矩母函数是有界的，连续的函数吗？它的分析性质怎么样？
解：泊松分布为离散分布，密度函数f(k)=(λ^k)/(k!)e^(-λ)(k=0,1,2,…，∞）。其矩母函数Mx(t)=E[e^(tx)]=∑e^(tk)f(k)=∑e^(tk))(λ^k)/(k!)e^(-λ)=e^(-λ)∑[(λe^t)^k)]/(k!)=e^[λ(e^t-1)]。 指数分布是连续分布，密度函数f(x)=λe^(-λx)，x∈(0,∞）。其矩母函数Mx(t)=E[e^(tx)]=∫(0,∞)e^(tx)f(x)dx=λ∫(0,∞)e^[-(λ-t)x)dx=λ/(λ-t) (t<λ)。供参考。
方法有3个：
1.理论法：若f(x)在定义域[a,b]上连续，或者放宽到常义可积（有限个第一类间断点），则f(x)在[a,b]上必然有界。
2.计算法：切分(a,b)内连续
limx→a+f(x)存在limx→a+f(x)存在；limx→b−f(x)存在limx→b−f(x)存在 则f(x)在定义域[a,b]内有界。
3.运算规则判定：在边界极限不存在时
有界函数 ±± 有界函数 = 有界函数 （有限个，基本不会有无穷个，无穷是个难分高低的状态）
有界 x 有界 = 有界
扩展资料：
函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定联系的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。
在极限理论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值与最小值定理、介值定理、零点定理和一直连续性定理。其中，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，有多种方法可以证明此定理。
比如可以利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准等。我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理。
参考资料：百度百科：有界性定理
查看百度百科里面对矩母函数的定义：
可见矩母函数的性质由随机变量本身的性质决定。举两个例子说明一下：
例1：X服从0-1分布，成功概率为0.5，则
此时矩母函数的定义域是R，为指数型函数，是解析函数，但无界。
例2：X服从参数μ=0，σ^2=1的对数正态分布。那么
当t>0时，易见积分发散；t=0时，被积函数在0+处趋于0，在+∞一侧收敛速度快于任意幂函数，所以积分收敛。当t<0时，易见积分收敛。所以矩母函数的定义域为(-∞，0]
考察t<0的情况：
针对t<-1和t>=-1两种情况对上面第二项积分进行讨论，最后可知积分两项都是与t无关的有界量，所以矩母函数在(-∞，0)上是有界的。因为矩母函数在t=0时也存在，故矩母函数有界。至于此时是否连续，可以结合含参变量积分的性质来判断。
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