圆周角与圆心角关系的证明的三种情况的具体证法

如何证明圆周角和圆心角3种位置的关系~

已知在⊙O中,∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC,求证：∠BOC=2∠BAC。
证明：
情况1：,当圆心O在∠BAC的一边上时,即A、O、B在同一直线上时：
∵OA、OC是半径
∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△OAC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：,当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO,并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC是半径
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO,∠CAD=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情况3：当圆心O在∠BAC的外部时：
连接AO,并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC、是半径
∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∵∠BAC=∠CAD-∠BAD
∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
推论：
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。联系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．对于在推理论证及相关计算中有着广泛的用途。半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。这两个推论是判定直角或直角三角形的又一依据，为在圆中确定直角，构造垂直关系，创造了条件，因此它是圆中一个很重要的性质。

准确的说就是在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角为圆周角的2倍！利用等对等定理，垂径定理证明！望采纳！

已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.
证明：
情况1：，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：

∵OA、OC是半径
∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△OAC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：，当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D

∵OA、OB、OC是半径
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情况3：，当圆心O在∠BAC的外部时：

连接AO，并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC、是半径
∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∵∠BAC=∠CAD-∠BAD
∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC

设圆心为O，劣弧AB，则圆周心AOB，再取劣弧AB的圆周角AO'B（即O‘在优弧AB上），连O'O，根据等腰三角形和三角形内角和180°等方法可得N种证明方法。

证明：∠aod=∠aco+∠cao
∠bod=∠ocb+∠obc
∴∠aob=∠aod+∠bod=∠aco+∠cao+∠ocb+∠obc
=2∠aco+2∠ocb
=
2（∠aco+∠ocb）
=2∠acb
即同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍

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潜江市15836295241： 圆心角和圆周角有什么关系?怎么证明它们的关系?(有两种情况、得分类讨论的) - ？
生秋欧耐：[答案] 圆周角和圆心角的关系1.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.都等于该弧所对的圆心角的一半; 相等的圆周角所对的弧相等.2.直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.3.一条弧所对的圆周角等于...

潜江市15836295241： 如何证明圆周角和圆心角3种位置的关系 - ？
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潜江市15836295241： 证明圆心角是圆周角的两倍,(3种方法) - ？
生秋欧耐：[答案] 已知在⊙O中,∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC,求证:∠BOC=2∠BAC. 证明: 情况1:,当圆心O在∠BAC的一边上时,即A、O、B在同一直线上时: ∵OA、OC是半径 ∴OA=OC ∴∠BAC=∠ACO(等边对等角) ∵∠BOC是△OAC的外角...

潜江市15836295241： 请帮我写出证明圆周角是圆心角的一半,三种证明方法. - ？
生秋欧耐：[答案] 如上图,已知:⊙O中, 所对的圆周角是∠ABC,圆心角是∠AOC.求证:∠ABC= AOC.证明:∠AOC是△ABO的外角,∴∠AOC=∠ABO+∠BAO.∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO.∴∠AOC=2∠ABO.即∠ABC= ∠AOC. [(1),点O在∠ABC内...

潜江市15836295241： 证明同弧圆周角是圆心角的一半有三种情况,第三种怎样证明 - ？
生秋欧耐：[答案] 1.用 外角是不相邻的2个内角的和 证明:圆O中,弧AB对应玄AB,连接BO并延长交圆另外的为点C,连接AC,则有∠CAB=90°(直径对应圆周角为直角),那么则有:∠BCA+∠CBA=90°,那么在B点做弧AB的圆外角∠ABD,则有CB⊥BD,则...

潜江市15836295241： 教科书中圆周角定理的证明为什么要分三种情况讨论 - ？
生秋欧耐：[答案] 当圆周角的一边过圆心时,通过半径相等,很容易得到同弧所对的圆周角等于圆心角的一半, 然后再利用第一种的结论来分类: 当圆心在角的内部与圆心在角的外部, 这样把所有情况都包括了.

潜江市15836295241： 证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半要第二种和第三种 - ？
生秋欧耐：[答案] 设圆心角为AOB,圆周角为ACB ,连接圆周角的顶点C与圆心O并延长交园于D,则CD平分圆周角为ACB 及圆心角为AOB,OA=OC,所以角AOD=2倍的角ACD=圆周角为ACB . 所以一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

潜江市15836295241： 圆心角与圆周角的关系的普遍证明方法 - ？
生秋欧耐：[答案] 同圆或等圆中,圆心角的度数是圆周角的2倍,这是定理不用证明可以直接运用的

潜江市15836295241： 叙述并证明圆周角定理. - ？
生秋欧耐：[答案] 解析: 叙述:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 已知:∠BAC是圆O的圆周角,∠BOC是圆O的圆心角. 求证:. 证明:分三种情况讨论. (1)下图中,圆心O在∠BAC的一边上. . ...

潜江市15836295241： 证明圆周角是圆心角的两倍.我要的是圆心角在圆周角外面的那种图形证明好象是外角证的 具体不清 - ？
生秋欧耐：[答案] 应该是有三种情况 一种是通过半径和外角定理来证 另外两种好象要延长圆心角的一边