如何判断特征向量是否正交？
将两向量做内积，得出结果为0则两特征向量正交。
例子：
设向量m=(x1,x2,x3),n=(y1,y2,y3)那么m*n=x1y1+x2y2+x3y3如果m*n=0,那么称m和n正交。
矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。
扩展资料：
求特征值
描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式，λ是A的特征值等价于线性方程组(A _ λI) v = 0 （其中I是单位矩阵）有非零解v (一个特征向量)，因此等价于行列式|A _ λI|=0 [1] 。
函数p(λ) = det(A _ λI)是λ的多项式，因为行列式定义为一些乘积的和，这就是A的特征多项式。矩阵的特征值也就是其特征多项式的零点。
一个矩阵A的特征值可以通过求解方程pA(λ) = 0来得到。 若A是一个n×n矩阵，则pA为n次多项式，因而A最多有n个特征值。
反过来，代数基本定理说这个方程刚好有n个根，如果重根也计算在内的话。所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此对于奇数n，每个实矩阵至少有一个实特征值。在实矩阵的情形，对于偶数或奇数的n，非实数特征值成共轭对出现。
求特征向量
一旦找到两两互不相同的特征值λ，相应的特征向量可以通过求解方程(A _ λI) v = 0 得到，其中v为待求特征向量，I为单位阵。
当特征值出现重根时，如λ1=λ2，此时，特征向量v1的求解方法为(A-λ1I)v1=0，v2为(A-λ2I)v2=v1，依次递推。
没有实特征值的一个矩阵的例子是顺时针旋转90度。
数值计算
在实践中，大型矩阵的特征值无法通过特征多项式计算，计算该多项式本身相当费资源，而精确的“符号式”的根对于高次的多项式来说很难计算和表达：阿贝尔－鲁费尼定理显示高次（5次或更高）多项式的根无法用n次方根来简单表达。
对于估算多项式的根的有效算法是有的，但特征值的小误差可以导致特征向量的巨大误差。求特征多项式的零点，即特征值的一般算法，是迭代法。最简单的方法是幂法：取一个随机向量v，然后计算一系列单位向量。
这个序列几乎总是收敛于绝对值最大的特征值所对应的特征向量。这个算法很简单，但是本身不是很有用。但是，象QR算法这样的算法正是以此为基础的。
参考资料：百度百科-特征向量
如何判断特征向量是否正交
对于实对称矩阵不同特征值的特征向量一定正交，根据向量正交的概念，向量相乘为零，特征向量和特征子空间都有一定意义的，若一个矩阵没有重特征值，特征向量确定，只要可逆矩阵P的列不正交，D是没有重特征值的对角阵，则特征向量不正交。
如何判断特征向量是否正交?
将两向量做内积，得出结果为0则两特征向量正交。例子：设向量m=(x1,x2,x3),n=(y1,y2,y3)那么m*n=x1y1+x2y2+x3y3如果m*n=0,那么称m和n正交。矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下...
如何判断特征向量是否正交??
特征向量性质：线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。...
怎么判断两个特征值是否线性相关?
判断特征向量线性无关的方法：1、显式向量组 将向量按列向量构造矩阵A。对A实施初等行变换, 将A化成行梯矩阵。梯矩阵的非零行数即向量组的秩。如果向量组的秩 < 向量组所含向量的个数，则向量组线性相关。否则向量组线性无关。2、隐式向量组 一般是设向量组的一个线性组合等于0。若能推出其组合...
怎么判断矩阵的特征值与特征向量是否单位化了?
如果A是实对称矩阵，题目要求求正交矩阵P，使P^T*A*P成为对角阵，则求得的A的特征向量要先正交化（如果A有重特征值），再单位化，然后才可以写出正交阵P。在二次型化为标准形的题目里，如果要求求正交变换，则求得的二次型矩阵A的特征向量要先正交化（如果A有重特征值），再单位化，然后才可以...
如何判断特征向量线性无关?
