什么叫平方数
什么叫平方数
数学上,平方数(或称完全平方数),是指可以写成某个整数的平方的数,即其平方根为整数的数。例如,9 = 3 × 3,9是一个平方数。
平方数
平方数,或称正方形数,是可以写成整数的二次方的数。若n=m^2,n和m均是整数,n就是平方数。假如将n个点排成矩形,可以排成一个正方形。 1: + x4: x + x x+ + x x9: x x + x x xx x + x x x+ + + x x x16: x x x + x x x xx x x + x x x xx x x + x x x x+ + + + x x x x25: x x x x + x x x x x x x x x + x x x x x x x x x + x x x x x x x x x + x x x x x + + + + + x x x x x 从上面的图形中可以得出精彩的结论,1^2=1;2^2=1+3;3^2=1+3+5;4^2=1+3+5+7;............n^2=1+3+5+7+...+(2n-1)1^2=1;2^2=1+2+1;3^2=1+2+3+2+1;4^2=1+2+3+4+3+2+1;............n^2=1+2+3+4+...+n+1+2+3+4+...+(n-1);三个连续的平方数是勾股阵列的仅一组,即3^2+4^2=5^2n+...4+3+2+1n+...4+3+2n+...4+3n+...4...n上面所有数相加是平方数和,你也许说没任何意义但可以根据他巧得平方和公式S,即S=nC(n+1,2)-C(n+2,3)一些其他性质第一个平方数是1。第n个平方数是n2,等于首n个单数的和。 每4个连续的自然数相乘加一,必定会等于一个平方数。 拉格朗日定理∶每个自然数均可表示成4个平方数之和。3个平方数之和不能表示形式如4k(8l + 7)的数。 如果在一个正整数的因数分解式中,没有一个数有形式如4k+3的质数次方,该正整数可以表示成两个平方数之和。
什么叫完全平方数
完全平方数
九章出版社提供
(一)完全平方数的性质
一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数,也叫做平方数。例如:
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…
观察这些完全平方数,可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质:
性质1:完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2:奇数的平方的个位数字为奇数,十位数字为偶数。
证明 奇数必为下列五种形式之一:
10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9
分别平方后,得
(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1
(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9
(10a+5)=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5
(10a+7)=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9
(10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1
综上各种情形可知:奇数的平方,个位数字为奇数1,5,9;十位数字为偶数。
性质3:如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6;反之,如果完全平方数的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数。
证明 已知=10k+6,证明k为奇数。因为的个位数为6,所以m的个位数为4或6,于是可设m=10n+4或10n+6。则
10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6
或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6
即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1
或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3
∴ k为奇数。
推论1:如果一个数的十位数字是奇数,而个位数字不是6,那么这个数一定不是完全平方数。
推论2:如果一个完全平方数的个位数字不是6,则它的十位数字是偶数。
性质4:偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1。
这是因为 (2k+1)=4k(k+1)+1
(2k)=4
性质5:奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型。
在性质4的证明中,由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数;由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。
性质6:平方数的形式必为下列两种之一:3k,3k+1。
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类:3m,3m+1, 3m+2。平方后,分别得
(3m)=9=3k
(3m+1)=9+6m+1=3k+1
(3m+2)=9+12m+4=3k+1
同理可以得到:
性质7:不能被5整除的数的平方为5k±1型,能被5整除的数的平方为5k型。
性质8:平方数的形式具有下列形式之一:16m,16m+1, 16m+4,16m+9。
除了上面关于个位数,十位数和余数的性质之外,还可研究完全平方数各位数字之和。例如,256它的各位数字相加为2+5+6=13,13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加:1+3=4,4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加,如果得到的数字之和不是一位数,就把所得的数字再相加,直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题:
一个数的数字和等于这个数被9除的余数。
下面以四位数为例来说明这个命题。
设四位数为,则
= 1000a+100b+10c+d
= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)
= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
显然,a+b+c+d是四位数被9除的余数。
对于n位数,也可以仿此法予以证明。
关于完全平方数的数字和有下面的性质:
性质9:完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。
证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式,而
(9k)=9(9)+0
(9k±1)=9(9±2k)+1
(9k±2)=9(9±4k)+4
(9k±3)=9(9±6k)+9
(9k±4)=9(9±8k+1)+7
除了以上几条性质以外,还有下列重要性质:
