已知x=2x-10+ x，求x1, x2, x3, x4的值。

~

【求解答案】x1=-3.73205，x2=2.61803，x3=0.38197，x4=-0.26795

【求解思路】用待定系数法求解。由于x⁴项的系数为1，所以我们假设x⁴+ x³ -10 x² +x + 1可以用(x+A)(x+B)(x²+Cx+D)来表示，则

(x+A)(x+B)(x²+Cx+D)

=(x²+Ax+Bx+A·B)(x²+Cx+D)

=x⁴+ Ax³ + Bx³ +A·Bx² + Cx³ + A·Cx² + B·Cx² + A·B·Cx + Dx² + A·Dx + B·Dx + A·B·D

=x⁴+ (A+B+C)x³ + (A·B+A·C+ B·C+D)x² + (A·B·C+A·D+B·D)x+A·B·D

与原方程比较同幂次项系数，得到如下方程

A+B+C=1 ，x³ 项系数

A·B+A·C+ B·C+D=-10，x² 项系数

A·B·C+A·D+B·D=1，x 项系数

A·B·D=1，常数

求解上述方程，即可得到 A、B、C、D的系数值

分别令

(x+A)=0

(x+B)=0

(x²+Cx+D)=0

求解上述三个方程，即可得到方程的全部解。

【求解过程】

【本题知识点】

1、待定系数法。待定系数法是初等数学中的一个重要方法。用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。

2、使用待定系数法解题的一般步骤。

（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；

（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；

（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

例如：“已知x2-5=（2-A）·x2+Bx+C，求A，B，C的值。”解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。这里的A，B，C是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法。

【本题图解法】

令y=x⁴+ x³ -10 x² +x + 1，取特殊点

①当x=0时，y=1；当x=-1时，y=10；当x=1时，y=-6；当x=-2时，y=-33；当x=2时，y=-13；

②对y求一阶导数，则

y'=4x³+3x²-20x+1

令y'=0，有

4x³+3x²-20x+1=0，用卡丹公式求得，x1=-2.6629，x2=1.8625，x3=0.0504

当x=-2.6629时，y=-41.17319

当x=1.8625时，y=-13.33241

当x=0.0504时，y=1.02513

③对y求二阶导数，则

y"=12x²+6x-20

当x=-2.6629时，y"=12×(-2.6629)²+6×(-2.6629)-20=49.11503>0

当x=1.8625时，y"=12×(1.8625)²+6×(1.8625)-20=32.80188>0

当x=0.0504时，y"=12×(0.0504)²+6×(0.0504)-20=-19.66712<0

④所以，

当x=-2.6629时，y=-41.17319，有局部极小值

当x=1.8625时，y=-13.33241，有局部极小值

当x=0.0504时，y=1.02513，有极大值

⑤根据上述的特殊点，通过描点法绘出其基本图形。从图形中，我们判断出该函数有四个解，分别近似为x1≈-3.7，x2≈2.6，x3≈0.38，x4≈-0.27

【卡丹公式】

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如东县15613433277： 已知x=2π+1求 |x - 1|+|x - 2|+|x - 3|+|x - 4|+|x - 5|+|x - 6|+|x - 7|+|x - 8|+|x - 9|+|x - 10| - ？
邓申舒血：[答案] 因为2π+1=7.28. 所以|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|+|x-10| =x-1+x-2+x-3+x-4+x-5+x-6+x-7+8-x+9-x+10-x =7x-3x-28+27=4x-1=8π+4-1=8π+3

如东县15613433277： 己知x2十2x一1=0,求x1一x2 - ？
邓申舒血： x²+2x-1=0 x²+2x=1 x²+2x+1=1+1(x+1)²=2 x+1=±√2 x=-1±√2

如东县15613433277： 已知f(x)=10x - 10 - x/10x+10 - x - ？
邓申舒血： (1)∵f(-x)=10-x-10x10-x+10x=-f(x),∴f(x)为奇函数 (2)f(x)=102x-1102x+1=1-2102x+1 在(-∞,+∞)上任取x1,x2,且x1>x2 ∴f(x1)-f(x2)=2102x2+1-2102x1+1=102x1-102x2(102x1+1)(102x2+1) 而y=10x在R上为增函数,∴102x1>102x2,即f(x1)>f(x2) ∴f(x)在R上为增函数. (3)102x=1+y1-y,而102x>0,即1+y1-y>0,∴-1所以f(x)的值域是(-1,1).

如东县15613433277： 已知2x—10与+x互为相反数,则x加上 x分之一= - ？
邓申舒血： 2x—10+x=03x=10 x=10/3 x+1/x=10/3+3/10=100/30+9/30=109/30

如东县15613433277： 已知二次函数y x 2 2x 10 当自变量x取2个不同的值x1,x2时,函数值相等,则当自变量x取x1+x2\2时, - ？
邓申舒血： (1)题中若是y =x 2- 2x -10由题知x1,x2到对称轴x=1的距离相等 设x1 所以当x=x1+x2\2=1时,y=x 2- 2x -10 =-11 (2)题中若是y =x 2+2x -10由题知x1,x2到对称轴x=-1的距离相等 设x1 所以当x=x1+x2\2=-1时,y=x 2- 2x -10 =-7

如东县15613433277： 已知|X1 - 1|+|X2 - 2|+|X3 - 3|+...+|X2005 - 2005|=0,求代数式2X1 - 2X2 - 2X3 - , - 2X2005的值.住:X1这种数值为X1=1 X2=22X2指2的X2次方 - ？
邓申舒血：[答案] |X1-1|+|X2-2|+|X3-3|+...+|X2005-2005|=0 所以 |X1-1|=0,|X2-2|=0,|X3-3|=0,...,|X2005-2005|=0 即 x1=1,x2=2,x3=3,.,x2005=2005 所以 2X1-2X2-2X3-,-2X2005 =4x1-2(x1+x2+...+x2005) =4-2(1+2005)*2005÷2 =4-2006*2005 =-4022026

如东县15613433277： 已知一元二次方程x^2+x=2010,试求代数式2x^2+3x - 2010/x的值 - ？
邓申舒血： 由x^2+x=2010可得: 2010/x=x+1所以 2x^2+...

如东县15613433277： X的平方+X=90 求解,分别用公式法和配方法(过程) - ？
邓申舒血：[答案] X^2+X=90 x^2+x-90=0 (x+10)(x-9)=0 x+10=0,x-9=0 x1=-10,x2=9

如东县15613433277： 已知x+1/x=3求x10+x5+1/x5+1/x10的值 - ？
邓申舒血：[答案] x+1/x=3,x=3-1/x, x²=x(3-1/x)=3x-1 x³=x(3x-1) x^5=3x^4-x^3=x^3(3x-1) x^10=3x^9-x^8=x^8(3x-1) 所以 x^10+x^5+1/x^5+1/x^10 =x^8(3x-1)+x^3(3x-1)+1/x^3(3x-1)+1/x^8(3x-1) =x³(3x-1)(x^5+1)+[1/x³(3x-1)]*(1+1/x^5)

如东县15613433277： 已知:x+x分之1=10,求x - x分之1的值 - ？
邓申舒血：[答案] x+1/x=10 平方 x²+2+1/x²=100 x²+1/x²=98 (x-1/x)² =x²-2+1/x² =98-2 =96 所以x-1/x=-4√6或4√6