这种方法如下：1、假设矩阵A有两个不同特征值k，h，相应特征向量是x，y，其中x，y线性相关，不妨设y=mx。2、根据特征值的定义，得到Ax=kx、Ay=hy=hmx。3、根据特征向量的定义，得到Amx=kmx。4、结合以上两个等式，得到0=（h-k）mx。5、由于特征向量x非零向量，而h，k两个特征值不相同，即...
如何判断一个向量是矩阵的特征向量,除了直接计算矩阵
判断一个非零向量α是否为矩阵A的特征向量，只需计算Aα，看它是否α的倍数，如果Aα=λα，则α就是A的对应于特征值λ的特征向量。
老师,我该怎样来判断一个向量是否为某矩阵的特征向量呢。
X是A的特征向量当且仅当AX与X平行，即AX的各分量与X'的分量成比例，也即有一个常数k，使AX=kX
矩阵可逆条件下矩阵的特征值和特征向量怎样判断呢?
当A可逆时, 若 λ是A的特征值, α 是A的属于特征值λ的特征向量；则 |A| \/ λ 是 A*的特征值, α 仍是A*的属于特征值 |A| \/ λ 的特征向量。设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征...
如何判断矩阵的特征值是否存在?
解题过程如下图：特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。
裔竹如意：[答案] 这只能用正交的定义
天元区18792515661： 如何证明一个矩阵不同特征值对应特征向量正交,是不是很麻烦过程 - ？
裔竹如意：[答案] 反例: A= 1 1 0 0 两个特征向量分别是[1,0]^T和[1,-1]^T,不正交 只有正规矩阵的特征向量才是正交的
天元区18792515661： 特征向量正交问题 - ？
裔竹如意： 不对,矩阵A的其他特征向量都是与该向量正交的向量,但其他特征向量的线性组合就不一定了. 例如这个矩阵 1,0,0 0,4,0 0,0,9
天元区18792515661： 三个特征值互不相同,其特征向量是否两两正交 - ？
裔竹如意： 是的,不同特征值对应的特征向量必正交,这是特征值与特征向量的重要性质,可以再高等代数或线性代数教材中查到这个结论.
天元区18792515661： 关于矩阵特征值重根问题,如何选取自由变量才能得到正交的特征向量? - ？
裔竹如意： 先正交化,在单位化(史密斯正交化方法)
天元区18792515661： 通过三个特征值计算出三个三阶的列向量,怎么一眼看出来这三个特征向量组成的矩阵是正交矩阵? - ？
裔竹如意： 如果是三个不同特征值 对应的三个特征向量 那当然是正交的 因为不同特征值的特征向量肯定正交 这是特征值的基本性质
天元区18792515661： 怎么证明实对称矩阵不同特征值的特征向量互相正交 - ？
裔竹如意：[答案] 思路大概是这样的设实对称矩阵A的两不同特征值k1,k2对应的特征向量a,b,则a'Ab=k1*a'b此式的左边为一实数,故其转置与其相等,再由A为实对阵矩阵,有a'Ab=b'A'a=b'Aa=k2*b'a即k1*a'b=k2*b'a又由a'b=b'a,k1不等于k2故a'b=b'a=0
天元区18792515661： 请问:n阶实对称矩阵,其相同的特征值所对应的特征向量,一定不正交吗?n阶实对称矩阵,不同的特征值所对应的特征向量一定正交.但如果遇到重根,即... - ？
裔竹如意：[答案] 相同的特征值所对应的特征向量,一定不正交吗? 不一定正交,但一定可以规范正交. 也就是一定存在正交的情况. 比如知道特征值为1,1,2并知道特征值1对应的一个特征向量a,特征值2对应的一个特征向量b,再求最后一个也就是1对应的另一个特征...
天元区18792515661： 相同特征值的不同特征向量正交吗 - ？
裔竹如意： 不一定正交,他们共同张成一个子空间,子空间内任意两个向量都是特征向量,只能线性无关,不保证正交