性质10:为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。
证明 充分性:设b为平方数,则
==(ac)
必要性:若为完全平方数,=,则
性质11:如果质数p能整除a,但不能整除a,则a不是完全平方数。
证明 由题设可知,a有质因数p,但无因数,可知a分解成标准式时,p的次方为1,而完全平方数分解成标准式时,各质因数的次方均为偶数,可见a不是完全平方数。
性质12:在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数,即若
<k<(n+1)
则k一定不是完全平方数。
性质13:一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。
(二)重要结论
1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数;
2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数;
3.个位数是6,十位数是偶数的整数一定不是完全平方数;
4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数;
5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数;
6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数;
7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数;
8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。
(三)范例
[例1]:一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数,求此数。
解:设此自然数为x,依题意可得
(m,n为自然数)
(2)-(1)可得
∴n>m
(
但89为质数,它的正因数只能是1与89,于是。解之,得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。
[例2]:求证:四个连续的整数的积加上1,等于一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题)。
分析 设四个连续的整数为,其中n为整数。欲证
是一奇数的平方,只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
证明 设这四个整数之积加上1为m,则
而n(n+1)是两个连续整数的积,所以是偶数;又因为2n+1是奇数,因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。
[例3]:求证:11,111,1111,这串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞赛题)。
分析 形如的数若是完全平方数,必是末位为1或9的数的平方,即
或
在两端同时减去1之后即可推出矛盾。
证明 若,则
因为左端为奇数,右端为偶数,所以左右两端不相等。
若,则
因为左端为奇数,右端为偶数,所以左右两端不相等。
综上所述,不可能是完全平方数。
另证 由为奇数知,若它为完全平方数,则只能是奇数的平方。但已证过,奇数的平方其十位数字必是偶数,而十位上的数字为1,所以不是完全平方数。
[例4]:试证数列49,4489,444889, 的每一项都是完全平方数。
证明
=
=++1
=4+8+1
=4()(9+1)+8+1
=36 ()+12+1
=(6+1)
即为完全平方数。
[例5]:用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数?
解:设由300个2和若干个0组成的数为A,则其数字和为600
3|600 ∴3|A
此数有3的因数,故9|A。但9|600,∴矛盾。故不可能有完全平方数。
[例6]:试求一个四位数,它是一个完全平方数,并且它的前两位数字相同,后两位数字也相同(1999小学数学世界邀请赛试题)。
解:设此数为
此数为完全平方,则必须是11的倍数。因此11|a + b,而a,b为0,1,2,9,故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8组可能。
直接验算,可知此数为7744=88。
[例7]:求满足下列条件的所有自然数:
(1)它是四位数。
(2)被22除余数为5。
(3)它是完全平方数。
解:设,其中n,N为自然数,可知N为奇数。
11|N - 4或11|N + 4
或
k = 1
k = 2
k = 3
k = 4
k = 5
所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。
[例8]:甲、乙两人合养了n头羊,而每头羊的卖价又恰为n元,全部卖完后,两人分钱方法如下:先由甲拿十元,再由乙拿十元,如此轮流,拿到最后,剩下不足十元,轮到乙拿去。为了平均分配,甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)?
解:n头羊的总价为元,由题意知元中含有奇数个10元,即完全平方数的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6。所以,的末位数字为6,即乙最后拿的是6元,从而为平均分配,甲应补给乙2元。
[例9]:矩形四边的长度都是小于10的整数(单位:公分),这四个长度数可构成一个四位数,这个四位数的千位数字与百位数字相同,并且这四位数是一个完全平方数,求这个矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题)。
解:设矩形的边长为x,y,则四位数
∵N是完全平方数,11为质数 ∴x+y能被11整除。
又 ,得x+y=11。
∴∴9x+1是一个完全平方数,而,验算知x=7满足条件。又由x+y=11得。
[例10]:求一个四位数,使它等于它的四个数字和的四次方,并证明此数是唯一的。
解:设符合题意的四位数为,则,∴为五位数,为三位数,∴。经计算得,其中符合题意的只有2401一个。
[例11]:求自然数n,使的值是由数字0,2,3,4,4,7,8,8,9组成。
解:显然,。为了便于估计,我们把的变化范围放大到,于是,即。∵,∴。
另一方面,因已知九个数码之和是3的倍数,故及n都是3的倍数。这样,n只有24,27,30三种可能。但30结尾有六个0,故30不合要求。经计算得
故所求的自然数n = 27。
(四)讨论题
1.(1986年第27届IMO试题)
设正整数d不等于2,5,13,求证在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a , b,使得ab -1不是完全平方数。
2.求k的最大值
一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数,也叫做平方数。比如:0,1,4,9,16,25,36等。
什么叫非完全平方数
不是完全平方数的整数
一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数,也叫做平方数。如:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484……
不是这些数的整数就是非完全平方数
什么叫p型平方数?1000以内最大的p型平方数是多少?
