和集合论中的一些巨大的进展正是努力解决了经典悖论的直接结果。

悖论故事二：在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。 ”有人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。

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龙泉驿区13335957439： 数学中的悖论你知道哪些?例如……证明:0.9的循环等于1.因为0.9循环等于0.3循环乘以3,0.3循环等于三分之一,所以三分之一乘以三就等于1,所以0.9循环... - ？
仍清美可：[答案] 悖论是一种认识矛盾,它既包括逻辑矛盾、语义矛盾,也包括思想方法上的矛盾.数学悖论作为悖论的一种,主要发生在数学研究中.按照悖论的广义定义,所谓数学悖论,是指数学领域中既有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾,这种认识矛盾可...

龙泉驿区13335957439： 有哪些经典的数学悖论和科学悖论 - ？
仍清美可： 数学悖论:说谎者悖论、芝诺悖论、上帝悖论、硬币悖论、预想不到的考试的悖论等; 科学悖论: 阿基里斯悖论、二分法悖论、

龙泉驿区13335957439： 数学中有哪些著名的悖论? - ？
仍清美可： 理发师悖论(罗素悖论):某村只有一人理发,且该村的人都需要理发,理发师规定,给且只给村中不自己理发的人理发.试问:理发师给不给自己理发? 如果理发师给自己理发,则违背了自己的约定;如果理发师不给自己理发,那么按照他...

龙泉驿区13335957439： 给我几个数学史上有名的数学谬论!!! - ？
仍清美可： 之诺悖论 贝克莱悖论 罗素悖论 康托悖论 上述4个著名的数学史悖论,也导致了三次数学基础危机.每个悖论都有一个漫长的故事,恕不一一叙述.

龙泉驿区13335957439： 数学史上的悖论都有什么啊？
仍清美可： 数学史上的悖论很多哈,先说几个最简单的.有名的“理发师悖论”:在萨维尔村,理发师挂出一块招牌:“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发.”有人问他:“你给不给自己理发?”理发师顿时无言以对.还有一个很简单的:我在说谎.具体的你可以看这个网站: http://baike.baidu.com/view/2464.htm

龙泉驿区13335957439： 著名的悖论有哪些? (经济学 政治学 物理学 心理学 社会学 哲学各举几例) - ？
仍清美可： 1、“理发师悖论”,又称为“罗素悖论”,是由数学家伯特兰·罗素(Bertrand Russell)在1901年提出.悖论内容:一个城市里唯一的理发师,只会替所有不为自己理发的人理发.那他该不该为自己理发?答案:这个城市不可能存在.因为(...

龙泉驿区13335957439： 日常生活中有哪些悖论问题啊,举几个例子,数学老师急需 - ？
仍清美可： 悖论是自相矛盾的命题.即如果承认这个命题成立,就可推出它的否定命题成立;反之,如果承认这个命题的否定命题成立,又可推出这个命题成立 如果承认它是真的,经过一系列正确的推理,却又得出它是假的;如果承认它是假的,经过一系...

龙泉驿区13335957439： 有哪些有趣的定律,悖论,公式 - ？
仍清美可： 数学中的悖论或者谬误,常常都是因为违反某条数学规则或数学定律而导致的结果.这使得这些悖论成为说明这些规则的优秀载体,因为它们的违规导致了某些相当“奇异”的结果,比如说1=2,或1=0,简直荒谬!它们显然具有娱乐性,因为它们非常微妙地将我们引向了一个不可能的结论.通向这个怪异结果的每一步看起来似乎都是正确的,这个事实常常令我们倍感困惑.这相当具有激励作用,并且会使结论令人印象深刻得多.同样,这也是探究数学边界的一个良好资源.为什么不允许除以0?为什么根式的乘积并不总是等于乘积的根式?这只是众多悖论中的几个问题,揭示这些“滑稽”的结果很有乐趣,而且它们具有很高的研究价值.

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