设q是一个平方数,如果q-2和q+2都是质数,就称q为P型平方数.
1000以内的最大P型平方数是441
什么叫做完全平方数
一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数,也叫做平方数。例如:
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…
什么叫做 非完全平方数
完全平方数就是可以表示成一个整数的平方的数
不是这种数的就是非完全平方数
比如说4=2^2是2的平方,是完全平方数,而3,5都是非完全平方数
44的平方数 47的平方数
44的平方数等于1936
47的平方数等于2209
什么是全平方数和算术平方数?
这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数:
A2 = 16
A8 = 64
A18 = 144
A32 = 256
设这个数列中数的序数为N。
就是A1是第1个数、A2是第2个数、A3是第3个数、……AN是第N个数……
当N满足 N/2 是完全平方数时,AN为完全平方数。
就是对第N个数,N的一半是完全平方数的话,这个数就是完全平方数。
例如,
第4个数,4的一半是2,不是完全平方数,因此第4个数不是完全平方数;
第8个数,8的一半是4,是完全平方数,因此第8个数是完全平方数;
……
第50个数,50的一半是25,是完全平方数,因此第50个数是完全平方数;
第72个数,72的一半是36,是完全平方数,因此第72个数是完全平方数;
理由如下:
设N/2 = X^2
N = 2*X^2
则
AN=(2N+1)^2-(2N-1)^2
=4N^2 + 4N +1 - (4N^2 - 4N +1)
=8N
=16*X^2
=(4*X)^2
这样可以么?
平方数的定义就是可以写做两个乘数相等的两个数相乘的数 4=2×2 所以4是平方数
【400以内平方数】0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400,分别对应了0~20的平方【平方数怎么读】n^2读n的二次方或n的平方
什么叫平方数
什么叫平方数 数学上,平方数(或称完全平方数),是指可以写成某个整数的平方的数,即其平方根为整数的数。例如,9 = 3 × 3,9是一个平方数。 平方数 平方数,或称正方形数,是可以写成整数的二次方的数。若n=m^2,n和m均是整数,n就是平方数。假如将n个点排成矩形,可以排成一个正方形。 1: + x4: ...
平方数是什么意思
平方数,即整数的平方结果,指的是能够表示为某个整数的平方形式的数。例如,数字9,因为3×3=9,所以9是一个平方数。这种数也被称为正方形数,因为它可以排列成一个正方形的模式,比如n个点排列成一个n×n的网格。值得注意的是,一个整数如果没有除了1以外的平方数作为其因子,那么这个数被称为...
什么叫平方数
平方数的定义 一个数的平方,记作n²,表示该数自乘的结果。例如,4的平方是16,因为4×4=16。平方数是非负数的特性,任何负数的平方都会是一个正数。在数学中,我们把这种自乘后得到的数称为平方数。详细解释 1. 平方数的定义:平方数是一个数乘以它本身的结果。例如,一个数的平方可以...
什么是平方数呢?
平方数(或称完全平方数),是指可以写成某个整数的平方的数,即其平方根为整数的数。1到20的平方数有:1=1×1,4=2×2,9=3×3,16=4×4 共,四个1到20的平方分别为:1的平方为1,2的平方为4,3的平方为9,4的平方为16,5的平方为25;6的平方为36,7的平方为49,8的平方为64,9...
什么叫做数的平方?
平方是一种数学运算,通常用于计算一个数的平方值,即将某个数字自乘一次得到的结果。为了表示这种运算,我们通常用符号“²”来代表平方。1.如果我们想要计算一个数字a的平方值,即a²,可以采用以下公式:a²=a×a2.例如,如果我们要计算数字3的平方,那么可以使用如下公式:3²...
怎么判断一个数是完全平方数
判断一个数是完全平方数的方法如下:广义:只要这个数是另一个有理数的平方,则这个数就是完全平方数。狭义:只要这个数是另一个整数的平方,则这个数就是完全平方数。完全平方数的性质:一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数,也叫做平方数.例如:0,1,4,9,16,25,36,...
平方数是什么
在数学的世界里,平方数这个概念非常重要。简而言之,平方数是指可以表示为某个整数平方形式的数,也就是说,它的平方根是一个整数。比如,数字9就是这样一个例子,因为它等于3乘以3。这个特性使得平方数常常被形象地比喻为“正方形数”,因为当用n个点表示时,这些点可以排列成一个规整的正方形布局...
为什么说一个数是完全平方数,也就是说这个数是奇数呢?
一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数,也叫做平方数。例如:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…观察这些完全平方数,可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的...
什么是平方数
在数学的范畴中,平方数被定义为那些可以表示为某个整数平方的数字,换句话说,它们的平方根是整数的。例如,9就等于3乘以3,因此它是一个平方数。平方数在图形上也有直观的表现,当我们将一个平方数n的点排列成矩形时,可以形成一个正方形的布局。这个特性使得平方数在几何和计算中显得尤为重要。当...
什么是平方数呢?
平方是一种运算,比如,a的平方表示a×a,简写成a,也可写成a×a(a的一次方乘a的一次方等于a的2次方),例如4×4=16,8×8=64,平方符号为2。计算公式如下:1、长方形:长方形面积=长×宽 2、正方形:正方形面积=边长×边长 3、平行四边形:平行四边形面积=底×高 4、三角形:三角形面积...
堵璐小儿: 数学上,平方数,或称完全平方数,是指可以写成某个整数的平方的数,即其平方根为整数的数.例如,9 = 3 * 3,它是一个平方数. 平方数也称正方形数,若 n 为平方数,将 n 个点排成矩形,可以排成一个正方形.若将平方数概念扩展到有理数,则两个平方数的比仍然是平方数,例如,(2 * 2) / (3 * 3) = 4/9 = 2/3 * 2/3. 若一个整数没有除了 1 之外的平方数为其因子,则称其为无平方数因数的数.
华坪县18982131907: 什么数叫做平方数小学一年级数学什么数叫做平方数 - ?
堵璐小儿:[答案] 数学上,平方数或称完全平方数,是指可以写成某个整数的平方的数,即其平方根为整数的数. 例如,9 = 3 * 3,它是一个平方数.
华坪县18982131907: 什么是平方数 - ?
堵璐小儿: 在数学上平方数也称完全平方数 指的是可以写成某个整数的平方的数 即其平方根为整数的数 显然平方数都是非负整数 而最小的平方数为0
华坪县18982131907: 什么是平方数平方数可以是2个相同小数的积吗完全平方数可以是2个相同小数的积吗完全平方数和平方数有什么不同? - ?
堵璐小儿:[答案] 平方数,或称正方形数,是可以写成整数的二次方的数.若n=m^2,n和m均是整数,n就是平方数. 说白了就是一个数被开平方后的根是整数,如9,根为3,9就是平方数.
华坪县18982131907: 数学中的素数和完全平方数分别是什么意思? - ?
堵璐小儿:[答案] 质数又称素数.指在一个大于1的自然数中,除了1和此整数自身外,不能被其他自然数整除的数 一个数如果是另一个整数的平方,那么我们就称这个数为完全平方数,也叫做平方数 望采纳,谢谢 祝学习天天向上
华坪县18982131907: 平方数是什么??
堵璐小儿: 开平方后是整数的数叫完全平方数.如0,1,4,9
华坪县18982131907: 用通俗的语言说什么叫平方数? - ?
堵璐小儿: 相当于 以所提供的数字为单位,做一个正方形平面图的面积量——比如,提供数字12,那么这个\“以所提供的数字为单位,做成的正方形平面图的面积量”就是144.
华坪县18982131907: 什么是平方数小数 - ?
堵璐小儿:[答案] 比如1.21这样的,开平方后能得到有限不循环小数的数,就是平方数小数.
华坪县18982131907: 什么是全平方数和算术平方数? - ?
堵璐小儿:[答案] 这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数: A2 = 16 A8 = 64 A18 = 144 A32 = 256 设这个数列中数的序数为N. 就是A1是第1个数、A2是第2个数、A3是第3个数、……AN是第N个数…… 当N满足 N/2 是完全平方数时,AN为完全平方数. 就是对第N...